Sup PCSI2 — Contrˆole 1998/09
Rappel : r´edigez chaque partie ou exercice sur une (ou plusieurs) copie(s) s´epar´ee(s). Pas d’encre rouge. Les calculatrices ne sont pas autoris´ees. Toutes les justifications doivent figurer sur votre copie, mais la r´edaction doit rester sobre. Vous pouvez admettre un r´esultat, `a condition de le signaler tr`es clairement. Les copies mal pr´esent´ees encourent une p´enalit´e de deux points sur vingt. Mettez votre nom sur chaque copie.
Qu’on se le dise.
Exercice 1 (Bac 1978)
Q1 Discutez, en fonction dem, la nature de la courbe d’´equationmx2−6mx+(2−m)y2−4y(2−m)+4m+9 = 0.
Pour chaque cas de figure envisag´e, vous pr´eciserez les ´el´ements g´eom´etriques de la courbe, et vous donnerez une repr´esentation graphique sommaire.
Exercice 2 (d’apr` es ENSAM/ESTP 1997)
IOn note A =
1 1 0 1 1 1 1 1 1
. La suite de Fibonacci (Fn)n∈N est d´efinie par F0 = 0, F1 = 1 et Fn+2 = Fn+1+Fn pour toutn∈N.
Q1 CalculezA2,A3 etA4.
Q2 Donnez une expression deAn faisant intervenir des termes de la suite deFibonacci.
Exercice 3 (fabrication maison)
Q1 Donnez la d´efinition d’un produit scalaire sur unR-e.v. E.
Inest un naturel au moins ´egal `a 1. La base canonique deRn[X] estB= (1, X, X2, . . . , Xn). SoientP etQ deux ´el´ements deRn[X] ; notonsϕ(P, Q) =P(0)Q(0) +
Z 1
0
P0(t)Q0(t)dt.
Q2 Montrez que ϕest un produit scalaire sur le R-e.v. Rn[X].
INotonsAla matrice deϕdans la baseB. Nous indexerons les coefficients deA`a partir de 0, et non `a partir de 1 comme le veut la coutume.
Q3 ExplicitezAi,j en fonction deiet j. Vous distinguerez plusieurs cas de figure, au besoin.
INotonsH l’ensemble des ´el´ements deRn[X] orthogonaux `a1.
Q4 Quelle est la dimension deH? Q5 Explicitez une base deH.
Q6 Exhibez un r´eelαtel queH soit le noyau de la forme lin´eaireP 7→P(α).
INotonsπ la projection orthogonale deRn[X] surH.
Q7 Quelle est le rang de π?
Q8 Explicitez la matrice deπ dans la baseB.
Q9 NotonsD: P 7→P0 la d´erivation, consid´er´ee comme endomorphisme deRn[X]. A-t-onπ◦ D=D ◦π?
Exercice 4 (d’apr` es ECRICOME 1996 option g´ en´ erale)
INotonsf : x >07→xx.
Q1 D´eterminez la limite` def `a droite de 0. Nous consid´erons d´esormais quef a ´et´e prolong´ee par continuit´e
`
a droite de 0 en d´efinissantf(0) =`.
Q2 Calculez f0(x) pour x > 0. f est-elle d´erivable `a droite de 0 ? ´Etudiez rapidement les variations def et tracez sa courbe repr´esentative.
Q3 Montrez que la restriction g de f `a l’intervalle J = ]1/e,+∞[ r´ealise une bijection, de classeC∞, de cet intervalle sur un intervalleK que vous pr´eciserez.
Q4 Notons h la bijection r´eciproque de g. Montrez que h est de classe C∞ sur K, puis justifiez la formule xh0(x) = h(x)
h(x) + ln(x).
Q5 Montrez que h(x) est n´egligeable devant lnx lorsquextend vers +∞. Q6 Donnez un ´equivalentsimple de ln h(x)
lorsque xtend vers +∞.
[Contr^ole 1998/09] Compos´e le 13 mai 2006
