Université de Rouen L2 SPS
Année 2015-2016
Mathématiques 1. Fiche n◦1
Mise en route, trigonométrie, complexe
Exercice 1. Récurrence.
(a) Montrer par récurrence que 13n−4n est mul- tiple de 9. [indication 13=9+4]
(b) Soitu0=1,u1=2 etun+2=2un+un+1. Mon- trer par récurrence queun=2n.
(c) Montrer par récurrence l’inégalité de Ber- noulli : pour toutxnon nul et supérieur à−1
∀n≥2, (1+x)n>1+nx.
(d) Montrer par récurrence que pour toutn∈N
n
X
k=1
k=n(n+1)
2 ,
n
X
k=1
k2=n(n+1)(2n+1)
6 .
En déduire la valeur de
n
X
k=1
k(n−k).
(e) Montrer que la sommeSn=1+3+5+· · ·+(2n− 1) des n premiers entiers impairs est égale à n2.
Exercice 2. Somme et produit.
(a) ComparerP3
k=1(ak+bk) etP3
k=1ak+P3 k=1bk. (b) Remplacer 3 par n dans la question précé-
dente.
(c) ComparerPn
k=0ak etPn
k=0an−k. (d) Siq∈Retq6=1 redémontrer la formule
n
X
k=0
qk=qn+1−1 q−1 . (e) Écrire à l’aide deQ
les quantités suivantes 2×4×6×8× · · ·(2n−2)×2n
sin(x) sin(2x) sin(3x)· · ·sin(nx) a3pap3+1· · ·an3−1an3 (p≤n).
(f ) CalculerQn
k=13 puisQn
k=1a (a∈R).
(g) Comparer
³Yn
k=1
ak´³Yn
k=1
bk´ et
n
Y
k=1
(akbk).
(h) Calculer Qn
k=1(c ak) en fonction de c, n et Qn
k=1ak. (i) CalculerQn
k=2
³1−1k´
. On pourra écrire 1−k1=
k−1
k et extraire le produit des numérateurs et le produits des dénominateurs.
Exercice 3. Binôme de Newton (a) Simplifiera=
¡12
5
¢
¡11 5
¢.
(b) CalculerPn k=0
¡n
k
¢,Pn k=0
¡n
k
¢(−1)k etPn k=0
¡n
k
¢xk. (c) Montrer par récurrence, pour n ≥ 2, que
n
X
k=2
Ãk 2
!
= Ãn+1
3
! . (d) Développer (1+p
3)4 et (1−p
3)4. En déduire queA=(1+p
3)4+(1−p
3)4est un entier.
(e) Calcul de
n
X
k=0
k Ãn
k
! .
-i- Vérifier que sin≥k≥1 on ak¡n k
¢=n¡n−1
k−1
¢ -ii- En déduire que
n
X
k=0
k Ãn
k
!
=n
n
X
k=1
Ãn−1 k−1
! .
-iii- Utiliser la question (b) et montrer que
n
X
k=0
k Ãn
k
!
=n2n−1.
Exercice 4. Calculer les valeurs de cosπ 8, sinπ
8 ainsi que cos π
12, sin π
Exercice 5. Résoudre les équations12 (1) cos(x)= −
p2 2 (2) cos(4t)=0 (3) cosx−sinx= 1
p2
Exercice 6. Simplifier les expressions suivantes sin(2x)+sin(4x)+sin(6x)
1+cos(2x)+cos(4x)
sin3x+sinxcos2x tan3x+t anx Exercice 7. Exprimer sous forme algébrique (la forme a+i b) les nombres complexes proposés
(1) (1−i)4, (1+2i)2,i(i+2)(2i+1)2 (2) 1+2i
3+i , 1+i 11+2i, 1
1+i (3) (i−1)5
(i+1)4, 1+p 2−i 1+p
2+i (4)
p3−1+i(p 3+1) 1−ip
3 ,
p3+1+i(p 3−1) 1−ip
3
Exercice 8. Calculer le module des nombres com- plexes proposés.
(1) 4+i, 4−i, 1+4i, 1−4i (2) p
2+ip
3, 1−ip 2, 1
2(1+ip 2)
1
2
Exercice 9. Soientzetz0deux nombres complexes de module 1. On suppose que z+z06=0. Démontrer que le nombre 1+zz0
z+z0 est un nombre réel
Exercice 10. Déterminer le nombre complexe z tel que 2z−1
z2 est réel.
Exercice 11. Résoudre dansCl’équationz(1+i)−iz¯= 1.
Exercice 12. Résoudre dansCl’équationz+z¯=1+i.
Exercice 13. Résoudre dansCle système (z+4z0=1+ip
2 i z+p
2z0=1
Exercice 14. Déterminer le module et l’argument des nombres complexes suivants
3+3i, p
3+i, 1+ip
3, i−1
−4, p
3−i, p
2(i−1), ip 3−1
Exercice 15. Exprimer sous forme algébrique les nombres complexes proposés
(1+i)44, ¡ p3
3 +i 6
¢18
Exercice 16. Déterminer sous forme algébrique les ra- cines carrées des nombres complexes proposés
(1) 3+4i,−5+2i (2) 4i−3,−2−2ip
3.
Exercice 17. Résoudre dans C les équations propo- sées
(1) z2−2z−4=0 (2) z2−7z+1=0 (3) 2z2+3z+4=0 (4) z2+z+1=0 (5) 4z2+z+4=0
(6) z2+2p
3z+12=0 (7) z2−2p
5z−12i=0.
Exercice 18. Résoudre l’équation donnée sachant qu’elle admetz0donnée (ou vérifiant une propriété)
(1) z3−(1+i)z2+4z−4−4i=0, z0=2i (2) z3−i z2+(1−i)z−2+2i=0, z0∈R. Exercice 19. Utiliser les formules de De Moivre
(1) pour exprimer cos(3θ) et sin(3θ) en fonction de cos(θ) et sin(θ).
(2) pour exprimer cos(4θ) et sin(4θ) en fonction de cos(θ) et sin(θ)
Exercice 20. Utiliser les formule d’Euler pour linéari- ser
cos2θsinθ, sin2θcosθ, cos3θ Exercice 21. Linéariser sin3θ, cos3θsin2θ.
Exercice 22.
(a) Montrer que pour toutz∈Con a
|ℜ(z)| + |ℑ(z)|
p2 ≤ |z| ≤ |ℜ(z)| + |ℑ(z)|
(b) Résoudre dans C l’équation (z+i)6=(i−z)6 [on pourra se ramener à la racine 6ème de l’unité].
(c) Résoudrez+1z=cos(θ),z4+3z2−4=0.
(d) Résoudrez3=1 puisz6+7z3−8=0.
Exercice 23. Transformation deacosθ+bsinθ.Soient a, b et θ trois réels. En remarquant que la quantité acosθ+bsinθ est la partie réelle d’un nombre com- plexe bien choisi montrer qu’il existeR etϕ(modulo 2π) uniques tels que
acosθ+bsinθ=Rcos(θ+ϕ).
Application : cos(θ)+p
3 sin(θ)=?
