Enonc´e noE654 (Diophante) Une ouverture bien verrouill´ee
Le coffre-fort du club de 7 membres ne doit pouvoir ˆetre ouvert qu’en pr´esence de 3 membres. On veut assurer cette condition par un syst`eme de serrures multiples et de distribution de cl´es. Combien faut-il au mini- mum de serrures ? et de cl´es ?
G´en´eralisation avec un club de m membres et l’ouverture du coffre en pr´e- sence dep membres.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Soit G un groupe de membres jouissant de la propri´et´e suivante : il faut qu’un membre soit pr´esent pour que l’ouverture soit possible, et la pr´esence d’un membre deGsuffit pour cela.
Cela se traduit par une ou plusieurs serrures, dont personne hors G n’a la cl´e, mais chaque membre de Ga la ou les cl´es (donc une serrure suffit, car si deux serrures ont leurs cl´es attribu´ees aux mˆemes personnes, elles seront toujours manoeuvr´ees en mˆeme temps).
Il y a donc au minimum une serrure par groupe tel que G. Dans le cas de l’´enonc´e, les groupes ayant cette propri´et´e sont les sous-ensembles de m−p+ 1 membres. Ils sont en nombreCmm−p+1 =Cmp−1, soit C72 = 21 pour m= 7, p= 3. C’est le nombre des serrures.
Pour chacune de ces serrures, la cl´e est distribu´ee `am−p+ 1 membres, d’o`u un nombre total de cl´es
(m−p+ 1)Cmp−1 =mCm−1p−1, soit 105 pourm= 7, p= 3.
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