Mathématiques Recherche en géométrie plane Seconde Exercice 1: la puissance d'un point par rapport à un cercle
La puissance d'un point par rapport à un cercle traduit la distance relative d'un point à un cercle. Lorsque la puissance du point est positive, le point est à l'extérieur du cercle tandis que lorsqu'elle est négative, le point est situé à l'intérieur du cercle. Dans le cas où la puissance du point est nulle, alors ce point est situé sur le cercle.
Cas n°1: Lorsque le point M est à l'extérieur du cercle.
1) Prouver que BAT=BTT ' et que MAT=MTB . 2) Prouver que MA
MT=MT MB .
3) Déterminer MT². Que peut-on en déduire ?
Cas n°2: Lorsque le point M est à l'intérieur du cercle.
AB diamètre et O centre du cercle C.
CMA=;BMD=' ;CAM=;BDM=' ;ACM=;MBD=' 1) Prouver que =' ;=' ;='
2) En déduire que les triangles AMC et MBD sont semblables.
3) Prouver que MA MD=MC
MB et que MA×MB=MC×MD
4) Exprimer MA en fonction de OA et de OM et MB en fonction de OB et de OM.
5) En déduire MA×MB .
6) Si l'on pose: OB = OA = R et OM = S, montrer que MA×MB=R²−S² .
Remarque: lorsque M est à l'extérieur du cercle C, la sécante peut être une des deux tangentes. Les points A et B sont alors confondus avec T et MA×MB=MT² .
Cas n°3: M appartient au cercle.
Même démarche que précédemment.
Conclusion:
Le produit MA×MB est appelé puissance du point M par rapport au cercle C et est noté PCM . Ce produit est indépendant de la droite choisie: cet invariant vaut toujours OM² – R² . On note:
PCM=MA×MB PCM=OM²−R²
T.Pautrel - recherche - niveau Seconde
M
T
A
B
O T'
C
A
C
D M
O
B C
M T'
T O S
Puissance de l'orthocentre:
L'ensemble des points ayant la même puissance par rapport à deux cercles non-concentriques est une droite.
Cette dernière est appelée axe radical des deux cercles.
Cet axe est perpendiculaire à la ligne des centres des deux cercles et passe par les points d'intersection des deux cercles lorsqu'ils sont sécants.
Considérons un triangle ABC et traçons les cercles C1 et C2 de diamètres respectifs [AB] et [AC]. Soit A' le second point d'intersection de C1 et de C2.
1) Prouver que (AA') est l'axe radical des deux cercles C1 et C2.
2) Que représente (AA') pour le triangle ABC ? 3) Conclure.
...
Exercice 2: Problème de Fermat.
Étant donné un triangle ABC, trouver le point M du plan minimisant la somme des distances:
f(M) = AM + BM + CM 1er cas:
2ème cas:
Aide: Si M existe, il doit être à l'intérieur du triangle. Associer à tout point M extérieur au triangle, un point P du périmètre du triangle tel que f(M) > f(P).
...
Exercice 3:
Démontrer que a² + b² + c² + d² = 4R² Posons: Le triangle APB est rectangle en P.
AP = a, PB = b, DP = d , PC = c , CE = b – d
1) Démontrer que ac = bd (aide: puissance d'un point) 2) Montrer que OI=b−d
2
3) Prouver que (a + c)² + (b – d)² = 4R². Conclure.
T.Pautrel - recherche - niveau Seconde
A
C A' B
C2 C1
A
B
C M
A
B
C
M P
O A
D B
C E
P
