Université Paris Dauphine Année universitaire 2016-2017
Deuxième année du DE MI2E TD de MR. BEY
Probabilités multidimensionnelles et théorèmes limite Groupes 2 & 3
TD 4 : 02/02/2017
Correction suite Exos Rappels
Solution Exercice 9
Énoncé : Un joueur peut lancer deux fois de suite un dé à six faces équilibré pour ob- tenir le meilleur score possible : si le score obtenu au premier lancer le satisfait il peut en rester là. Si ce score ne le satisfait pas il peut lancer une deuxième fois le dé mais le score obtenu au premier lancer est alors perdu. Le joueur décide de la stratégie suivante : il s'arrêtera si le résultat du premier lancer est supérieur ou égal à un seuil k et il lancera une deuxième fois sinon. Soit Xk le score obtenu en suivant cette stratégie. Donner la loi de Xk en fonction de k. Calculer l'espérance de Xk.
On remarque tout dabord que k est un seuil ∈ {1,2, ....6}. Notons dans la suite : Xk : le score nal obtenu (dépend de k).
Y1 : le score obtenu au premier lancer.
Y2 : le score obtenu au deuxième lancer.
Il est clair que Xk(Ω) ={1,2, ....6},Y1(Ω) ={1,2, ....6} etY2(Ω) ={1,2, ....6}. De plus : Y1 suit la loi uniforme sur {1,2, ....6}, donc P(Y1 =k) = 16.
Y2 suit la loi uniforme sur {1,2, ....6}, donc P(Y2 =k) = 16. Nous avons
Xk =
Y1.1{Y1>k, k∈{1,2,....6}} OU
Y2.1{Y1<k, k∈{1,2,....6}} . Par suite, pour tout n∈ {1,2, ....6}, nous avons
P(Xk =n) =P((Y1 =n)∩(Y1 >k)) +P((Y2 =n)∩(Y1 < k))
Bayes
= P((Y1 >k)|(Y1=n))P(Y1 =n) +P((Y1 < k)|(Y2=n))P(Y2 =n)
= 1
6 P((Y1 >k)|(Y1=n)) +
k−1 6
1 6 = 1
6 1{n>k}+
k−1 6
1 6 E(Xk) =
6
X
n=1
n P(Xk =n) =
6
X
n=1
n 1
6 1{n>k}+
k−1 6
1 6
= 1 6
6
X
n=1
n
1{n>k}+
k−1 6
= 1 6
6
X
n=1
n1{n>k}+
k−1 6
6
X
n=1
n
!
= 1 6
6
X
n=k
n+
k−1 6
6∗7 2
!
1
= 1 6
6 X
n=1
n−
k−1
X
n=1
n
!
+7(k−1) 2
!
= 1 6
6∗7
2 −k(k−1) 2
+7(k−1) 2
= 7
2 −(k−1)(k+ 7)
12 .
Solution Exercice 9
Énoncé : Un point est choisi au hasard sur un segment de longueur L. Interpréter cet énoncé et calculer la probabilité que le rapport entre le plus petit et le plus grand segment soir inférieur à 14.
Première Méthode : Notons R le rapport entre le petit segment et le grand segment et X l'abscisse du point choisi au hasard sur le segment de longueur L. Nous constatons donc que X suit la loi uniforme sur [0, L].
P
R 6 1 4
=P
R 6 1 4
∩
X ∈
0,L 2
+P
R 6 1
4
∩
X ∈ L
2, L
=P
X
L−X 6 1 4
+P(L−X X 6 1
4)
=P
X 6 L−X 4
+P
L−X 6 X 4
=P
X 6 L 5
+P
X > 4L 5
=P
X 6 L 5
+
1−P
X 6 4L 5
=FX L
5
+ 1−FX 4L
5
= 1
5 + 1− 4 5 = 2
5. Deuxième Méthode :
On dénit R = L−min(X, L−X)
min(X, L−X) . En raisonnant par équivalences, nous avons : R6 1
4 ⇐⇒ L−min(X, L−X) min(X, L−X) 6 1
4 ⇐⇒L−min(X, L−X)6 min(X, L−X) 4
⇐⇒L6 5
4min(X, L−X)⇐⇒min(X, L−X)> 4L 5
⇐⇒
X > 4L 5
OU
(L−X)> 4L 5
⇐⇒
X > 4L 5
OU
X 6 L 5
Par conséquent, on obtient : P
R6 1
4
=P
X 6 L 5
+P
X > 4L 5
= 1
5 + 1− 4 5 = 2
5.
2
Solution Exercice 9
Énoncé : Un bus circule entre deux villes A et B distantes de 100 kilomètres. On suppose que quand ce bus tombe en panne cela arrive à une distance de A mesurée en kilomètres uniformément répartie sur [0, 100]. Trois ateliers de dépannage sont situés en A, B et à mi-chemin entre A et B. Serait-il plus judicieux de placer ces ateliers aux points kilomé- triques 25, 50 et 75 ?
Indication : X v.a suit la loi uniforme sur [0,100] de desnité f(t) = 1001 . Notons X la position où le bus tombe en panne entre A et B et d la distance parcouru pour arriver au point de dépannage.
1. Cas 1 : Trois ateliers de dépannage sont situés en A, B et à mi-chemin entre A et B.
d1(X) =
X si x625
50−X si 256X 650 50−X si 506X 675 100−X si X >75.
2. Cas 2 : Trois ateliers de dépannage sont situés aux points kilométriques 25, 50 et 75.
d2(X) =
|X−25| si x637,5
|X−50| si 37,56X 667,5
|X−75| si X >67,5.
On compare ensuite E(d1) et E(d2).
3
