I.Dénitions Index Plan Rédactionincomplète.Version0.2 Espacesvectoriels(sansdimension)

Espaces vectoriels (sans dimension)

Rédaction incomplète. Version 0.2

Plan

I. Dénitions . . . 1

1. Espace vectoriel. . . 1

2. Exemples - Constructions . . . 1

1.Sous-corps . . . 1

2.Espaces produits . . . 2

3.Espaces fonctionnels. . . 2

4.Espaces de polynômes . . . 2

3. Familles de vecteurs . . . 2

II. Sous espaces vectoriels . . . 3

1. Dénition. . . 3

2. Intersection . . . 4

3. Sous espace engendré par une partie . . . 4

4. Somme de sous-espaces . . . 5

Index

base,3

base canonique deKⁿ,2 combinaison linéaire,2 droite vectorielle,4 espace vectoriel,1

espaces supplémentaires,5 famille génératrice,3 famille liée,3

famille libre,3 plan vectoriel,4 relation linéaire,2

somme de deux sous-espaces,5 somme de sous-espaces,5 somme directe,6

sous-espace engendré,4

Le cours d'algèbre linéaire (hors calcul matriciel) est réparti sur trois documents : Espaces vectoriels (sans dimension)(ce texte),Dimensions des espaces vectorielset Applications linéaires.

I. Dénitions

1. Espace vectoriel

Dénition (espace vectoriel). SoitKun corps etE un ensemble muni d'une opération interne notée+et d'une multiplication externe

K×E →E (λ, x) →λx

On dira queE est unK-espace vectoriel lorsque les opérations vérient les propriétés suivantes (E,+) est un groupe commutatif.

Pour toutx∈E,1_Kx=x.

Pour tousλet µdansKet toutxdansE,(λ µ)x=λ(µx)et(λ+µ)x=λx+µx. (distributivité) Pour tousλdansK etx,y dansE, λ(x+y) =λx+λy.

Remarque. Il faut bien noter que pourλ∈ K (on dit λ scalaire) et tout vecteur x∈ E, la notation xλ avec λ à gauche n'a aucun sens. Vous ne devriez jamais avoir à écrire une telle expression. Elle provient toujours d'une erreur.

Proposition (règles de calcul). SoitK un corps etE un K-espace vectoriel.

∀λ∈K:λ0E= 0E

∀x∈E: 0Kx= 0E

∀λ∈K,∀x∈E:−(λx) = (−λ)x=λ(−x).

Preuve.

λ0_E+λ0_E =λ(0_E+ 0_E) =λ0_E⇒λ0_E= 0_E en ajoutant−(λ0_E). De même :

0_Kx+ 0_Kx= (0_K+ 0_K)x= 0_Kx⇒0_Kx= 0_E en ajoutant−(0Kx). La troisième relation se déduit facilement des précédentes.

Remarque. En particulier :0K0E= 0E et −x= (−1K)x.

2. Exemples - Constructions

1. Sous-corps

En considérant la multiplication interne sur un corps Kcomme une multiplication externe ( ! !), on remarque que tout corpsKest naturellement unK-espace vectoriel. Plus généralement, on peut considérer les sous-corps.

Proposition. Soit K un corps et k un sous-corps deK. L'addition et la multiplication deK dénissent sur K une structure dek-espace vectoriel.

Exemple. Ainsi,Cest unR-espace vectoriel,Rest unQ-espace vectoriel.

2. Espaces produits

Proposition. SoitE₁, E₂,· · ·, E_pdes espaces vectoriels sur un même corpsK. Les opérations obtenues par produit surE₁×E₂× · · · ×E_p des additions et multiplications externes dénissent une structure deK-espace vectoriel.

Exemple. On dénit ainsi une structure deK-espace vectoriel surKⁿ pour tout entier naturel non nuln. En particulier, notons

ε1= (1K,0K,· · ·,0K) ε2= (0K,1K,· · ·,0K)

...

ε_i = (0_K,· · ·,0_K,1_K,0_K,· · ·,0_K) (le1 en positioni) ...

εn = (0K,· · ·,0K,1K)

Alors :

∀(x1, x2,· · · , xn)∈Kⁿ, (x1, x2,· · · , xn) =x1ε1+x2ε2+· · ·+xnεn

Ainsi, tout vecteur deKⁿ est une combinaison linéaire des vecteurs de la famille(ε1, ε2,· · ·, εn). Cette famille est appelée la base canonique deKⁿ. Le terme de base sera justié plus loin.

3. Espaces fonctionnels

Proposition. SoitΩ un ensemble quelconque etE un K-espace vectoriel. Sur l'ensembleF(Ω, E) des fonctions deΩ dansE, sont dénies une addition fonctionnelle et une multiplication externe fonctionnelle :

∀(f, g)∈ F(Ω, E)²,∀λ∈K,

(f+g est déni par :∀ω∈Ω : (f+g)(ω) =f(ω) +g(ω) λf est déni par :∀ω∈Ω : (λf)(ω) =λf(ω)

Ces opérations dénissent une structure deK-espace vectoriel surF(Ω, E).

Les suites et les fonctions à valeurs réelles héritent ainsi de structures deR-espace vectoriel.

4. Espaces de polynômes

Pour tout corpsK, l'ensembleK[X] est unK-espace vectoriel. Pour un entiern xé, l'ensembleK_n[X] des polynômes de degré inférieur ou égal ànest unK-espace vectoriel.

3. Familles de vecteurs

La proposition suivante joue un rôle très important dans la théorie de la dimension.

Proposition. SoitK un corps etE un K-espace vectoriel. Pour tout λ∈K etx∈E : λx= 0E⇒λ= 0K oux= 0E

Preuve. Siλ6= 0K alors il est inversible car Kest un corps. Il existe donc µ∈K tel queµλ= 1. En multipliant scalairement parµ, on obtient

λx= 0_E⇒µ(λx) =µ0_E⇒(µλ)x= 0_E⇒1_Kx= 0_E⇒x= 0_E.

Dénition (Combinaison linéaire). Une combinaison linéaire d'une famille nie de vecteurs(x1, x2,· · · , xp)est un vecteur de la forme

λ1x1+λ2x2+· · ·+λpxp

avecλ₁,· · · , λ_p dansK. On dit que lesλ_i sont les coecients de la combinaison linéaire.

Dénition (Relation linéaire). Une relation linéaire entre les vecteurs d'une famille nie(x1, x2,· · ·, xp)est une combinaison linéaire nulle dont un au moins des coecients est non nul.

Exemple. Dans leR-espace vectorielC, il existe une relation linéaire entre les vecteurs de la famille(1, j, j²). (la somme est nulle, les trois coecients étant égaux à1)

Dénition (Famille liée). Une famille est liée si et seulement si il existe une relation linéaire entre ses vecteurs.

Dénition (Famille libre). Une famille est libre si et seulement si il n'existe pas de relation linéaire entre ses vecteurs.

Proposition (caractérisations du caractère libre ou lié). SoitE un K-espace vectoriel et(a₁,· · · , a_p)∈E^p. (a₁,· · · , a_p)liée ⇔ ∃(λ₁,· · ·, λ_p)∈K^p tq

((λ1,· · · , λp)6= (0K,· · ·,0k) λ₁a₁+· · ·+λ_pa_p= 0_E

(a₁,· · ·, a_p)libre ⇔ ∀(λ₁,· · · , λ_p)∈K^p, (λ₁a₁+· · ·+λ_pa_p= 0_E⇒(λ₁,· · · , λ_p) = (0_K,· · ·,0_k)). Preuve. Il s'agit d'une simple reformulation des dénitions.

Remarques. 1. Une famille est liée si et seulement si elle n'est pas libre.

2. Une famille(x)formée d'un seul vecteur est libre si et seulement six6= 0_E.

3. Pour une famille de scalaires ou de vecteurs, bien faire la diérence entre les expression non tous nuls et tous non nuls .

Dénition (Famille génératrice). Une famille d'unK-espace vectoriel E est génératrice si et seulement si tout vecteur deE est une combinaison linéaire de la famille.

Dénition (Base). Une base est une famille libre et génératrice.

Proposition (Coordonnées dans une base). Si(a₁,· · · , a_p) est une base de E, pour tout vecteurx, il existe un uniquep-uplet(λ₁,· · ·, λ_p)∈K^p tel que

x=λ₁a₁+· · ·+λ_pa_p Cesλi sont appelés les coordonnées dexdans la base.

Preuve. L'existence vient du caractère générateur de la base. L'unicité vient du caractère libre. S'il existait deux p-uplets distincts, en soustrayant on obtiendrait une relation entre les vecteurs de la base.

Exemples de bases : base canonique de la partie2.Espaces produits, polynômes de degrés échelonnés.

Les questions liées à l'existence de bases, aux coordonnées et aux propriétés des espaces vectoriels qui admettent des bases seront traitées dans la sectionDimension des espaces vectoriels.

II. Sous espaces vectoriels

1. Dénition

Dénition. Une partieA d'un K-espace vectoriel E est un sous-espace vectoriel si et seulement si elle est non vide et stable pour la multiplication externe et l'addition.

∀(a, a⁰)∈A², ∀λ∈K, a+a⁰∈A etλa∈A Remarques. Un sous-espace vectoriel contient toujours le vecteur nul.

La restriction des opérations à un sous-espace dénit une structure d'espace vectoriel sur celui ci.

On trouve parfois des caractérisations mélant les deux opérations ( par exemplea+λa⁰ ∈A) mais cela ne sert pas à grand-chose.

Proposition. Une partie non videA d'unK-espace vectoriel E est un sous-espace vectoriel si et seulement siA est stable pour les combinaisons linéaires des familles de vecteurs deA.

Preuve. Immédiat à partir de la dénition.

2. Intersection

Proposition. L'intersection d'une famille de sous-espaces vectoriels est encore un sous-espace vectoriel.

Preuve. On vérie les stabilités par le jeu du quanticateur∀.

Remarque. En revanche, si Aet B sont eux sous-espaces, A∪B n'est un sous-espace que dans le cas trivial où l'un est inclus dans l'autre. Par exemple, siA6⊂B, il existea∈Atel que a /∈B. Alors, pour toutb∈B, notons

s= a

|{z}

∈A∪B

+ b

|{z}

∈A∪B

∈A∪B stabilité du sev

Sisappartenait àB, on auraita=s−b∈B en contradiction avec la dénition dea. Donc s∈A⇒b=s−a∈A

3. Sous espace engendré par une partie

Dénition. SoitE unK-espace vectoriel etAune partie deE. L'intersection de tous les sous-espaces vectoriels contenantA est appelé le sous-espace vectoriel engendré parA. Il est notéVect(A).

Remarque. SiV est un sous-espace vectoriel contenantAalorsVect(A)⊂V.

Proposition. SiA={a1,· · · , a_p}, le sous-espace engendré parA est l'ensemble des combinaisons linéaires.

Vect(a₁,· · ·, a_p) ={λ₁a₁+· · ·+λ_pa_p}

Preuve. On a vu qu'une combinaison linéaire de vecteurs qui sont des combinaisons linéaires de a1,· · ·, ap est encore une combinaison linéaire de a1,· · ·, ap. On en déduit que l'ensemble des combinaisons linéaires est un sous-espace. Il est contenu dans n'importe quel sous-espaceU contenant lesai par stabilité deU.

Remarque. En particulier dans le cas d'un singleton, Vect(a) = {λa, λ ∈ K} est aussi noté Ka. Une droite vectorielle est un sous-espace de la formeKapour un vecteuranon nul. Un plan vectoriel est un espace engendré par une famille libre de deux vecteurs.

Exercice traité en classe

DansE=R³, on notex= (2,3,−1), y= (1,−1,−2)etu= (3,7,0),v= (5,0,−7). Montrer queVect(x, y) = Vect(u, v).

Si on exprimexet y comme des combinaisons linéaires deuet v, on prouve que toute combinaison linéaire dex etyest une combinaison linéaire deuetv d'oùVect(x, y)⊂Vect(u, v). On obtient l'autre inclusion en exprimant uet ven fonction dexet y.

On cherche à prouver l'existence de λ et µ tels que x = λu+µv. Cela se traduit par le système suivant aux inconnuesλetµ:

u= (3,7,0) ×λ v= (5,0,−7) ×µ x= (2,3,−1)







3λ+ 5µ= 2 7λ= 3

−7µ=−1

⇒x= 3 7u+1

7v.

De même poury=λu+µv.

u= (3,7,0) ×λ v= (5,0,−7) ×µ y= (1,−1,−2)







3λ+ 5µ=−1 7λ=−1

−7µ=−2

⇒y=−1 7u+2

7v.

Les relations obtenues montrent queVect(x, y)⊂Vect(u, v). Toujours avec des techniques de systèmes linéaires, onn peut inverser les relations :





 x= 3

7u+1 7v y=−1

7u+2 7v

⇒

(u= 2x−y

v=x+ 3y ⇒Vect(u, v)⊂Vect(x, y).

4. Somme de sous-espaces

Dénition. SoitE unK-espace vectoriel etA, B deux sous-espaces de E. La somme deA et B est l'ensemble notéA+B des sommes d'un vecteur quelconque deA et d'un vecteur quelconque deB.

A+B={a+b,(a+b∈A×B}

Proposition. La somme de deux sous-espaces vectoriels est un sous-espace vectoriel.

Preuve. On vérie immédiatement les stabilités requises.

Dénition (sous-espaces supplémentaires). SoitEunK-espace vectoriel. Deux sous-espacesA,B deE sont dits supplémentaires si et seulement si tout vecteur deE se décompose de manière unique en la somme d'un vecteur deA et d'un vecteur deB.

Proposition. SoitE unK-espace vectoriel etA,B deux sous-espaces deE. Ils sont supplémentaires si et seule- ment siA∩B={0E} etA+B=E.

Preuve. SupposonsA et B supplémentaires. AlorsA+B =E car tout vecteur se décompose en la somme d'un vecteur deAet d'un vecteur deB. Montrons queA∩B={0E}.

Soitx∈A∩B : 0E = 0E

|{z}

∈A

+ 0E

|{z}

∈B

= x

|{z}

∈A∩B⊂A

+ (−x)

| {z }

∈A∩B⊂B

⇒x= 0E (unicité de la décomposition de0E)

Supposons queA∩B={0E}et A+B=E. Il s'agit seulement de prouver l'unicité de la décomposition d'un vecteur quelconque deE. Si unx∈E se décompose de deux manières

∃(a, b)∈A×B et (a⁰, b⁰)∈A×B tq

(x=a+b

x=a⁰+b⁰ ⇒0E= (a−a⁰) + (b−b⁰)

⇒a−a⁰

| {z }

∈A

=b⁰−b

| {z }

∈B

∈A∩B ={0E} ⇒

(a=a⁰ b=b⁰

Exemples. Pour les exemples listés au dessousAetB sont des sous-espaces supplémentaires deE.

1. SoitE leR-espace vectoriel des fonctions deRdansR,Aest l'ensemble des fonctions paires deRdansRet B l'ensemble des fonctions impaires.

2. SoitEleR-espace vectoriel des suites convergentes de réels,Al'ensemble des suites constantes etBl'ensemble des suites qui convergent vers0.

Remarques. SoitA, B, C des sous-espaces d'unK-espace vectoriel E.

A+B= Vect(A∪B), (A⊂C etB ⊂C)⇒A+B⊂C.

On peut étendre la notion de somme à plus de deux sous-espaces.

Dénition (Somme de sous-espaces). Soit A1,· · ·, Ap des sous-espaces d'un K-espace vectorielE. On appelle somme desAi la partie deE

A₁+· · ·+A_p={a1+· · ·+a_p, (a₁,· · ·, a_p)∈A₁× · · · ×A_p} Remarque. Soitx∈E,

x∈A₁+· · ·+A_p⇔ ∃(a₁,· · · , a_p)∈A₁× · · · ×A_p tqx=a₁+· · ·+a_p

Autrement dit un vecteur est dans la somme si et seulement il se décompose en une somme de vecteurs de chacun des sous-espaces.

Proposition. Une somme de sous-espaces est un sous-espace.

Preuve. Vérication immédiate

On vérie facilement que l'opération somme de sous-espaces est associative.

Dénition. SoitA1,· · ·, Ap des sous-espaces d'unK-espace vectorielE. On dira que la sommeA1+· · ·+Apest directe si et seulement si les vecteurs de la somme se décomposent de manière unique en une somme de vecteurs des sous-espaces.

Notation. Lorsque les sous-espacesA₁,· · ·, A_p sont en somme directe, on note A₁⊕ · · · ⊕A_p=A₁+· · ·+A_p.

En particulier,E=A⊕B siAetB sont supplémentaires dans E.