E572 ‒ Un club de logiciens
Problème proposé par Raymond Bloch
Au sein de ce club de 2016 membres, si 2 membres se connaissent, alors ils ont le même nombre de connaissances au sein du club, et inversement. Si 2 membres ne se connaissent pas, les nombres de leurs connaissances au sein du club sont distincts, et inversement.
Prouver :
1. qu’il existe un membre qui connaît au moins 62 autres membres du club.
2. que, si le club recrute un 2017ème membre, il existera même un membre qui en connaîtra au moins 63 autres.
Solution proposée par Patrick Gordon
Notons que la deuxième condition est superflue. En effet, si 2 membres ne se connaissent pas, les nombres de leurs connaissances au sein du club ne peuvent pas être les mêmes car, au titre du "inversement" de la première partie, ils se connaîtraient.
1.
Imaginons qu'aucun membre n'en connaisse aucun autre (drôle de club, mais imaginons). Ils ont alors tous le même nombre de connaissances au sein du club (0 connaissance) et donc "inversement" ils se connaissent tous : contradiction!
Il ne peut pas même y avoir 2 singletons car le raisonnement ci-dessus s'applique : chacun de ces deux membres en connait 0, donc "inversement" ils se connaissent.
Imaginons maintenant que chaque membre n'en connaisse qu'un autre. Ils vont alors par paires : le membre 1 ne connaît que le membre 2, le membre 3 que le membre 4, etc. Mais 1 et 3 ont alors le même nombre de connaissances au sein du club (1 connaissance) et donc "inversement" ils se connaissent. De même, 1 et 4…
À l'évidence tout le monde connaît alors tout le monde : contradiction!
Il ne peut pas même y avoir 2 paires car le raisonnement ci-dessus s'applique. Et ainsi de suite…
Il n'y a donc pas 2 singletons, pas 2 paires, pas 2 trios… Le club ne peut donc être constitué de que "cliques"
disjointes de tailles toutes différentes. Rappelons qu'on appelle "clique" en théorie des graphes un sous- graphe où tous les couples de sommets sont reliés par une arête.
Les tailles de ces cliques sont donc des nombres A B C… N tous différents (classés dans l'ordre croissant pour fixer les idées) dont la somme vaut 2016.
Rien n'empêche, par exemple, d'avoir : A + B + C = 16 + 999 + 1001 = 2016.
Naturellement, moins il y a de cliques, plus N, taille de la plus grande clique, est élevé.
Pour un total de 2016 membres, la plus petite taille (N) de la plus grande clique est obtenue pour 63 cliques de tailles 1, 2, 3… 63. En effet : 1 + 2 + 3 +… + 63 = 2016.
Il y a donc toujours au moins une clique de taille ≥ 63 et par conséquent au moins un membre (en fait, au moins 63) qui connaît au moins 62 autres membres du club.
2.
Dans un club de 2017 membres où, si 2 membres se connaissent, alors ils ont le même nombre de
connaissances au sein du club, et inversement, le raisonnement ci-dessus s'applique et la plus petite taille (N') de la plus grande clique est obtenue pour 63 cliques de tailles 1, 2, 3… 62, 64. En effet : 1 + 2 + 3 +… + 62 + 64 = 2017.
Il y a donc toujours au moins une clique de taille ≥ 64 et par conséquent au moins un membre (en fait, au moins 64) qui connaît au moins 63 autres membres du club.
Reste que, en toute rigueur, l'énoncé dit si le club recrute un 2017ème membre, c’est-à-dire pose le problème à partir d'une solution donnée de la question 1.
Il faut alors se demander si le club peut effectuer un tel recrutement sans déroger à sa "règle" que si 2 membres se connaissent, alors ils ont le même nombre de connaissances au sein du club, et inversement.
Il faut et suffit pour cela que le 2017ème membre s'intègre à une clique de taille X dont il connaisse (et soit connu de) tous les membres et telle qu'il n'existe pas de clique de taille X+1. Au besoin, la clique de taille 63 de la question 1 fera l'affaire.
