D169 : Le quatrième larron
Dans un triangle ABC, il est bien connu que le centre de gravité G, l'orthocentre H et le centre O du cercle circonscrit sont sur la droite d'Euler (D). Par les sommets A, B et C, on mène
respectivement les perpendiculaires à GA, GB et GC qui déterminent un triangle PQR.
Démontrer que le centre de gravité de ce triangle est le quatrième larron qui se trouve sur (D).
Considérons les cercles circonscrits aux triangles GBC, GCA, GAB, de centres
respectifs OA, OB, OC : OOA est la médiatrice de BC, OBOC celle de GA, etc... On a donc les égalités angulaires suivantes GCA=OOBOA, GBA=OOCOA, GAB=OOcOB,
GCB=OOAOB, GAC=OOBOC, GBC=OOAOC.
Si B’ est le milieu de AC, B1 le symétrique de B par rapport à G, et B2 le centre de gravité du triangle AGB1(aux 2/3 de AB’) on a les égalités angulaires B1AB2=GCA, B1GB2=GBA, etc... Donc le triangle OAOBOc est semblable au triangle B1AG, et O est l’image de B2, donc est le centre de gravité de OAOBOC.
Les points P, Q et R sont respectivement diamétralement opposés à G sur les cercles circonscrits à GBC, GCA et GAB, donc se déduisent de OA, OB et OC par une
homothétie de centre G de rapport 2 : le centre de gravité K de PQR est donc l’image de O, et on a l’égalité vectorielle GK=2GO : K appartient donc à la droite d’Euler de ABC, symétrique de H par rapport à G.
