Du potentiel en électrodynamique et en électromagnétisme

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Submitted on 1 Jan 1878

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Du potentiel en électrodynamique et en électromagnétisme

M. Macé de Lépinay

To cite this version:

M. Macé de Lépinay. Du potentiel en électrodynamique et en électromagnétisme. J. Phys. Theor.

Appl., 1878, 7 (1), pp.414-420. �10.1051/jphystap:018780070041401�. �jpa-00237466�

des nombres

concordants;

que le

procédé

^du

compte-gouttes,

^au

contraihe,

^{donne des} nombres sensiblement

plus

^forts.

D’un autre

côté,

^des

expériences

^{de M.}

Hagen

^et

Quincke

^ont.

démontre que, pour l’eau du

moins,

la tension d’une surface

fraiche, égale

^à

7mgr,53,

diminue sensiblement par suite de ^son

exposition

^à

^l’air,

^au

point

de devenir

égale

^{seulement à}

4mgr,69

au bout de

plusieurs

^{heures. La seule}

explication

^{de cette anomalie}

que l’on

puisse adopter

^{est celle}

qu’a proposée

M. Van der Nlens-

brugghe (1),

savoir : que

l’énergie potentielle

^{de la masse}

liquide

formant la

couche dans laquelle

réside la tension

superficielle

^est

supérieure

^à celle de la même masse

prise

^à

l’intérieur,

^ce

qui

^est

indéniable ;

_que

l’augmentation

^{de cette}

énergie potentielle, quand

une certaine masse

liquide

passe de l’intérieur ^à la surface, ^ne

peut

^{se faire}

qu’aux dépens

^de

l’énergie

actuelle du

liquide,

^et

que, par

suite,

^{il doiL se}

produire

^un abaissement instantané de

température

^{dalls la couche}

superficielle

^d’un

liquide ,

^surtout

quand

la surface

augmente rapidement

^comme dans l’écoulement

goutte

^à goutte.

Or,

^comme la tension

superficielle

varie dans le même sens que ^la

température,

^on

^conçoit

que, dans ^ce dernier cas, la tension

qui

^est

en jeu

soit moins forte que dans ^un

liquide

dont la surface reste constante.

Toutefois,

^cette

augmentation

^de

tension

superficielle

^{n’a encore été} bien observée que pour l’eal.l. Les

expériences

que

je

^{continue sur le même}

sujet

^me

permettront, je l’espère

^{, de} reconnaître si la théorie de M. Van der

Mensbrugghe peut

seule rendre

compte

de l’anomalie que

j’ai signalée.

DU POTENTIEL EN ÉLECTRODYNAMIQUE ET EN

ÉLECTROMAGNÉTISME ;

PAR M. MACÉ DE LÉPINAY.

Les calculs relatifs ^aux actions

électrode namiques

^{et électroma-}

gnétiques,

^ainsi

qu’à l’induction,

^{se trouvent}

parfois

considérable-

ment

simplifiés

^en faisant usage du

potentiel.

^{On est conduit à}

(’ ) ^{Bulletin de} l’Académie ro)’ale de Belgique, ^2C série, ^t. XLI, ^n° 4; ^avril 18ÍG.

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphystap:018780070041401

4I5

employer

^{cette fonction par} le théorème fondamental

d’Ampère, diaprés lequel

^on

peut suhstituer,

^au

point

^{de vue de son action}

sur une molécule

magnétique,

^{à un courant}

^fermé,

deux surfaces

parallèles

infiniment

voisines

dont l’une est limitée par le ^contour du courant, ^et

possédant

^des

quantités égales

de fluides

magné- tiques contraires,

la densité constante p du fluide ^sur la surface limitée par le circuit ^étant donnée par la relation

dN étant la distance constante des deux surfaces.

Je me propose, dans ^ce

qui ^suit,

d’utiliser cette fonction pour donner une démonstration

très-simple

^de

quelques

^{théorèmes im-}

portants déjà

^connus

(1).

io

Expression

^du

potentiel

^{dans le cas d’lln courant}

fermé quelconque.

^-- Je suppose, d’une manière

générale,

que le ^courant fermé ne soit pas

plan.

Faisons passer, par le ^contour du

circuit,

une surface

quelconque,

^{et soit A}

(Jig. i)

^un élément de cette

Fig. ^r.

surface.

Si P

^est la densité du

magnétisme

^{sur cet}

^élément, supposé égal

^à

d2f, pdflfest

^le

magnétisme qu’il

contient. Si alors ¹ est

(1) Voir les articles publiés par AI. Potier dans ^ce Journal (t. II; p. 5 ^et 121).

lI. Potier a donné également du théorème fondamental une démonstration, ^{en défi-}

nissant le potentiel par le travail effectué pour transporter la molécule magnétique

de l’infini en m.

416

la distance Aî7z à la molécule

magnétique

^ln, que ^nous pouvons supposer contenir une masse I de

magnétisme

^{de même nom, le}

potentiel

^{de la}

première

^{surface sera}

Remarquons

alors que, les deux surfaces devant contenir la ^même

quantité

^de

magnétisme,

^{la masse de fluide contenue} dans l’élé-

ment A’ sera

201303C1d2 f.

^{Il en résulte}

qu’en posant

^{7nA’ == r}

J n,

^le

potentiel

relatif à la deuxième surface sera

On aura donc Pour l’ensenlble des deux

surfaces,

et, par consé-

quent,

pour le courant tout

entier,

en

négligeant

^les

puissances supérieures

^{de Az.}

Abaissons alors de ⁷ⁿ la normale ln T sur le

plan tangent

^en

A,

et

appelons ~ l’angle ^{T 7ll_A,}

^{dans le}

triangle ABA’,

On a donc

ou, ^en

remplaçant

^AN par ^sa

valseur,

^et

_supposant

^{le courant =} 1 ,

L’expression

^{ainsi obtenue a une}

signification géométrique très-simple.

^En

^effet, cos ~ d2 f

^{est la}

projection orthogonale

^de

l’éléanent dé surface sur un

plan perpendiculaire

^à 7n A. En multi-

pliant

^cette

projection par I r2,

^{nous obtenons la valeur de la pro-}

4I7

jection conique

de l’élénlent

d2 f

^{sur une}

sphère

de rayon ^i, décrite de ^m pour ^centre. On

peut

^énoncer alors ainsi ^ce résultat : Le

potentiel

^{d’uja courant}

fe17né quelconque d’intensité I,

^sur

un

point extéoieur,

^est

égal

^{il la}

projection

^{de la}

stitface

eiztozt7-,ée par le ^{courant sur} la

sphère

de rayon ^1, décrite autour de ^ce

point

comme centre.

Je vais

appliquer

^cet

important

^{théorème à}

quelques exemples.

2° Action d-uiz courant circulaire OA Sllr une masse

inagné- tique

^{située Sllr l’axe. Le}

^calcul, d’après

le théorème

précédent,

Fig. ^2.

revient à celui de la surface de la calotte

sphérique

ab détachée

sur la

sphère

de rayon ^{a .}

Soit 1 le rayon du

cercle,

d la distance m O. Si _p est le rayon ^aa, du

petit

cercle limitant la

calotte,

^{on a}

Si nous posons ^d’autre

part

(p

^{étan t le}

pôle

^du

pe ti t cercle)

^{, on aura}

Mais ^{on a}

Le

signe -

du radical

répond

^{seul à la}

duestion,

^{la surface}

cherchée étant celle de la

plus petite

des deux calottes détachées

4I8

sur la

sphère.

^{On aura donc}

On tire de

là,

_par

différentiation,

les trois

composantes

^{de la} iorce

agissant

^sur in, ^en

prenant

pour ^axe des x la direction 0 m,

3° Actioiz d-iiize bobine ^sur une 7izoléciile

magnétique placée

Sllr son axe.

2013 Décomposons chaque élément

tel que MM’

(fig. 3)

Fig. 3.

en

deux,

^l’un

parallèle

^à

^l’axe,

^l’autre

parallèle

^au cercle de base.

L’action de la bobine est celle d’un courant

fermé,

^si lahobine pos- sède un nombre

pair

de fils. Par la

décomposition indiquées,

^nous

ramenons le calcul à celui relatif à deux surfaces

planes,

^{M’N CC’}

et MNC.

Projetons

^ces deux surfaces sur la

sphère

de rayon ^{I .} Le

quadrilatère

^{M’NCC’ donne une surface}

^nulle,

^{et il ne reste à ,}

considérer que la

projection

^{de MNC.}

Appelons s

^la

longueur

^du fil enroulé

depuis

^{la base}

^A,

^{MN =}

^{ds ;}

~

l’angle

^{de l’hélice avec} la section droite du

cylindre.

^Soient,

enfin,

¹ le rayon du

cylindre

^{et x} la distance CM. La surface pro-

jection

de l’élément CMN est une

portion

^{de calotte}

sphérique

dont la surface

totale, précédemment trouvée,

^est

Si d03C3 est la surface

cherchée,

^{on a la relation}

419 Mais

On a donc

Enfin,

^en

remarquant

que dans M M’ N ^{on a}

on trouve

Pour introduire la

longueur 2l

^du

cylindre

^et le nombre ⁿ des

spires,

remarquons

qu’en appelant

^Iz le pas de l’hélice ^{on a} les relations

On a

donc,

^en effectuant

l’intégration,

On déduit de

là,

pour la force

agissant

^{sur ni,}

Cette dernière

expression peut

^{se mettre sous une forme}

plus simple

^en

appelant 03C8

^et

t¥1

les demi-ouvertures des cônes

ayant;

^ln pour sommets, ^et pour bases les deux bases de la bobine :

Autre démonstnution. ^- On

peut

^retrouver

plus simplement

ces diverses formules par ^un raisonnement moins

rigoureux.

^IL

suffit,

^{à cet}

effet,

^de substituer à la bobine ^une série de courants

circulaires, régulièrement distribués,

^à la distance h l’un de l’autre.

Nous

remplacerons

^alors

chaque

^courant circulaire par ^deux couches

magnétiques contraires,

de densité

03C1 =I h,

^{et distantes}

de li. Il résulte de ^cette

décomposition

que ^{tout se} passera ^comme s’il _y avait deux

couches,

^{l’une en}

A,

^{l’autre en}

B,

de fluides ^ma-

gnétiques

contraires.

Un calcul

très-simple ^donne,

pour ^le

potentiel

^{relatif à la}

couche

Ay

et, pour

B,

On trouve donc

expression identique

^{à la}

précédente,

si l’on remarque que des relations

onde

On

voit,

_par ^{ces deux}

exemples,

^le

parti

que l’on

peut

^{tirer du}

potentiel

^en

électromagnétisme,

et, par

suite,

^en

électrodyna- 111ique, lorsqu’jl s’agit

de calculer l’action de deux courants fermés.

Cette méme fonction

joue,

^{comme on le}

^sait,

^{un rôle}

également important

^en

induction, puisque, d’après

la théorie de

NeuTnann,

la force électromotrice

d’induction, produite

par le

déplace11lent

d’un

pôle magnétique

^{dans un circuit}

^fermé,

^est

proportionnelle

^à

la différence des

potentiels

^V,

^-Vo

^au commencement et à la fin du mouvement,

potentiel

^{calculé comme si le}

circuit

^{était traversé}

par ^{un courant} d’intensité I.

J.-N. LOCKYER. ²⁰¹⁴ Recent Researches in solar Chemistry (Récentes recherches de Chimie solaire); ^Phil. Magazine, ^t. VI, p. I6I ; septembre I878.

M.

Lockyer

^{a étudié la}

portion

^la

plus réfrangible

^du

spectre

avec un réseau de Rutherfurd

(67oo

traits environ

par centimètre),