E572. Un club de logiciens
Problème proposé par Raymond Bloch
Au sein de ce club de 2016 membres, si 2 membres se connaissent, alors ils ont le même nombre de connaissances au sein du club, et inversement. Si 2 membres ne se connaissent pas, les nombres de leurs connaissances au sein du club sont distincts, et inversement.
Prouver
a- qu’il existe un membre qui connaît au moins 62 autres membres du club.
b- que si le club recrute un 2017ième membre, il existera même un membre qui en connaîtra au moins 63 autres.
Solution proposée par Daniel Collignon
"Avoir le même nombre de connaissances" est une relation d'équivalence.
Une classe d'individus ayant le même nombre n>=0 de connaissances est formée d'exactement n+1 individus.
a/ S'il n'existait aucun membre connaissant au moins 62 autres membres, nous aurions au mieux 1+2+...+62 = 1953 individus.
A partir de 1954 individus, nous pouvons donc affirmer qu'il existe un membre qui connaît 62 autres membres du club.
b/ De même s'il n'existait aucun membre connaissant au moins 63 autres membres, nous aurions au mieux 1+2+...+63 = 2016 individus.
A partir de 2017 individus, nous pouvons donc affirmer qu'il existe un membre qui connaît 63 autres membres du club.
