Lyc´ee Benjamin Franklin PTSI−2013-2014
D. Blotti`ere Math´ematiques
Devoir surveill´ e n˚5
Vendredi 21 f´evrier, de 13h30 `a 15h30
Le bar`eme prendra significativement en compte :
• la pr´esentation,
• la clart´e des explications,
• le soin port´e `a l’argumentation des r´eponses,
• la justesse du vocabulaire et des symboles employ´es.
Exercice 1 (R´esolution d’un syst`eme lin´eaire 2×2 `a param`etre) Soitθ∈]−π, π] fix´e.
1. R´esoudre le syst`eme lin´eaire
x + y = cos(θ)
cos(θ)x + sin(θ)y = sin2(θ) d’inconnue (x, y)∈R2.
2. On fixe un rep`ere orthonorm´eR= (O;−→ i ,−→
j) du plan. On identifie alors le plan `aR2, en identifiant un point du plan `a ses coordonn´ees dans le rep`ereR. Expliquer g´eom´etriquement certains des r´esultats de la question 1.
Indication : On pourra introduire le vecteur−→u =−→ i +−→
j et le vecteur−u→θ= cos(θ)−→
i + sin(θ)−→ j.
Exercice 2 (Syst`eme lin´eaire `a param`etre et paraboles) On fixe un rep`ere orthonorm´eR= (O;−→
i ,−→
j) du plan. SoientM1(x1, y1),M2(x2, y2) etM3(x3, y3) trois points du plan. On introduit la matrice
A=
1 x1 x12 1 x2 x22 1 x3 x32
.
1. D´emontrer que si les trois r´eelsx1, x2, x3ne sont pas deux `a deux distincts, alors la matriceAn’est pas inversible.
2. On suppose d´esormais que les trois r´eelsx1, x2, x3 sont deux `a deux distincts.
(a) R´esoudre le syst`eme lin´eaireAX= 0M3,1(R)d’inconnueX ∈ M3,1(R).
(b) Que peut-on d´eduire du r´esultat de la question pr´ec´edente ?
(c) D´emontrer qu’il existe un unique triplet (a, b, c) de nombres r´eels tel que la courbe repr´esentativeCf
de la fonction
f:R→R; x7→a+bx+cx2 passe par les trois pointsM1, M2, M3.
N.B. : On ne demande pas de calculer explicitement le triplet (a, b, c)en question, mais simplement de prouver son existence et son unicit´e.
Exercice 3 (Inversibilit´e et inverse ´eventuelle de matrices 3×3) Etudier l’inversibilit´e et calculer l’inverse ´eventuelle des matrices suivantes.´
A=
1 2 3 2 3 4 3 4 5
B=
1 2 1 5 1 3 1 4 1
1
Exercice 4 (Commutant)
1. Soientαetβ deux r´eels non nuls. On introduit la matriceA=
α β
0 α
.D´emontrer que {M ∈ M2(R)|AM =M A}= Vect(I2, N)
o`uN est la matrice d´efinie parN =
0 1 0 0
.
2. Soitn∈N∗. SoitD∈ Dn(R) avec des coefficients diagonaux deux `a deux distincts. D´emontrer que {M ∈ Mn(R)|DM =M D}=Dn(R).
Exercice 5 (Calcul des puissances d’une matrice) Soit la matrice
A=
−1 4 4
−2 5 2
−2 2 5
.
1. Montrer que la matriceP=
2 1 0 1 0 1 1 1 2
est inversible et calculerP−1. 2. CalculerT =P−1AP.
3. Calculer (T−3I3)n, pour toutn∈N∗. 4. En d´eduireTn, pour toutn∈N∗.
5. D´emontrer par r´ecurrence que pour toutn∈N∗,An=P TnP−1. 6. En d´eduire la valeur deAn, pour toutn∈N∗.
Exercice 6 (Une formule de factorisation et une application aux matrices nilpotentes) Soitn∈N∗
1. SoientAet B deux matrices deMn(C) qui commutent. Montrer que pour touts∈N∗, As−Bs= (A−B)
s−1
X
k=0
AkBs−1−k
! .
2. Soitn∈N∗. Une matrice deN deMn(C) est dite nilpotente si
∃s∈N∗, Ns= 0Mn(C).
(a) Soient deux matrices N1 et N2 de Mn(C) nilpotentes qui commutent. Il existe donc deux entiers naturels non nulss1 ets2 tels queN1s1 = 0Mn(C)et N2s2 = 0Mn(C)et l’on aN1N2=N2N1.
i. Montrer que la matrice produitN1N2est nilpotente.
ii. Montrer que toute matrice combinaison lin´eaire deN1 etN2 est nilpotente.
(b) Montrer qu’une matrice nilpotente deMn(C) n’est pas inversible.
(c) SoitN une matrice nilpotente deMn(C). Montrer que la matriceIn−N est inversible.
Exercice 7 (Matrices sym´etriques et matrices antisym´etriques)
Soit n ∈ N∗. Une matrice M ∈ Mn(C) est dite sym´etrique si tM = M. Elle est dite antisym´etrique si
tM =−M.
1. Montrer qu’une combinaison lin´eaire de deux matrices sym´etriques (resp. antisym´etriques) est sym´etrique (resp. antisym´etrique).
2. SoitM une matrice deMn(C). Montrer qu’il existe une unique matrice sym´etriqueS∈ Mn(C) et une unique matrice antisym´etriqueA∈ Mn(C) telles queM =S+A.
2
