1 Rappels et dé…nitions utiles 5

Table des matières

Introduction 3

1 Rappels et dé…nitions utiles 5

1.1 Le principe classique d’analyse des séries chronologiques . . . . 5

1.1.1 Estimation de la tendance en l’absence de la saisonnalité . . . . 6

1.1.2 Elimination du trend et de la saisonnalité . . . . 9

1.2 Rappel sur les processus aléatoires . . . . 10

1.3 Modèle linéaire général . . . . 11

1.3.1 Relation entre les poids et les poids . . . . 13

1.3.2 La fonction génératrice des autocovariances d’un processus linéaire . . 13

1.3.3 La fonction d’autocorrélation (acf) . . . . 15

1.3.4 La fonction d’autocorrélation partielle (pacf) . . . . 15

1.4 Le périodogramme d’un processus . . . . 16

1.4.1 Le périodogramme d’un processus linéaire stationnaire . . . . 17

2 Modélisation des séries stationnaires 18 2.1 Modèles de Box-Jenkins . . . . 18

2.1.1 Le modèle AR (p) . . . . 18

2.1.2 Le modèle M A(q) . . . . 21

2.1.3 Le modèle ARM A(p; q) . . . . 23

2.1.4 Modèles linéaires non-stationnaires . . . . 27

2.1.5 Méthode de prévision . . . . 28

2.1.6 Prévision à l’aide d’un processus ARM A . . . . 29

2.2 Identi…cation de modèle pour les séries chronologiques . . . . 30

2.2.1 Position du problème . . . . 30

TABLE DES MATIÈRES

2.2.2 Ajustement d’un modèle et détermination de son ordre . . . . 31

2.2.3 Détermination de l’ordre d’un modèle . . . . 32

3 Applications sous R 34 3.1 L’analyse des séries chronologiques . . . . 34

3.1.1 Création d’une série temporelle . . . . 34

3.1.2 Décomposition classique . . . . 36

3.1.3 La méthode de di¤érence . . . . 41

3.2 La méthode de Box-Jenkins . . . . 41

3.2.1 Pour un processus AR (1) . . . . 41

3.2.2 Pour un processus M A (1) . . . . 42

3.2.3 Pour un processus ARM A (1; 1) . . . . 42

3.3 Identi…cation . . . . 43

3.3.1 Ajustement d’un modèle . . . . 43

3.3.2 Le choix de modèle . . . . 45

Conclusion 47

Bibliographie 47

Introduction

Une série chronologique est une suite formée d’observations au cours du temps. L’analyse des séries chronologiques est un outil couramment utilisé de pour décrire, expliquer puis prévoir dans le futur. Ce domaine possède beaucoup d’applications en …nance, en chimie, en économétrie et en météorologie et dans bien d’autres .

A la base, l’étude formelle des séries chronologiques consiste à trouver un modèle ma- thématique qui explique le mieux possible les données observées. A partir de ce modèle, il est possible de faire la prévision. Cependant la justesse des prévisions dépend fortement de la qualité du modèle choisi, il est donc primordial de trouver des modèles qui re‡ètent le mieux possible la réalité a…n de minimiser les erreurs de prévision.

La démarche, en modélisation d’une série temporelle, consiste à observer l’existence d’une tendance et d’une saisonnalité, ainsi qu’à véri…er la stationnarité en analysant les diagrammes appropriés. Nous nous traitons aussi sur la méthode de Box-Jenkins qui traite les processus stationnaires, cela consiste à la sustruction d’un modèle selon la phase de l’identi…cation du modèle.

La méthode de Box-Jenkins exige un processus stationnaire. Cependant, dans la nature les séries ne sont généralement pas stationnaires. Les modèles que nous avons choisi d’utiliser pour modéliser nos séries soit le modèle ARM A et ARIM A:

Ce travail est organisé en trois chapitres :

Le premier commence par des rappels et les dé…nitions utiles pour nous aider à mieux

comprendre l’étude dans la suite de ce mémoire, nous avons discuté les principes classiques

des séries chronologiques, nous adoptons la partie déterministe qui contient la tendance et la

saisonnalité, ensuite, nous éliminons ces derniers composante et nous gardons la partie aléa-

toires la plus intéressante, en plus nous donnons des dé…nitions sur le processus stochastique,

le modèle linéaire générale et leurs caractéristiques à savoir la fonction d’autocovariance, la

fonction d’autocorrélation simple et partielle, et le périodogramme.

Introduction

Le deuxième chapitre est constitué de deux sections :

Dans la première section, nous allons traiter les modèles de Box et Jenkins, en présentant trois principaux modèles stationnaires : AR; M A; ARM A et non stationnaires : ARIM A et SARIM A en étudiant leurs proprietés (la stationnarité, l’inversibilités, la causalité, acf, pacf, périodogramme), à la …n de ce section nous examinons sur la méthode de prévision à l’aide d’un processus ARM A.

La deuxième section traite la méthode d’identi…cation de Box et Jenkins qui se base sur la comparaison de caractéristiques théoriques des processus ARM A à leurs équivalents empiriques (la fonction d’autocorrélation simple et partielle) pour obtenir le meilleur modèle choisi en utilisant l’un critère d’information, le critère AIC ou le critère BIC:

Le dernier chapitre, abordera l’aspect pratique de notre travail, nous utiliserons pour ce

fait, le logiciel R : (logiciel libre de traitement des données et d’analyse statistique mettant

en oeuvre le langage de programmation S).

Chapitre 1

Rappels et dé…nitions utiles

1.1 Le principe classique d’analyse des séries chrono- logiques

Les techniques modernes pour l’étude des séries chronologiques ont été initiées par Yule[19]. Les travaux de Wold[18] ont permis de développer une théorie complète des mo- dèles d’autoregréssif- moyenne mobile (ARM A). Dans les années quarante Wiener[17] et Kolmogoro¤[8] ont résolu le problème de l’estimation des …ltres continus et discrets res- pectivement. Au début des années soixante Kalman[6] et Kalman et Bucy[7] ont étendu les procédures d’estimation de Wiener[17] et Kolmogorro¤[8] aux séries chronologiques non stationnaires. Une série chronologique est une suite de variable aléatoire observée séquentiel- lement dans le temps.

L’objectif de l’approche de l’étude des séries chronologiques est de séparer la composante aléatoire de la partie déterministe du processus étudié. Cette étude se compose de deux étapes :

La première est appelée "analyse des séries chronologiques" dont l’objectif est de mettre en évidence les caractéristiques du phénomène engendrant la série chronologique. Ceci est réalisé en utilisant simultanément les propriétés des autocorrélations et les propriétés spéc- trales de la série chronologique.

La deuxième étape consiste en l’utilisation du plusieurs types de méthodes telles que la

décomposition de la série chronologique, lissage exponentiel ou les modèles autorégressifs-

moyennes mobiles, toute ces méthodes tendent à isoler le bruit blanc dans les valeurs obser-

1.1. LE PRINCIPE CLASSIQUE D’ANALYSE DES SÉRIES CHRONOLOGIQUES

vées de la série chronologique.

Le principe de décomposition des série chronologiques est basé sur l’hypothèse que toute série chronologique est constituée de trois composantes principales : la tendance (T

_t

), la saisonnalité (S

_t

) et la partie aléatoire (Z

_t

).

Soit (X

_t

) le processus observé, si on suppose que la relation entre les trois composantes est additive, on aura alors le modèle additive :

X

_t

= T

_t

+ S

_t

+ Z

_t

:

Le modèle multiplicatif : on suppose que les variations saisonnières et les variations acciden- telles dépendent de la tendance, alors X

_t

s’écrit de la manière suivante :

X

t

= T

t

S

t

Z

t

:

Le modèle mixte : si on suppose que les variations saisonnières dépendent de la tendance et X

_t

s’écrit :

X

t

= T

t

S

t

+ Z

t

:

La partie aléatoire est bien évidement la partie la plus intéressante à modéliser pour une série chronologique, on note Z

_t

la composante aléatoire, supposée de moyenne nulle, mais possédant en général une structure de corrélation non nulle.

1.1.1 Estimation de la tendance en l’absence de la saisonnalité

Supposons dans un premier temps, que la partie déterministe du modèle soit uniquement composée d’un trend T

_t

linéaire :

X

_t

= T

_t

+ Z

_t

(1.1)

Nous allons résumer trois méthodes principales pour estimer T

_t

. Estimation paramétrique

Cette méthode consiste à estimer la tendance par la méthode des moindres carrés or-

dinaires. Supposons que l’on observe la série chronologique, il semble naturel d’estimer la

composante T

_t

de cette série par une fonction linéaire T b

_t

= b a + b bt où b a et b b sont des estima-

teurs des coe¢ cients de la fonction linéaire estimant T

_t

. Pour trouver ces estimateurs par la

méthode des moindres carrés ordinaires, il faut minimiser l’erreur quadratique en remplaçant

T

_t

par T b

_t

dans (1:1).

1.1. LE PRINCIPE CLASSIQUE D’ANALYSE DES SÉRIES CHRONOLOGIQUES

Proposition 1.1.1 Soit X

₁

, X

₂

,..., X

_N

, la série chronologique observée, alors pour déter- miner les coe¢ cients b a et b b, on doit minimiser la quantité :

X

N t=1

(X

_t

a bt)

²

(1.2)

et en posant X =

_N¹

X

N

t=1

X

_t

, la solution de minimisation est :

8 >

> >

> <

> >

> >

:

b a =

^4N+2_{N 1}

X

_N(N⁶ ₁₎

X

N

t=1

tX

t

b b =

_N(N⁶ _{1) N(N+1)}²

X

N

t=1

tX

_t

X

! :

Preuve Pour minimiser l’équation (1:2), il faut dériver cette expression selon a et b, ce qui donne aprés quelques simpli…cations et en égalant à zéro le système :

(i) X

N

t=1

X

_t

aN b X

N

t=1

t = 0

(ii) X

N

t=1

tX

_t

a X

N

t=1

t b X

N

t=1

t

²

= 0 On peut à présent utiliser les formules usuelles :

X

N t=1

t = N (N + 1)

2 et

X

N t=1

t

²

= N (N + 1) (2N + 1) 6

En divisant (i) et (ii) par N , on obtient :

X a b (N + 1)

2 = 0

1 N

X

N t=1

tX

_t

a (N + 1) 2

(N + 1) (2N + 1)

6 b = 0

Où X est la moyenne empirique de f X

_t

g

^Nt=1

: La solution de ce système est :

8 >

> >

> <

> >

> >

:

b a =

^4N+2_{N 1}

X

_N(N⁶ ₁₎

X

N

t=1

tX

_t

b b =

_N(N⁶ _{1) N(N+1)}²

X

N

t=1

tX

_t

X

! :

1.1. LE PRINCIPE CLASSIQUE D’ANALYSE DES SÉRIES CHRONOLOGIQUES

Estimation non paramétrique

Dans certaines situations, il n’est pas facile de trouver le degré du polynôme d’ajuste- ment pour T

_t

. Il n’est pas toujours possible d’utiliser la méthode des moindres carrés car le polynôme utilisé au départ pour T

_t

n’est pas parfois ni linéaire ni quadratique.

Dans cette situation, nous avons recourt à la théorie non paramétrique de l’estimation du trend.

En e¤et, supposons que T

_t

soit linéaire dans un intervalle [t q; t + q]. Dans ce cas une bonne estimation de la tendance est donnée par :

T b

_t

= mm

_p;t

(X

_t

) = 1 p

X

q k= q

X

_t+k

; (moyenne mobile d’ordre p = 2q + 1) :

T b

t

= mm

p;t

(X

t

) = 1 p

"

1

2 X

t q

+ 1

2 X

t+q

+

q 1

X

k= q+1

X

t+k

#

; (moyenne mobile d’ordre p = 2q) :

Méthode des di¤érences itérées Le modèle s’écrit :

X

_t

= T

_t

+ Z

_t

On peut éliminer la tendance sans l’estimer, dé…nissons tout d’abord l’opérateur de retard B comme étant la fonction linéaire B qui, à toute variable X

_t

fait correspondre la variable précédente X

_{t 1}

telle que :

BX

_t

= X

_{t 1}

De maniere récursive, on obtient :

B

²

X

_t

= B (BX

_t

) = BX

_{t 1}

= X

_{t 2}

On introduit également l’opérateur de di¤érence r dont l’application à X

_t

fournit la di¤é- rence entre X

_t

et la valeur précédente X

_{t 1}

de la série :

r X

_t

= X

_t

X

_{t 1}

En vertu de la dé…nition précédente, on a directement :

r X

_t

= X

_t

BX

_t

= (1 B) X

_t

1.1. LE PRINCIPE CLASSIQUE D’ANALYSE DES SÉRIES CHRONOLOGIQUES

Plus généralement, l’opérateur de di¤érence d’ordre d envoie la valeur X

_t

de la série observée sur la di¤érence de X

_t

avec la valeur prise par la série au temps t d, ie :

r

^d

X

_t

= X

_t

X

_{t d}

= X

_t

B

^d

X

_t

= 1 B

^d

X

_t

Si on suppose que la tendance T

t

est une fonction polynôme d’ordre k :

T

_t

= X

k

j=0

a

_j

t

^j

En appliquant l’opérateur de di¤érence r , d’ordre 1 on obtient : r T

_t

= T

_t

T

_{t 1}

=

X

k j=0

a

_j

t

^j

X

k

j=0

a

_j

(t 1)

^j

Et en developpant (t 1) dans le membre de droite, il vient :

X

k j=0

a

_j

(t 1)

^j

= X

k

j=0

a

_j

t

^j

+ X

k j=1

b

_{j 1}

t

^{j 1}

D’où,

r T

_t

= X

k

j=1

b

_{j 1}

t

^{j 1}

=

k 1

X

i=0

b

_i

t

ⁱ

avec i = j 1

On voit que l’opération à l’aide de r fait diminuer d’une unité l’ordre du polynôme T

_t

, tandis que r T

t

est un polynôme d’ordre k 1. Dés lors, si on applique k fois l’opérateur r au polynôme T

_t

, on obtient r

^k

T

_t

= k!a

_k

où a

_k

est une constante indépendante de t alors :

r

^k

X

_t

= r

^k

(T

_t

+ Z

_t

) = constante + r

^k

Z

_t

; est une série détendanciée (sans tendance).

1.1.2 Elimination du trend et de la saisonnalité

On suppose à présent que, en plus du trend T

_t

, la série chronologique comporte une composante saisonnière S

t

, on considère donc le modèle :

X

_t

= T

_t

+ S

_t

+ Z

_t

(1.3)

Où, S

_t

est une fonction périodique en t de période d 2 N c’est à dire S (t + kd) = S (t), k 2 N et S

_t

ne comporte pas de composante trend, ce qui se traduit par :

X

d j=1

S

_t+j

= 0

1.2. RAPPEL SUR LES PROCESSUS ALÉATOIRES

Pour éliminer à la fois le trend et la saisonnalité, on peut également appliquer la méthode des di¤érences. Etant donné le modèle (1:3), appliquons l’opérateur de di¤érence r

^d

d’ordre d, où d est la période de S

_t

, à la série observée X

_t

:

r

^d

X

_t

= (1 B

^d

)X

_t

= X

_t

B

^d

X

_t

= X

_t

X

_{t d}

= T

_t

+ S

_t

+ Z

_t

T

_{t d}

S

_{t d}

Z

_{t d}

= (T

_t

T

_{t d}

) + (S

_t

S

_{t d}

) + (Z

_t

Z

_{t d}

)

La série chronologique r

^d

X

_t

est donc désaisonnalisée, mais elle comporte encore un trend r

^d

T

t

, et on a par dé…nition le terme S

t

S

t d

est nul. Pour éliminer la tendance restante, on peut à nouveau utiliser la méthode des di¤érences.

1.2 Rappel sur les processus aléatoires

Dé…nition 1.2.1 Un processus stochastique f X

_t

g

t2T

est une famille de variables aléatoires dé…nies sur un espace probabilisé ( ; F ; P ).

Dé…nition 1.2.2 Soit f X

_t

; t 2 Zg un processus tel que var (X

_t

) < 1 . La fonction d’auto- covariance (:; :) de f X

_t

g est dé…nie telle que :

X

(r; s) = cov (X

_r

; X

_s

) = E [(X

_r

E (X

_r

)) (X

_s

E (X

_s

))] r; s 2 T:

Dé…nition 1.2.3 Un processus aléatoire est strictement stationnaire si toutes ces caracté- ristiques c’est à dire, tout ces moments sont invariables pour tout changement de l’origine du temps.

Remarque 1.2.4 Le processus f X

_t

; t 2 Zg est dit strictement stationnaire si les lois de distributions jointes de (X

_t1

; X

_t2

; :::; X

_tk

) et (X

_t1+h

; X

_t2+h

; :::; X

_tk+h

) sont la même pour tous t

₁

; t

₂

; :::; t

k

; k 2 Z .

Remarque 1.2.5 La stationnarité au sens strict est trop restrictive et on assouplit cette

condition en dé…nissant la stationnarité du second ordre.

1.3. MODÈLE LINÉAIRE GÉNÉRAL

Dé…nition 1.2.6 Le processus f X

_t

; t 2 Zg où Z = f 0; 1; 2; ::: g , est dit stationnaire au

sens faible si : 8

<

:

(i) E j X

_t

j

²

< 1 pour tout t 2 Z (ii) E j X

t

j = m pour tout t 2 Z

si f X

_t

; t 2 Zg est stationnaire alors (r; s) = (r s; 0) pour tout r; s 2 Z . Pour tout processus stationnaire

_j

=

_j

, 8 j.

Dé…nition 1.2.7 Soit f X

_t

g un processus stationnaire. L’autocorrélation de X

_t

est dé…nie telle que :

X

(h) =

^X

(h)

X

(0) = corr (X

_t+h

; X

_t

) pour tout t; h 2 Z :

1.3 Modèle linéaire général

Nous allons rappeler dans cette section quelques dé…nitions et propriétés d’un modèle linéaire général pour un processus aléatoire.

Dé…nition 1.3.1 Soit X

_t

un processus aléatoire. L’opérateur B est appelé opérateur de recul et est dé…ni tel que :

B

^j

X

t

= X

t j

L’opération dual de B, noté F , est appelé opérateur d’avance et est dé…ni tel que :

F

^j

X

_t

= X

_t+j

Il est évident que F = B

¹

.

Dé…nition 1.3.2 Le processus f Z

_t

g est appelé bruit blanc, et est noté Z

_t

W N (0;

²

), si les trois propriétés sont véri…ées :

(i) E (Z

_t

) = 0 8 t 2 Z (ii) E (Z

_t²

) =

²

(iii) cov (Z

_t

; Z

_s

) = 0 8 s 6 = t

Proposition 1.3.3 Soit f X

_t

g

t2Z

un processus aléatoire centré et soit f Z

_t

g

t2Z

un processus de bruit blanc. Alors X

_t

peut être exprimé tel que :

X

_t

= X

1

j=0

j

Z

_{t j}

= X

1

j=0 j

B

^j

!

Z

_t

(1.4)

1.3. MODÈLE LINÉAIRE GÉNÉRAL

Où (B) = X

1

j=0 j

B

^j

!

est appelé …ltre linéaire ou fonction de transfert.

Remarque 1.3.4 Le …ltre (B) est dit stable et le processus X

_t

stationnaire si la série X

1

j=0

j

B

^j

est convergente i.e : si X

1

j=0

j

< 1 .

Proposition 1.3.5 Un processus X

_t

centré peut être exprimé comme une combinaison li- néaire de valeurs passées de X

_t

et de l’innovation présente Z

_t

tel que :

X

t

= X

1

j=0

j

X

t j

+ Z

t

(1.5)

Preuve En e¤et, l’équation (1:4) peut être exprimée telle que : X

_t

=

X

1 j=0

j

Z

_{t j}

=

₀

Z

_t

+

₁

Z

_{t 1}

+

₂

Z

_{t 2}

+: : : = Z

_t

+

₁

Z

_{t 1}

+

₂

Z

_{t 2}

+: : : ou

₀

= 1 Z

_t

= X

_{t 1}

Z

_{t 1 2}

Z

_{t 2}

:::

et en remplaçant Z

_{t 1}

dans l’équation ci-dessus par :

Z

_{t 1}

= X

_{t 1 1}

Z

_{t 2 2}

Z

_{t 3}

:::

On obtient :

Z

_t

= X

_{t 1}

(X

_{t 1 1}

Z

_{t 2 2}

Z

_{t 3}

:::)

₂

Z

_{t 2}

:::

= X

_{t 1}

X

_{t 1} ²_{1 2}

Z

_{t 2 1 3}

Z

_{t 3}

:::

Et on procède de la même maniére pour Z

_{t 2}

, et ainsi de suite pour Z

_{t 3}

, etc. On aboutit à l’équation (1:5) :

Remarque 1.3.6 L’équation (1:5) peut être exprimée telle que : Z

_t

=

X

1 j=0

j

X

_{t j}

= X

1

j=0 j

B

^j

! X

_t

;

où

(B) = X

1

j=0 j

B

^j

!

:

1.3. MODÈLE LINÉAIRE GÉNÉRAL

En e¤et : On a :

Z

_t

= X

_t

X

1

j=0

j

X

_{t j}

= X

t

X

1 j=0

j

B

^j

X

t

= 1

X

1 j=1

j

B

^j

! X

_t

=

X

1 j=0

j

B

^j

! X

_t

= (B) X

_t

; d’où :

(B) X

_t

= Z

_t

: (1.6)

1.3.1 Relation entre les poids et les poids

En multipliant l’équation (1:6) par la fonction de transfert (B) on obtient : (B) (B) X

_t

= (B) Z

_t

= X

_t

D’où (B ) (B) = 1, car (B) (B) X

_t

= X

_t

, 8 X

_t

. Et par conséquent, on déduit la relation entre les poids et les poids telle que :

(B) =

¹

(B ) (1.7)

1.3.2 La fonction génératrice des autocovariances d’un processus linéaire

La fonction génératrice des autocovariances d’un processus linéaire est un outil utile pour le calcul de certaines caractéristiques des séries chronologiques. puisque nous disposons des deux formes d’écriture d’un processus aléatoire, la forme autorégressive in…nie et la forme moyenne mobile in…nie.

Il est intéressant d’établir une relation entre les autocovariances et les poids de ces deux

formes.

1.3. MODÈLE LINÉAIRE GÉNÉRAL

En e¤et, si f X

_t

g est un processus stationnaire ayant pour fonction d’autocovariance (:), alors sa fonction génératrice d’autocovariance est dé…nie par :

(B ) =

+1

X

k= 1

k

B

^k

(1.8)

et on a

(B) =

+1

X

k= 1

k

B

^k

=

²_Z

(B) (F ) Preuve On a

X

_t

= X

1

j=0

j

Z

_{t j}

k

= E [X

_t

X

_t+k

] = X

1

j=0

X

1 h=0

j h

E (Z

_{t j}

Z

_{t+k h}

) Par ailleurs, on sait que :

E (Z

_{t j}

Z

_{t+k h}

) = 8 <

:

2

Z

si h = k + j 0 si h 6 = k + j D’où

k

= E [X

_t

X

_t+k

] =

²_Z

X

1

j=0

j j+k

Par suite, en substituant dans la relation (1:8)

_k

par sa valeur, on obtient : (B) =

²_Z

X

1 k= 1

X

1 j=0

j j+k

B

^k

=

²_Z

X

1

j=0

X

1 k= j

j j+k

B

^k

Sachant que

_h

= 0 pour h < 0, et en posant h = j + k on aura : (B) =

²_Z

X

1 j=0

X

1 h=0

j h

B

^{h j}

D’où le résultat

(B) =

²_Z

X

1 h=0

h

B

^h

X

1

j=0

j

B

^j

Que l’on peut écrire tel que :

(B) =

²_Z

(B ) B

¹

=

²_Z

(B) (F ) (1.9)

1.3. MODÈLE LINÉAIRE GÉNÉRAL

1.3.3 La fonction d’autocorrélation (acf )

L’autocorrélation au décalage k, (k) est dé…nie par : (k) = (k)

(0)

1.3.4 La fonction d’autocorrélation partielle (pacf )

Elle mesure la liaison linéaire entre X

t

et X

t k

une fois retirés les liens transistants par les variables intermédiares X

_{t 1}

; X

_{t 2}

; :::; X

_{t k+1}

.

Le coe¢ cient d’autocorrélation partielle d’ordre k, noté

_k

est le coe¢ cient de corrélation entre :

X

_t

E (X

_t

j X

_{t 1}

; X

_{t 2}

; :::; X

_{t k+1}

) et

X

_{t k}

E (X

_{t k}

j X

_{t 1}

; X

_{t 2}

; :::; X

_{t k+1}

) On a donc :

(k) = corr (X

t

; X

t k

j X

t 1

; X

t 2

; :::; X

t k+1

)

C’est donc le coe¢ cient de X

_{t k}

dans la régression de X

_t

sur X

_{t 1}

; X

_{t 2}

; :::; X

_{t k+1}

; X

_{t k}

: Si X

_t

est un processus stationnaire centré, la prédiction optimale de X

_t

est passé jusqu’à t k est donnée par :

E (X

t

j X

t 1

; X

t 2

; :::; X

t k

) =

₁₁

X

t 1

+ ::: +

_kk

X

t k

Que l’on peut réecrire matriciellement :

R

_{k k}

=

^(k)

(1.10)

Où :

R

_k

= 2 6 6 6 6 6 6 6 6 4

1

_{1 2}

:::

_{k 1}

1

1

₁

:::

_{k 2}

2 1

1 :::

_{k 3}

.. . .. . .. . ::: .. .

k 1 k 2 k 3

::: 1

3 7 7 7 7 7 7 7 7 5

;

_k

= 2 6 6 6 6 6 4

k1

k2

.. .

kk

3 7 7 7 7 7 5

et

^(k)

= 2 6 6 6 6 6 4

1 2

.. .

k

3 7 7 7 7 7 5

telle que R

_k

est la matrice d’autocorrélation du vecteur (X

_t

; X

_{t 1}

; :::; X

_{t k+1}

) :

1.4. LE PÉRIODOGRAMME D’UN PROCESSUS

La matrice R

_k

obtenue en remplaçant la dernière colonne de R

_k

par le vecteur (

₁

;

₂

; :::;

_k

).

R

_k

= 2 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 4

1

_{1 2 k 2 1}

1

1

_{1 k 3 2}

2 1

1

_{k 4 3}

.. . .. . .. . .. . .. .

k 3 k 4 k 5 1 k 2

k 2 k 3 k 4

1

_{k 1}

k 1 k 2 k 3 1 k

3 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 5

A l’aide de la relation (1:10) on peut calculer les

_kk

tel que :

kk

= j R

_k

j

j R

k

j pour tout k:

11

=

₁

22

=

1

₁

1 2

1

₁

1

1

=

²

2 1

1

²₁

:

33

=

1

_{1 1}

1

1

₂

2 1 3

1

_{1 2}

1

1

₁

2 1

1

=

3

1 2

1 3

+

₁ ²₂

2

_{1 2}

+

₃

1 2

²₁ ²₂

+ 2

²_{1 2}

:

1.4 Le périodogramme d’un processus

Le périodogramme permet une estimation simple de la densité spectrale du processus aléatoire X

_t

observé par X

₁

; X

₂

; : : : ; X

_n

: Il est souvent utiliser comme outil d’identi…cation d’un modèle stochastique pour une série chronologique, introduite par Shuster[15] en 1898.

Dé…nition 1.4.1 Soit (X

_t

)

_t2Z

un processus stochastique stationnaire de fonction d’autoco- variance (k), la densité spéctrale de (X

_t

)

_t2Z

s’écrit :

f (w) =

+1

X

k= 1

(k) exp (iwk) (1.11)

1.4. LE PÉRIODOGRAMME D’UN PROCESSUS

Où exp (iwk) = cos (wk) + i sin (wk) w :

f (w) est la transformation de Fourier discrète de la fonction d’autocovariance.

Dans la pratique, la fonction d’autocovariance (k) est inconnue. Alors on remplace dans la relation (1:11) (k) par son estimation b (k) on obtient :

b f (w) =

+1

X

k= 1

b (k) exp (iwk)

L’estimation de f est assez vaste à déterminer, nous introduisons la dé…nition suivante : Dé…nition 1.4.2 En considérant les fréquences : w

_j

= 2 j

N aux points j = 1; :::; N 1 2 , le périodogramme est dé…ni par :

I

_N

(w

_j

) = 1 N

X

N k=1

X

_j

exp (kw

_j

)

2

I

_N

est un estimateur de la densité spéctrale f (w).

1.4.1 Le périodogramme d’un processus linéaire stationnaire

On suppose que B = exp ( i2 ), dans l’équation (1:9), nous obtenons le périodo- gramme d’un processus linéaire :

I ( ) = 2

²_Z

(exp ( i2 )) (exp (+i2 )) (1.12)

= 2

²_Z

j (exp ( i2 )) j

²

0 1

2 :

Chapitre 2

Modélisation des séries stationnaires

2.1 Modèles de Box-Jenkins

Dans ce section, nous avons vu les modèles de Box-Jenkins[2], sont des modèles linéaires qui peuvent être stationnaires ou non stationnaires. les modèles stationnaires sont regrou- pés dans la famille des modèles ARM A qui composée des modèles Autorégressifs (AR), des modèles en Moyennes Mobiles (M A) et des modèles mixtes Autorégressifs-Moyennes Mobiles (ARM A). les modèles non stationnaires sont le modèle Autorégressive-Integrated- Moving Average (ARIM A) et le modèle Seasonal-Autoregressive-Integrated-Moving Ave- rage (SARIM A).

2.1.1 Le modèle AR (p)

Dé…nition 2.1.1 Soit X

_t

un processus stochastique stationnaire et centré, on dit que X

_t

est un processus autorégressif d’ordre p noté AR(p) le processus qui veri…e l’équation suivante :

X

_t

=

₁

X

_{t 1}

+

₂

X

_{t 2}

+ ::: +

_p

X

_{t p}

+ Z

_t

où Z

_t

W N (0;

²

):

Remarque 2.1.2 Le polynôme (B) = 1

₁

B :::

_P

B

^p

est le polynôme caractéristique du processus autorégressif. Le modèle s’écrit souvent :

(B) X

_t

= Z

_t

:

2.1. MODÈLES DE BOX-JENKINS

Principales caractéristiques d’un modèle AR (p) La fonction d’autocorrélation :

La fonction d’autocovariance d’un processus autorégressif AR (p) est donnée par : (k) = E (X

_t

X

_t+k

) = E (X

_t

X

_{t k}

) :

On préfère travailler avec la forme E (X

_t

X

_{t k}

), car les Z

_t

sont non corrélés avec les X

_{t k}

, k > 0:On a

X

_t

X

_{t k}

=

₁

X

_{t 1}

X

_{t k}

+

₂

X

_{t 2}

X

_{t k}

+ ::: +

_p

X

_{t p}

X

_{t k}

+ Z

_t

X

_{t k}

: Et donc

(k) = E (X

_t

X

_{t k}

)

=

₁

(k 1) +

₂

(k 2) + ::: +

_p

(k p) + E (Z

_t

X

_{t k}

) ; k > 0:

Donc on obtient

(k) = X

p

j=1

j

(k j) ; k > 0:

En divisant l’égalité par (0) ; on obtient (k) =

X

p j=1

j

(k j) ; k > 0:

Calcul de (0)

(0) =

²

= E X

_t²

= E X

_{t 1}

X

_{t 1}

+

₂

X

_{t 2}

+ ::: +

_p

X

_{t p}

+ Z

_t

=

₁

(1) +

₂

(2) + ::: +

_p

(p) + E (X

t

Z

t

)

=

₁

(1) +

₂

(2) + ::: +

_p

(p) +

²_Z

: On divise les deux membres par (0) , on obtient

(0) =

²

=

2 Z

1

₁

(1)

₂

(2) :::

_p

(p) :

2.1. MODÈLES DE BOX-JENKINS

On écrit l’équation aux di¤érences

_k

= X

p

j=1

j k j

, k = 1; 2; :::; p sous forme matricielle : 8 >

> >

> >

<

> >

> >

> :

1 0

+

_{2 1}

+ ::: +

_{p p 1}

=

₁

k = 1

1 1

+

_{2 0}

+ ::: +

_{p p 2}

=

₂

k = 2 .. .

1 p 1

+

_{2 p 2}

+ ::: +

_{p 0}

=

_p

k = p Soient R

_p

la matrice du système :

R

_p

= 0 B B B B B @

1

₁

:::

_{p 1}

1

1 :::

_{p 2}

.. . .. . ::: .. .

p 1 p 2

::: 1

1 C C C C C A

; =

0 B B B B B @

1 2

.. .

p

1 C C C C C A

et = 0 B B B B B @

1 2

.. .

p

1 C C C C C A

Les équations de Yule Walker s’écrivent :

R

_p

= D’où

= R

_p¹

Remarque 2.1.3 Nous constatons que la fonction d’autocorrélation

_k

d’un processus AR(p) décroit exponentiellement vers zéro, cette décroissante exponentiellement est lisse si

_k

est positive et oscillante si le signe de

_k

alterne.

La fonction d’autocorrélation partielle :

Dans un modèle autorégressif d’ordre p, il est possible de montrer que :

(k) = 8 >

> >

> >

<

> >

> >

> :

1 si k = 0

1

si k = 1

p

si k = p

0 si k > p

Pour k p les valeurs (k) sont calculées d’aprés la dé…nition (1:10) .

Remarque 2.1.4 Nous constatons que la fonction d’autocorrélation partielle (k) d’un pro-

cessus AR(p) est égale à zéro quand k > p. Autrement dit la fonction d’autocorrélation

partielle d’un processus autorégressif chute à zéro au déla de p.

2.1. MODÈLES DE BOX-JENKINS

Exemple 2.1.5 X

_t

= 0:7X

_{t 1}

+ Z

_t

La ACF est dé…nie par : (k) = (k)

(0) : Or (k) = E (X

_t

X

_{t k}

) :

(k) = E (X

_t

X

_{t k}

) = 0:7E (X

_{t 1}

X

_{t k}

) + E (X

_{t k}

Z

_t

) = 0:7 (k 1) (k) = 0:7 (k 1) ; avec (0) = 1

Ainsi, (k) = 0:7

^k

; 8 k: D’où, on déduit les cinq premiers coe¢ cient de la ACF .

k 0 1 2 3 4

(k) 1 0:7 0:49 0:343 0:2401

La P ACF d’un processus AR (1) est nulle sauf pour le premier coe¢ cient qui égale à :

11

= (1) = 0:7: Ainsi, on a :

kk

= 8 <

:

0:7 si k=1 0 sinon Le périodogramme : Pour le processus AR(p)

(B ) =

¹

(B) et (B) = 1

₁

B

₂

B

²

:::

_P

B

^P

et en utilisant le périodogramme d’un processus linéaire (1:12),alors on obtient l’équation suivante :

I ( ) = 2

²_z

1

₁

e

ⁱ² ₂

e

ⁱ⁴

:::

_p

e

^{i2 p}

; 0 1 2

2.1.2 Le modèle M A(q )

Dé…nition 2.1.6 Soit X

_t

un processus stochastique stationnaire et centré.On dit que X

_t

est un processus moyenne mobile d’ordre q noté M A(q), le processus qui veri…e l’équation suivante :

X

_t

= Z

_t

+

₁

Z

_{t 1}

+

₂

Z

_{t 2}

+ ::: +

_q

Z

_{t q}

(2.1) Où Z

_t

W N (0;

²

)

Remarque 2.1.7 Un tel processus est donc linéaire pour la suite additive :

j

= 0; j < 0;

₀

= 1;

₁

=

₁

; :::;

_q

=

_q

et

_q

= 0; j > q On écrit habituellement X

_t

= (B) Z

_t

où (B ) est le polynôme

(B) = 1 +

₁

B + ::: +

_q

B

^q

et B l’opérateur de décalage arrière (appelé aussi opérateur de retard) .

Le polynôme (B ) est appelé polynôme caractéristique du processus moyenne mobile.

2.1. MODÈLES DE BOX-JENKINS

Principales caractéristiques d’un modèle MA(q)

La fonction d’autocorrélation : Le calcul de la fonction d’autocovariance d’un pro- cessus M A(q) est obtenu tel que :

(k) = E (X

_t

X

_{t k}

)

= E [(Z

_t

+

₁

Z

_{t 1}

+ ::: +

_q

Z

_{t q}

) (Z

_{t k}

+

₁

Z

_{t k 1}

+ ::: +

_q

Z

_{t k q}

)] ; et donc :

k

= 8 <

:

(

_k

+

_{1 k+1}

+

_{2 k+2}

+ ::: +

_{q k+q}

)

²_Z

k = 1; 2; :::; q

0 k > q

La variance du processus X

_t

est donnée par la formule suivante :

0

= 1 +

²₁

+

²₂

+ ::: +

²_q ²_Z

Par conséquent, la fonction d’autocorrélation est dé…nie telle que :

k

= 8 >

<

> :

k

+

_{1 k+1}

+

_{2 k+2}

+ ::: +

_{q q+k}

1 +

²₁

+

²₂

+ ::: +

²_q

k = 1; 2; :::; q

0 k > q

Remarque 2.1.8 Nous constatons que la fonction d’autocorrélation

_k

d’un processus M A(q) est égale à zéro quand k > q: Autrement dit la fonction d’autocorrélation d’un processus moyenne mobile chute à zéro au déla de q.

Exemple 2.1.9 Processus moyenne mobile M A(2) X

_t

= Z

_t

+

₁

Z

_{t 1}

+

₂

Z

_{t 2}

(k) = cov (X

_t

; X

_{t k}

) = E (X

_t

X

_{t k}

) E (X

_t

) E (X

_{t k}

) ; donc :

(k) = E (X

_t

X

_{t k}

)

= E [(Z

_t

+

₁

Z

_{t 1}

+

₂

Z

_{t 2}

) (Z

_{t k}

+

₁

Z

_{t k 1}

+

₂

Z

_{t k 2}

)]

(k) = 8 >

> >

> >

<

> >

> >

> :

2

Z

+

²₁ ²_Z

+

²₂ ²_Z

si k = 0

1 2

Z

+

_{1 2} ²_Z

si j k j = 1

2 2

Z

si j k j = 2

0 si k > 2

2.1. MODÈLES DE BOX-JENKINS

Alors :

(k) = (k) (0)

= 8 >

> >

> >

> >

<

> >

> >

> >

> :

1 si k = 0

1

+

_{1 2}

1 +

²₁

+

²₂

si j k j = 1

2

1 +

²₁

+

²₂

si j k j = 2

0 si k > 2

Donc : la fonction d’autocorrélation M A(2) s’annule si le k > 2:

La fonction d’autocorrélation partielle :

La fonction d’autocorrélation partielle (k) d’un processus M A(q) décroit exponentiellement vers zéro.

Le périodogramme : pour le processus M A(q) ona :

(B ) = (B) = 1

₁

B

₂

B

²

:::

_q

B

^q

Donc, en utilisant l’équation (1:12) le périodogramme d’un processus M A(q) est obtenu tel que :

I ( ) = 2

²_Z

1

₁

e

ⁱ² ₂

e

ⁱ⁴

:::

_q

e

^{i2 q 2}

; 0 1 2

Remarque 2.1.10 Un processus autoregressif d’ordre 1 peut être exprimé sous la forme moyenne mobile en inversant l’équation.

(1 B) X

t

= Z

t

() X

t

= 1

(1 B) Z

t

= X

1 k=0

k

B

^k

! Z

t

On obtient ainsi une moyenne mobile d’ordre q dont les coe¢ cients décroissent exponentiel- lement.

AR(p) s M A( 1 )

2.1.3 Le modèle ARM A(p; q)

Dé…nition 2.1.11 On dit qu’un processus stationnaire et centré, X

_t

est un processus ARM A(p; q) si pour chaque t il véri…e la relation :

X

_t

=

₁

X

_{t 1}

+

₂

X

_{t 2}

+ ::: +

_p

X

_{t p}

+ Z

_{t 1}

Z

_{t 1 2}

Z

_{t 2}

:::

_q

Z

_{t q}

(2.2)

Où Z

_t

W N (0;

²

)

2.1. MODÈLES DE BOX-JENKINS

Remarque 2.1.12 En utilisant l’opérateur B, l’équation (2:2) peut être exprimée telle que : (B) X

_t

= (B) Z

_t

;

où (B) = 1

₁

B :::

_P

B

^P

et (B) = 1

₁

B :::

_q

B

^q

sont appelés polynômes caractéristiques respectifs des parties autoregressives et moyennes mobiles du processus.

Principales caractéristiques d’un modèle ARM A(p; q)

La fonction d’autocorrélation : En multipliant les deux membres de l’équation(2:2) par X

_{t k}

; nous constatons que la fonction d’autocovariance satisfait l’équation de di¤érences :

k

=

_{1 k 1}

+ ::: +

_{p k p}

+

_XZ

(k)

_{1 XZ}

(k 1) :::

_{q XZ}

(k q) ;

où

_XZ

(k) est la fonction d’autocovariance de X

_t

et de Z

_t

dé…nie par

_XZ

(k) = E(X

_{t k}

Z

_t

);

comme X

_{t k}

dépend seulement des innovation avant l’insant t k par les représentations en moyenne mobile dé…nie :

X

t k

= (B) Z

t k

= X

1

j=0

j

Z

t k j

;

il suit

XZ

(k) = 8 <

:

0 Si k > 0

K 2

Z

Si k 0

Dorénavant l’équation précédente pour

_k

peut être exprimée :

k

=

_{1 k 1}

+ ::: +

_{p k p} ²_{Z k 0}

+

_{k+1 1}

+ ::: +

_{q q k}

(2.3) Avec le paramètre

0

= 1

Nous voyons que (2:3) implique :

k

=

_{1 k 1}

+ ::: +

_{p k p}

k q + 1 La variance égale à :

0

=

_{1 1}

+ ::: +

_{p p}

+

²_Z

1

_{1 1}

:::

_{q q}

(2.4)

Et dorénavant :

k

=

_{1 k 1}

+ ::: +

_{p k p}

k q + 1

2.1. MODÈLES DE BOX-JENKINS

Où bien

(B)

_k

= 0 k q + 1 Par example le processus ARM A(1; 1)

X

_{t 1}

X

_{t 1}

= Z

_{t 1}

Z

_{t 1}

Telle que :

(1

₁

B) X

t

= (1

1

B) Z

t

A partir de l’équation (2:3) et (2:4) nous obtenons :

0

=

_{1 1}

+

²_Z

(1

_{1 1}

)

1

=

_{1 0 1} ²_Z

k

=

_{1 k 1}

k 2;

avec :

₁

=

_{1 1}

:

Par conséquent, la résolution des deux premières équations en

₀

et

₁

ci dessus, la fonction d’autocovariance du processus est déterminée telle que :

0

= 1 +

²₁

+ 2

_{1 1}

1

²₁

2 Z

1

= (1

_{1 1}

) (

_{1 1}

) 1

²₁

2 Z

k

=

_{1 k 1}

k 2

Il est claire que

_k

véri…e l’équation de réccurence

_k

=

_{1 k 1}

; k 2; alors

k

=

^k₁ ¹ ₁

; k 1: Ainsi, la fonction d’autocorrélation décroit exponentiellement quand k 7 ! 1 :

Cette décroissance exponentielle est lisse si

₁

est positif et oscillante si

₁

est négatif. En e¤et, le signe de

₁

est détermininé par le signe de (

_{1 1}

) .

Remarque 2.1.13 La fonction d’autocorrélation

_k

d’un processus ARM A(p; q) décroit ex- ponentiellement vers zéro.

La fonction d’autocorrélation partielle : Un processus ARM A(p; q) peu être exprimé tel que :

X

_t

=

¹

(B) (B ) Z

_t

:

2.1. MODÈLES DE BOX-JENKINS

Car

(B ) X

_t

= (B ) Z

_t

Où

¹

(B ) est un polynôme de B, ainsi la fonction d’autocorrélation partielle d’un pro- cessus mixte est in…nie en étendue. Elle se comporte …nalement comme la fonction d’auto- corrélation partielle d’un processus moyenne mobile pure selon l’ordre de la moyenne mobile et les valeurs des paramètres qu’il contient.

Remarque 2.1.14 La fonction d’autocorrélation partielle (k) d’un processus ARM A(p; q) décroit exponentiellement vers zéro.

Le périodogramme : En utilisant l’équation (1:12), le périodogramme du processus mixte est :

I ( ) = 2

²_Z

e

^{i2 2}

j (e

ⁱ²

) j

²

= 2

²_Z

1

₁

e

ⁱ² ₂

e

ⁱ⁴

:::

_q

e

^{i2 q 2}

1

₁

e

ⁱ² ₂

e

ⁱ⁴

:::

_p

e

^{i2 p 2}

; 0 1

2

La stationnarité, l’inversibilité et la causalité des modèles ARM A(p; q)

Stationnarité : La condition de stationnarité est que les racines de l’équation (B) = 0 doivent être situées à l’extérieur du cercle unité.

Inversibilité : Un processus ARM A(p; q) dé…ni par l’équation (2:2) est dit inversible s’il existe une suite f

^j

g telle que :

X

1 j=0

j

^j

j < 1 et pour tout t 2 Z ; Z

_t

= X

1

j=0

j

X

_{t j}

:

Autrement dit un processus ARM A(p; q) est inversible si les racines de l’équation (B) = 0 sont à l’éxterieur du cercle unité.

Causalité : Un processus ARM A(p; q) dé…ni par l’équation (2:2) est dit causal s’il existe une serie

_j

telle que :

X

1 j=0

j

< 1 et pour tout t 2 Z ; X

_t

= X

1

j=0

j

Z

_{t j}

:

Dans la proposition suivante, on donnera une condition necessaire et su¢ ssante pour la

stationnarité, l’inversibilité et la causalité d’un processus ARM A(p; q).

2.1. MODÈLES DE BOX-JENKINS

Proposition 2.1.15 Soit X

_t

un processus ARM A(p; q) véri…ant l’équation (2:2), supposons que les polynômes

(Z ) = 1 X

1

i=1

i

Z

ⁱ

et (Z ) = 1 X

1

i=1 i

Z

ⁱ

n’ont pas des racines connues.

X

_t

est stationnaire et causal si est seulement si (Z ) 6 = 0 pour tout Z 2 Z tel que j Z j 1;

les coe¢ cients

_j

sont déterminés par : X

1

j=1

j

Z

^j

= (Z)

(Z) Si j Z j 1

X

_t

est inversible si est seulement si (Z) 6 = 0 pour tout Z 2 Z tel que j Z j 1;

les coe¢ cients

j

sont déterminés par : X

1

j=1

j

Z

^j

= (Z)

(Z) Si j Z j 1:

2.1.4 Modèles linéaires non-stationnaires

Modèle ARIM A

La classe des modèles non stationnaires est trés utile dans le domaine de l’économétrie et les mathématiques …nancières. Ce genre de modèle permet de représenter des processus présentant un certain type de non-stationnarité que l’on peut éliminer par di¤érentiation d’ordre d.

Dé…nition 2.1.16 On dit qu’un processus X

_t

est un ARIM A(Autoregressive Integrated Mo- ving Avirage) d’ordre (p; d; q) si r

^d

X

_t

un processus ARM A(p; q).

On modélise alors le processus X

_t

sous la forme :

(B) (1 B)

^d

X

_t

= (B) r

^d

X

_t

= (B) X

_t

= (B ) Z

_t

; avec :

(B) = (B) (1 B)

^d

On écrit que la serie X

_t

suit un processus ARIM A(p; d; q).

Remarque 2.1.17 Les polynômes (B) et (B ) sont de degrés p et q respectivement,

(B) 6 = 0 pour j B j < 1 ,alors que le polynôme (B) admet une racine multiple B = 1:

2.1. MODÈLES DE BOX-JENKINS

Modèle SARIM A

Si l’on veut en même temps traiter les saisonnalités de période s on est amené à dé…nir les processus SARIM A.

Dé…nition 2.1.18 Une série f X

_t

g suit un processus SARIM A (Seasonnal Autoregressive Integrated Moving Average) d’ordre (p; d; q)(P; D; Q) si cette série à une saisonnalité de période s et qu’on peut écrire :

Y

_t

= r

^d

r

^D

X

_t

= (1 B)

^d

(1 B

^s

)

^D

X

_t

est un ARM A stationnaire de la forme :

A (B) F (B

^s

) y

_t

= (B) G (B

^s

) Z

_t

où Z

_t

W N (0;

²

) A (z) = 1

X

p k=1

a

_k

z

^k

est le polynôme générateur d’un AR(p):

(z) = 1 + X

q k=1

k

z

^k

est le polynôme générateur d’un M A(q):

F (z) = 1 X

P k=1

f

k

z

^k

est le polynôme générateur d’un AR(P ):

G (z) = 1 + X

Q k=1

g

_k

z

^k

est le polynôme générateur d’un M A(Q):

On note que le processus f Y

_t

g est causal si et seulement si :

A (z) 6 = 0 et F (z) 6 = 0 pour j z j 1:

Les valeurs de d et D sont en générale inférieures à 1, alors que les valeurs de p et q sont généralement inférieures à 2.

2.1.5 Méthode de prévision

Principe de prévision

Soit (X

_t

) un processus aléatoire du second ordre dé…ni sur ( ; P ), le problème le plus

couramment rencontré est la prévision des valeurs futures de ce processus, prédire une valeur

future X

_N+k

de f X

_t

g au vu d’une observation X = (X

₁

; X

₂

; :::; X

_N

)

⁰

, revient à chercher

une fonction déterministe f : C

^k

! C telle que X b

_N+k

= f (X

₁

; X

₂

; :::; X

_N

). La prédiction

2.1. MODÈLES DE BOX-JENKINS

optimale au sens des moindres carrés consiste à choisir f de telle sorte que la moyenne du carré de l’erreur de prévision E X

_N+k

X b

_N+k

2

soit minimale.

Dans l’espace de Hilbert H

_N

= [X

₁

; X

₂

; :::; X

_N

] engendré par f X

₁

; X

₂

; :::; X

_N

g , ce problème classique admet une solution unique :

X b

_N+k

= E

^HN

(X

_N+k

) = E (X

_N+k

j X

₁

; X

₂

; :::; X

_N

) = f (X

₁

; :::; X

_N

) :

En d’autre termes, X b

_N+k

est l’espérance conditionnelle de X

_N+k

, l’orsque on observe X

₁

; X

₂

; :::; X

_N

: En pratique la fonction f est di¢ cile à déterminer, soit parce que la loi jointe de X

₁

; X

₂

; :::; X

_N

; X

_N+k

est mal connue, soit parce qu’elle ne se prête pas aux calculs explicites. Ceci nous amène à

restreindre la classe des estimateurs considérés.

Le principe reste toujours le même, ie : on cherche à minimiser E X

_N+k

X b

_N+k ²

,où b

X

_N+k

= f (X

₁

; X

₂

; :::; X

_N

) : Mais la fonction f sera déterminée parmi les fonctions linéaires.

l’unique solution est évidemment donnée par X b

_N+k

= proj (X

_N+k

) où proj est la projection orthogonale sur le sous espace vectoriel H

_N

engendré par X

₁

; X

₂

; :::; X

_N

dans L

²

( ; P ) :

Le principe de la prédiction linéaire revient à considérer que l’information fournie par l’observation X du processus ne depen que de l’espace H

_N

, sous espace vectoriel fermé de L

²

( ; P ) engendré par les X.

2.1.6 Prévision à l’aide d’un processus ARM A

Une fois qu’on a trouvé un modèle acceptable pour la serie chronologique étudiée, il est possible de calculer les prévisions.

Soit X

₁

; X

₂

; :::; X

_N

une observation d’un processus f X

_t

g

t2Z

obéissant à un modèle ARM A.

On note X b

_N+k

la prévision de X

_N+k

au temps N + k où N est la taille de l’échantillon des observations X

_t

et k > 0 l’horizon de la prévision.

L’instant N est appelé origine de prévision.

e

_N

(k) = X

_N+k

X b

_N+k

est l’erreur de prévision et E

^HN

[e

_N

(k)] = 0.

Pour calculer une prévision X b

_N+k

de la valeur future X

_N+k

de ce processus nous utiliserons soit les formes moyennes mobiles in…nies ou les formes autoregressives in…nies.

En e¤et, en passant aux prévisions d’un M A ( 1 ) : X

_N+k

=

X

1 j=0

j

Z

_{N+k j}

= Z

_N+k

+

₁

Z

_{N+k 1}

+

₂

Z

_{N+k 2}

+ :::

2.2. IDENTIFICATION DE MODÈLE POUR LES SÉRIES CHRONOLOGIQUES

Alors que la prévision X b

_N+k

s’écrit : b

X

_N+k

= X

1

j=1

j

Z

_{N+k j}

=

₁

Z

_{N+k 1}

+

₂

Z

_{N+k 2}

+ :::

La prévision X b

_N+k

peut aussi s’écrire sous la forme d’une éspérance conditionnelle : b

X

_N+k

= E (X

_N+k

j X

_{N+k 1}

; X

_{N+k 2}

; :::)

= E (X

_N+k

j Z

_{N+k 1}

; Z

_{N+k 2}

; :::) L’erreur de prévision est déterminée par :

X

_N+k

X b

_N+k

= Z

_N+k

+

₁

Z

_{N+k 1}

+

₂

Z

_{N+k 2}

+ :::

₁

Z

_{N+k 1 2}

Z

_{N+k 2}

:::

= Z

_N+k

:

2.2 Identi…cation de modèle pour les séries chronolo- giques

2.2.1 Position du problème

Tout les phénomènes aléatoires ne peut veut être observés que ponctuellement sous forme d’une série chronologique X

₁

; X

₂

; :::; X

_N

: La position du problème est d’identi…er le type de modèle qui régit ce phénomène. La méthode d’identi…cation d’un processus ARM A (choix entre AR, M A et ARM A, et choix de p et q) de Box et Jenkins est basée sur la com- paraison de caractéristiques théoriques des processus ARM A à leurs équivalents empiriques.

Les caractéristiques utilisées sont les autocorrélations simples et partielles, étudiées dans la partie précédente.

On sait que les autocorrélations d’un processus M A (q) deviennent nulles à partir de l’ordre q + 1. Si le graphique des autocorélations empiriques chute brusquement après k = q, on pourra donc dire que l’on est la présence d’un M A (q).

Si l’on considère maintenant les autocorrélations totales d’un AR (p) ; on sait qu’elles décroissent lentement dans le temps.

Mais il n’est guère possible de déduire une valeur de p à partir de l’examen du corrélo-

gramme. On cherche donc une transformation du corrélogramme qui soit plus inter prétable.

2.2. IDENTIFICATION DE MODÈLE POUR LES SÉRIES CHRONOLOGIQUES

Il s’agit du graphique des autocorrélations partielles que l’on note (k). Les autocorré- lations partielles ont la propriété d’être nulles à partir de l’ordre p + 1 pour un processus AR (p). Par contre, pour un processus ARM A (p; q) la fonction d’autocorrélation (k) et la fonction d’autocorrélation partielle (k) décroissent en même temps vers zéro quand k ! 1 :

2.2.2 Ajustement d’un modèle et détermination de son ordre

Le but de ce section est de présenter les outils statistiques les plus utilisés pour atteindre cet objectif. Nous verrons di¤érentes méthodes qui permettront de choisir un modèle ARM A approprié aux données observées, avant de développer des tests d’ajustement pour valider ces choix. Le premier outil permettant de choisir l’ordre d’un modèle ARM A est basé sur l’analyse de la structure d’autocorrélation des données observées.

Méthode d’identi…cation de Box-Jenkins

Lorsqu’on observe une série chronologique, la fonction d’autocorrélation empirique est un premier outil pour sélèctionner l’ordre du modèle qui doit être ajusté aux données.

Si b (k) décroit vers zéro et si b (k) chute à zéro à partir d’un certain rang (ie. les valeurs de b (k) sont négligéables à partir d’un certain rang), alors on opte pour un modèle en moyenne mobile, pour décider de l’ordre de ce modèle M A on se base comme sur le résultat du test de l’hypothèse : 8

<

:

H

₀

: b (k) = 0; pour k > q H

₁

: b (k) 6 = 0; pour k q Alors, si H

₀

est acceptée le rang du modèle M A est égal à q:

Si b (k) décroit vers zéro et si b (k) chute à zéro à partir d’un certain rang (ie. les valeurs de b (k) sont négligéables à partir d’un certain rang), alors on opte pour un modèle autorégressif, pour décider de l’ordre de ce modèle AR on se base comme dans le premier sur le résultat du test de l’hypothèse :

8 <

:

H

₀

: b (k) = 0; pour k > p

H

₁

: b (k) 6 = 0; pour k p

Alors, si H

₀

est acceptée le rang du modèle AR est égal à p: