E572. Un club de logiciens E5. Enigmes logiques Problème proposé par Raymond Bloch
Au sein de ce club de 2016 membres, si 2 membres se connaissent, alors ils ont le même nombre de connaissances au sein du club, et inversement.
Si 2 membres ne se connaissent pas, les nombres de leurs connaissances au sein du club sont distincts, et inversement.
Prouver
a- qu’il existe un membre qui connaît 62 autres membres du club.
b- que si le club recrute un 2017ième membre, il existera même un membre qui en connaîtra 63 autres.
Solution de Paul Voyer
a- J'interprète comme :
"qu’il existe (au moins) un membre qui connaît (au moins) 62 autres membres du club"
Si tous les membres connaissaient au plus 61 autres membres, on pourrait avoir au mieux : 62 membres qui auraient 61 connaissances,
Les autres auraient au plus 60 connaissances, etc…
61 membres qui auraient 60 connaissances, 60 membres qui auraient 59 connaissances, etc…
1 membre qui ne connaît personne.
soit un total de 62*63/2=1953 membres.
Or ils sont 2016.
Donc il existe au moins un membre qui a au moins 62 connaissances.
b-
Avec un 2017ème membre, si tous les membres connaissaient au plus 62 autres membres, on pourrait avoir au mieux :
63 membres qui auraient 62 connaissances, 62 membres qui, etc…
soit un total de 63*64/2 = 2016 Or ils sont 2017.
Donc au moins l'un d'eux a au moins 63 connaissances.
