E548. Séparer le bon grain de l'ivraie
Problème proposé par Etienne Desclin
Voici une liste d’affirmations, numérotées de 1 à 10, permettant de trouver un nombre naturel inconnu n.
Malheureusement, ces affirmations ne sont pas nécessairement vraies et, pour corser les choses, on ne dit pas lesquelles sont vraies et lesquelles sont fausses.
1) Au moins une des deux dernières affirmations de cette liste est vraie.
2) Ceci est soit la première affirmation vraie, soit la première affirmation fausse de cette liste.
3) Cette liste comprend au moins trois affirmations fausses consécutives.
4) La différence entre le numéro de la dernière affirmation vraie et le numéro de la première affirmation vraie est un diviseur de n.
5) La somme des numéros des affirmations vraies est égale à n.
6) Ceci n’est pas la dernière affirmation vraie.
7) Le numéro de chacune des affirmations vraies est un diviseur de n.
8) Cette liste contient n % d’affirmations vraies.
9) Le nombre de diviseurs de n (les diviseurs triviaux 1 et n étant exclus) est strictement supérieur à la somme des numéros des affirmations vraies.
10) Cette liste ne comprend pas trois affirmations vraies consécutives.
Que vaut n ?
Solution proposée par Jean Nicot
On notera Ak l’affirmation numéro k, kV l’affirmation k vraie, kF l’affirmation k fausse.
Si A2 est fausse, alors 1F
Si A2 est vraie, alors 1F. Donc A1 est fausse, ce qui induit 9F et 10F.
Si A6 est fausse, c’est la dernière affirmation vraie, ce qui est impossible, donc 6V. Cela induit que A7 ou A8 est vraie ou les deux vraies.
Si A3 est fausse, alors 2V et 8V. Mais comme 6V, 8V impose n au moins égal à 30 et A5 est fausse. 10F impose alors 7V c’est-à-dire n multiple de 7 sans pouvoir être égal à 70 avec au moins 4
affirmations fausses. Donc A3 est vraie.
Comme A3 est vraie, alors A8 est fausse car seules A8, A9 et A10 peuvent être fausses consécutives et alors A7 est vraie à cause de 6V, donc n est multiple de 6 et 7 soit de 42 et alors A5 ne peut être vraie. Comme 10F, A2 et A4 sont vraies. A4 donne maintenant 7-2=5 comme multiple de n ainsi que 4; n est donc multiple de 5x4x21 = 420= 2x2x3x5x7 dont les diviseurs non triviaux sont 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 12, 14, 15, 20, 21, 28, 30, 35, 42, 60, 70, 105, 140, 210 en nombre de 21. La somme des numéros des affirmations vraies est 22, supérieure à 21. On ne peut avoir d’autre facteur qui ajouterait au moins un diviseur.
On a finalement n = 420 et les affirmations vraies ont les numéros 2, 3, 4, 6, 7.
