Correction suite Exos Rappels

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Université Paris Dauphine Année universitaire 2016-2017

Deuxième année du DE MI2E TD de MR. BEY

Probabilités multidimensionnelles et théorèmes limite Groupes 2 & 3

TD 2 : 26/01/2017

Correction suite Exos Rappels

Solution Exercice 8 Du dessin on déduit que :

P(B∩U₁) = 1 2 × b

b+n P(B∩U2) = 1

2 × 10−b 20−(b+n)

Il s’agit de maximiser P(B) =P(B∩U₁) +P(B∩U₂) = 1 2× b

b+n + 1

2× 10−b 20−(b+n). Il faut remarquer avant tout que si (n = b) c’est-à-dire que si chaque urne contient des boules blanches et des boules noires en quantité égales, alors toutes les probabilités pos- sibles seront de P(B) = ¹₂.

1

2 × b b+n

+

1

2× 10−b 20−(b+n)

−−→n=b 1 2 × 1

2+ 1 2× 1

2 = 1 2 1

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D’autre part si chaque urne contient exactement 10 boules, c’est-à-dire que n+b = 10 dans la première urne alors

P(B) =

1

2 × b b+n

+

1

2× 10−b 20−(b+n)

n+b=10

−−−−→ 1 2× b

10 +1

2 ×10−b 10 = 1

2

Pour obtenir un résultat plus favorable, on remarquera que chaque urne a la même pro- babilité d’être choisie et que la probabilité P(B) est maximale quand b = b +n. En effet,

P(B) = 1 2 × b

b +1

2 × 10−b 20−b = 1

2

1 + 10−b 20−b

= 15−b 20−b.

Admettons ensuite que l’une des deux urnes ne contienne qu’une boule blanche, si on choisit cette urne, la probabilité de choisir une boule blanche est de 1, donc P(B) aura déjà une valeur de ¹₂, si l’on met les 9 boules blanches restantes avec les 10 boules noires dans l’autre urne, la probabilité de tirer une boule blanche vaudra ¹₂ × ₁₉⁹ = 0.2368.

Finalement la probabilité totale de tirer une première boule blanche après avoir choisi une urne sera de 0.5 + 0.2368 = 0.7368.

Solution Exercice 3

Énoncé : On lance deux dés équilibrés, l’un rouge et l’autre bleu. On note E l’événement

« le dé rouge tombe sur 4 », F l’événement « la somme des résultats est 6 », G l’événe- ment « la somme des résultats est 7 »et H l’événement « le dé bleu tombe sur 4 ». Les événements E et F sont ils indépendants ? Qu’en est-il de E et G, de E et H, de H et G

? Les événements E, G et H sont ils mutuellement indépendants ?

Nous avons :

P(E) = 1

6 ; P(F) = 5

36 ; P(G) = 1

6 ; P(H) = 1 6.

— P(E∩F) = ₃₆¹ 6=P(E).P(F)

— P(E∩G) = ₃₆¹ =P(E).P(G)

— P(E∩H) = ₃₆¹ =P(E).P(H)

— P(H∩G) = ₃₆¹ =P(H).P(G)

Conclusion : Les événements E, G et H ne sont pas mutuellement indépendants.

Solution Exercice 14 (Méthode d’inversion)

1) a) SoitX une variable aléatoire réelle. Par définition, on appelle fonction de répartition de X la fonction F : R −→ [0,1], parfois notée F_X, définie par F(x) = P(X 6 x) pour tout x∈R.

b) Pas nécessairement que la fonction F :R −→ F(R) soit bijective. En effet, pour une variable aléatoire réelle discrète, il est immédiat de vérifier que la fonction de répartition est constante sur tout intervalle d’intersection vide avec le support de la loi. Elle est donc constante par morceaux.. Par suite, il existe un réel p_i ∈ [0,1] tel que F⁻¹(p_i) n’admet

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Figure 1 – Courbe de la fonction de répartition de la loi de Bernoulli et de la loi de Poisson

pas d’antécédent dans R. Cf. voir figure ci-dessous. 2. Soit F une fonction définie sur R a valeurs dans [0,1], croissante et continue à droite. Par convention on pose F(−∞) =

x−→−∞lim F(x) etF(+∞) = 1. Son inverse généralisé, noté F⁻¹, est définie par

G(p) = F⁻¹(p) = inf{x∈R, F(x)>p}, p∈]0,1],

avec la convention inf∅= +∞.Par construction la fonction F⁻¹ est croissante.

Rappel :SoitU une variable aléatoire de loi uniforme sur[a, b]. La fonction de répartition est donnée par F_U(t) = ^t−a_b−a ∀t∈[a, b]. Donc sur[0,1],F_U(t) = P(U 6t) = t.

Soit U une variable aléatoire de loi uniforme sur [0,1]. La fonction F est la fonction de répartition de la variable aléatoire F⁻¹(U). En effet, on a pour tout x∈R

P(G(U)6x) = P(F⁻¹(U)6x) = P(U 6F(x)) =F(x).

Les variables aléatoires X et F⁻¹(U) ont même fonction de répartition. Elles ont donc même loi.

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