Universit´e Lille I L3 Maths
2011-2012 M-52
5 - COMPACITE
Quizz Exercice 1
Les espaces suivants sont-ils compacts ?
{(x, y, z)∈R3/ x2+y2+z2≤1}; [0; +∞[ ; {(x, y)∈R2/ 2x+ 1≤y≤2x+ 2}; Q∩[0; 1]
Exercice 2
Montrer qu’unK-evn non trivial n’est jamais compact (que peut-on dire de la suiten xsix6= 0 ?).
Pour s’entraˆıner Exercice 3
Montrer que l’ensembleO(n) des matrices orthogonales est compact.
Exercice 4
Soit 0< a < b, f : [a;b] →R continue telle que∀x, 0 ≤f(x) < x. Montrer qu’il existe k < 1 tel que
∀x, f(x)≤kx.
Exercice 5
SoitE une ellipse du plan euclidien. Montrer qu’il existe un triangle de p´erim`etre maximum inscrit dans E.
Exercice 6
Dans unK-evnE, on suppose que la sph`ereS(a, r) est compacte.
a) Montrer que la sph`ereS(0,1) est compacte.
b) A l’aide de l’application (ρ, ω)7→ρω d´efinie sur [0; 1]×S(0,1), montrer queBF(0,1) est compacte.
c) En d´eduire que toutes les boules ferm´ees de Esont compactes.
Les essentiels Exercice 7
SoitNune norme surMn(K). Montrer que l’applicationf : (A, B)7→N(AB) d´efinie surS(0,1)×S(0,1) est born´ee et atteint ses bornes.
En d´eduire qu’il existek >0 le plus petit possible tel que∀A, B∈ Mn(K), N(AB)≤kN(A)N(B).
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Exercice 8
SoitK etF des parties disjointes de (E, d). On suppose queKest compacte et F ferm´ee : montrer que d(K, F)>0. Est-ce encore vrai siK est seulement suppos´e ferm´ee ?
Exercice 9
SoitEunK-evn etF un sev de dimension finie deE. Montrer que pour touta∈E,d(a, F) est atteinte (´etudier l’applicationx7→ ka−xkd´efinie surF).
Pour aller plus loin
Exercice 10 – Une version du th´eor`eme d’Ascoli
SoitM >0 et k >0 fix´es. On noteA l’ensemble des fonctions de [0; 1] dansRqui sont born´ees parM etk-lipschitziennes : on va montrer queAest un compact de (C([0; 1],R), N∞). Pour cela, on part d’une suite (fn) d’´el´ements deA, et on va construire une sous-suite de (fn) qui converge (pourN∞) vers une fonctionf ∈A.
a) PuisqueQ∩[0; 1] est d´enombrable, on note{a0, . . . , an, . . .}ses ´el´ements, qui forment une partie dense de [0; 1].
i) Montrer que (fn(a0))nadmet une sous-suite convergente fϕ0(n)(a0)
, puis que fϕ0(n)(a1) admet une sous-suite convergente fϕ0(ϕ1(n))(a1)
.
ii) On it`ere le processus, et on poseψ(n) =ϕ0◦. . .◦ϕn(n). V´erifier queψ:N→Nest strictement croissante, et que pour toutkla suite fψ(n)(ak)
n converge.
iii) En d´eduire que fψ(n)
nest une sous-suite de (fn)nqui converge simplement en tous les rationnels.
b) Soit x ∈ [0; 1]. Montrer que fψ(n)(x)
n est de Cauchy. En d´eduire que la suite fψ(n)
n converge simplement sur [0; 1] : on notef : [0; 1]→Rsa limite.
c) Il reste `a montrer que fψ(n)
n converge vers f pour N∞, c’est-`a-dire que fψ(n)
n converge uni- form´ement sur [0; 1] versf.
i) Montrer quef estk-lipschitzienne.
ii) Soitε >0 : justifier l’existence dex1, . . . , xs∈[0; 1] tels que [0; 1]⊂ ∪sj=1]xj−ε;xj+ε[. Montrer que la convergence simple de (fψ(n))n versf enx1, . . . , xs entraˆıne la convergence uniforme sur [0; 1].
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