PROBLÈME CLASSIQUE 1

Lycée Ste-Marie Fénelon – la Plaine Monceau Classe de MP

Année 2017-2018 Mathématiques

Devoir surveillé n ^◦ 4

du jeudi 9 novembre 2018 Durée : 4 heures Calculatrice autorisée

Instructions générales : Les candidats sont priés

• de vérifier que le sujet dont ils disposent comporte bien huit pages ;

• de traiter leur sujet :

? classique, composé des problèmes1,2 et3;

? corsé, composé du problème corsé.

Enfin, les candidats sont invités à porter une attention particulière à la rédaction : les copies illisibles ou mal présentées seront pénalisées.

Remarque importante :

Si au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre.

Bon courage !

PROBLÈME CLASSIQUE 1

Soitnun entier naturel supérieur ou égal à 2et (G,×)un sous-groupe de GL_n(C).

On suppose qu’il existep∈N^∗tel que

∀X ∈G, X^p = I_n. oùIn désigne la matrice unité deMn(C).

SoitE= Vect (G)le sous-espace vectoriel deMn(C)engendré par la partieG.

Une matriceN ∈ Mn(C)est ditenilpotentelorsqu’il existek∈N^∗ tel queN^k=O_n (matrice nulle deMn(C)).

1. Quelle est le spectre d’une matrice nilpotente ? 2. Quelles sont les matrices nilpotentes diagonalisables ? 3. SoitA∈ M₂(C).

3.1. Déterminer deux nombres complexesαetβ tels queA²=αA+βI2. 3.2. Prouver l’équivalence

A nilpotente ⇐⇒ Tr(A) = Tr(A²) = 0.

On admettra dans toute la suite de l’exercice que cette propriété se généralise pour tout entier naturelnsupérieur ou égal à 2, c’est à dire que pour toute matrice A∈ M_n(C):

A nilpotente ⇐⇒ Tr(A) = Tr(A²) =· · ·= Tr(Aⁿ) = 0 4. 4.1. Vérifier queE est un espace vectoriel de dimension finie.

4.2. Montrer qu’il existe r ∈ N^∗ et une famille (M1, . . . , Mr)d’éléments de G qui soit une base de E. On ne cherchera pas à calculerr ni à déterminer les matricesMj.

5. On noteUp l’ensemble des racinesp-ièmes de l’unité.

5.1. Préciser le cardinal deU_p et expliciter ses éléments.

5.2. SoitX une matrice élément de Get λune valeur propre deX. Montrer queλ∈Up.

6. Hors-barème, utilise le chapitre 7 (réduction). Prouver que tout élément deGest diagonalisable.

7. Prouver que l’ensemble S={Tr(X), X∈G}est fini. Donner un majorant du cardinal de S.

On considère alors l’application

ϕ : X∈G7→ϕ(X) = (Tr(XM1), . . . ,Tr(XMr))∈C^r. 8. SoientA etB deux éléments deGtels queϕ(A) =ϕ(B). On noteN =AB⁻¹−I_n.

8.1. Justifier queAB⁻¹∈G. En déduire queN est diagonalisable.

8.2. Montrer que

∀i∈ {1, . . . , r}, Tr(AMi) = Tr(BMi).

En déduire que

∀X ∈E, Tr(AX) = Tr(BX).

8.3. Soitk∈N. En écrivant que(AB⁻¹)^k=AB⁻¹. . . AB⁻¹ (kfacteurs) et en utilisant la question précédente, montrer que

Tr((AB⁻¹)^k) = n.

8.4. Calculer alorsTr(N),Tr(N²), . . . ,Tr(Nⁿ). Que peut-on dire de la matriceN? 8.5. Montrer queϕest injective.

9. Montrer queϕ(G)⊂ S^r.

10. Que peut-on en déduire pourG?

PROBLÈME CLASSIQUE 2

Notations.

Pourz∈C, on note|z|son module. Pour tout entier natureln, on note :

• n!la factorielle denavec la convention0! = 1,

• [[0, n]]l’ensemble des entiers naturelsk vérifiant0≤k≤n,

• ⁿ_k

le nombre de parties ayantkéléments d’un ensemble denéléments, pourk∈[[0, n]].

On rappelle :

• la valeur de ⁿ_k

= _k!(n−k)!^n! pour k∈[[0, n]],

• la formule du binôme : siz₁ etz₂ sont des nombres complexes etnun entier naturel, alors (z₁+z₂)ⁿ =

n

X

k=0

n k

z^k₁z^n−k₂ .

Enfin, sinest un entier naturel non nul, on noteσ_n la somme

n

X

k=1

1

k = 1 +1

2 +· · ·+1

n et on poseσ₀= 0.

Les notations utilisées sont les suivantes.

Toute application deNdansCétant une suite complexe, siaest une telle suite, on utilise la notation usuellea(n) =a_n. À toute suite complexea, on associe la suitea^∗définie par :

∀n∈N, a^∗_n = 1 2ⁿ

n

X

k=0

n k

ak.

L’objet des partiesIet IIest de comparer les propriétés de la série X

n≥0

a^∗_n aux propriétés de la série X

n≥0

a_n, d’abord sur des exemples puis dans le cas général.

Partie I : deux exemples.

I.1. Cas d’une suite constante.

Soitα∈C^∗; on suppose que la suite aest définie par∀n∈N, an=α.

I.1.1. Donner la valeur de

n

X

k=0

n k

pourn∈N. I.1.2. Calculera^∗_n pourn∈N.

I.1.3. La sérieX

n≥0

a_n (resp.X

n≥0

a^∗_n) est-elle convergente ? I.2. Cas d’une suite géométrique.

Soitz∈C; on suppose que la suiteaest définie par :∀n∈N, an=zⁿ. I.2.1. Exprimera^∗_n en fonction dezet n.

I.2.2. On suppose que|z|<1.

(a) Justifier la convergence de la série X

n≥0

an et expliciter sa sommeA(z) =

+∞

X

n=0

an. (b) Justifier la convergence de la série X

n≥0

a^∗_n et expliciter sa somme

+∞

X

n=0

a^∗_n en fonction deA(z).

I.2.3. On suppose que|z| ≥1.

(a) Quelle est la nature (convergente ou divergente) de la sérieX

n≥0

an? (b) Quelle est la nature de X

n≥0

a^∗_n siz=−2?

(c) On supposez=e^iθ, avecθ réel tel que0<|θ|< π.

Montrer que la série X

n≥0

a^∗_nest convergente. Calculer les parties réelle et imaginaire de la somme

+∞

X

n=0

a^∗_n.

Partie II : étude de la convergence de (a

)

et de P a

.

Dans cette partie, et pour simplifier, on suppose queaest à valeurs réelles.

II.1. Comparaison des convergences des deux suites.

II.1.1. Soitn∈N^∗, on considère une entierkfixé,k∈[[0, n]].

(a) Préciser un équivalent de n

k

lorsquentend vers+∞.

(b) En déduire la limite de 1 2ⁿ

n k

lorsquentend vers+∞.

II.1.2. Soitaune suite réelle et qun entier naturel fixé.

On considère pourn > qla sommeS_q(n, a) =

q

X

k=0

n k

a_k

2ⁿ. Quelle est la limite deS_q(n, a)lorsque l’entiern tend vers+∞?

II.1.3. On suppose quean tend vers0lorsquentend vers+∞. Montrer quea^∗_n tend vers0lorsquentend vers +∞.

II.1.4. On suppose quean tend vers`(limite finie) lorsquentend vers+∞. Quelle est la limite dea^∗_n lorsque ntend vers+∞?

II.1.5. La convergence de la suite(an)n est-elle équivalente à la convergence de la suite (a^∗_n)n? II.2. Comparaison des convergences des séries Pa_n etPa^∗_n.

Pourn∈N^∗, on noteS_n=

n

X

k=0

a_k,T_n=

n

X

k=0

a^∗_k,U_n = 2ⁿT_n.

II.2.1. Pour n ∈ [[0,3]], exprimer U_n comme combinaison linéaire des sommes S_k, c’est à dire sous la forme U_n =

n

X

k=0

λ_n,kS_k.

II.2.2. On se propose de démontrer que : ∀n∈N, ∀k∈[[0, n]], λn,k= n+ 1

k+ 1

. (a) Prouver que : ∀n∈N, U_n+1= 2U_n+

n+1

X

k=0

n+ 1 k

a_k (1).

(b) On utilise la convention S₋₁ = 0. On a toujours, pour n ∈ N, Sn =

n

X

k=0

ak, donc pour tout k ∈ N : a_k =S_k−S_k−1 (2).

En utilisant (1) et (2), démontrer par récurrence que : ∀n∈N, U_n=

n

X

k=0

n+ 1 k+ 1

S_k.

II.2.3. On suppose que la sériePa_n est convergente. Montrer que la sériePa^∗_n est convergente et exprimer la somme

+∞

X

n=0

a^∗_n en fonction de la somme

+∞

X

n=0

a_n. II.2.4. La convergence de la sérieP

an est-elle équivalente à la convergence de la sérieP a^∗_n?

PROBLÈME CLASSIQUE 3

Dans tout l’exercice,E désigne l’espace vectoriel norméM₃(R)des matrices carrées d’ordre 3 à coefficients réels.I₃ est la matrice unité. On considère

A=







0 −1 0

1 0 0

0 0 0





∈E

1. Citer le théorème de Cayley-Hamilton. En déduire un polynôme non nul annulateur de la matriceA.

2. La matriceA est-elle diagonalisable dansM₃(C)? DansE? Justifier vos réponses.

3. Soitk∈N. CalculerA^k.

4. Démontrer que le sous-espace vectoriel F de E engendré par les puissances de A est de dimension finie. En exhiber une baseB constituée de puissances deA.

5. Soitθ∈ R. Pourn∈N^∗, on pose

Sn =

n

X

k=0

θ^k k!A^k. Justifier queS_n ∈F. Donner les composantes deS_n dans la baseB.

6. Démontrer queM = lim

n→+∞Sn existe.

7. Vérifier queM ∈F et donner ses composantes dans la baseB.

8. SoitC = (e1, e2, e3)la base canonique deR³ euclidien orienté usuel. Démontrer queM est la matrice dansC d’une rotation vectorielle dont on précisera les éléments caractéristiques.

9. Déterminer les valeurs du réelθ pour lesquelles lim

n→+∞S_n² est la matrice d’une symétrie vectorielle.

PROBLÈME CORSÉ

Dans ce problème,Kdésigne le corpsRou le corpsCetE est unK-espace vectoriel non nul.

Si f est un endomorphisme deE, pour tout sous-espaceF deE stable par f on notefF l’endomorphisme de F induit parf, c’est-à-dire défini sur F parfF(x) =f(x)pour toutxdansF.

Pour tout endomorphismef d’unK-espace vectorielE on définit la suite(fⁿ)n∈Ndes puissances def par f⁰ = Id_E,

f^k+1 = f◦f^k = f^k◦f pour toutkdansN.

On noteK[X]l’espace vectoriel surKdes polynômes à coefficients dansKet, pour toutndeN,Kn[X]le sous-espace deK[X]des polynômes de degré au plus égal àn.

Pour n≥1, Mn(K)est l’espace des matrices carrées ànlignes et à éléments dansKetMn,1(K)est l’espace des matrices colonnes ànlignes et à éléments dansK.

I Première partie Dans cette partie,f est un endomorphisme d’unK-espace vectorielE.

I.A – Montrer qu’une droiteF engendrée par un vecteuruest stable parf si et seulement siuest un vecteur propre def.

I.B –

I.B.1) Montrer qu’il existe au moins deux sous-espaces de E stables par f et donner un exemple d’un endomor- phisme deR² qui n’admet que deux sous-espaces stables.

I.B.2) Montrer que si E est de dimension finie n≥2 et si f est non nul et non injectif, alors il existe au moins trois sous-espaces deE stables parf et au moins quatre lorsquenest impair.

Donner un exemple d’endomorphisme deR²qui n’admet que trois sous-espaces stables.

I.C –

I.C.1) Montrer que tout sous-espace engendré par une famille de vecteurs propres def est stable parf. Préciser l’endomorphisme induit parf sur tout sous-espace propre def.

I.C.2) Montrer que sif admet un sous-espace propre de dimension au moins égale à 2alors il existe une infinité de droites deE stables parf.

I.C.3) Que dire def si tous les sous-espaces deE sont stables parf? I.D – Dans cette sous-partie,E est un espace de dimension finie.

I.D.1) Montrer que si f est diagonalisable alors tout sous-espace de E admet un supplémentaire dansE stable parf. On pourra partir d’une base deF et d’une base de Econstituée de vecteurs propres def.

I.D.2) Montrer que si K =C et si tout sous-espace de E stable parf admet un supplémentaire dans E stable parf, alorsf est diagonalisable. Qu’en est-il si K=R?

II Deuxième partie

Dans cette partie, net psont deux entiers naturels au moins égaux à 2, f est un endomorphisme diagonalisable d’un K-espace vectoriel E de dimension n, qui admet p valeurs propres distinctes{λ1, . . . , λp} et, pour tout i dans [[1, p]], on noteEi le sous-espace propre def associé à la valeur propre λi.

II.A – Il s’agit ici de montrer qu’un sous-espaceF deE est stable par f si et seulement siF =

p

M

i=1

(F∩Ei).

II.A.1) Montrer que tout sous-espaceF deE tel queF =

p

M

i=1

(F∩Ei)est stable par f.

II.A.2) SoitF un sous-espace de E stable par f et xun vecteur non nul deF. Justifier l’existence et l’unicité de (x_i)_1≤i≤p dansE₁× · · · ×E_p tel quex=

p

X

i=1

x_i.

II.A.3) Si on pose H_x = {i ∈ [[1, p]]|x_i 6= 0}, H_x est non vide et, quitte à renuméroter les valeurs propres (et les sous-espaces propres), on peut supposer que Hx = [[1, r]] avec 1 ≤ r ≤p. Ainsi on a x=

r

X

i=1

xi avec xi∈Ei\ {0}pour toutide[[1, r]].

On poseVx= Vect (x1, . . . , xr).

Montrer queBx= (x1, . . . , xr)est une base deVx.

II.A.4) Montrer que pour toutjde[[1, r]],f^j−1(x)appartient àV_xet donner la matrice de la famille(f^j−1(x))_1≤j≤r dans la baseBx.

II.A.5) Montrer que(f^j−1(x))_1≤j≤rest une base deV_x.

II.A.6) En déduire que pour toutide[[1, r]],xi appartient àF et conclure.

II.B – Dans cette sous-partie, on se place dans le cas oùp=n.

II.B.1) Préciser la dimension deEi pour toutidans[[1, p]].

II.B.2) Combien y a-t-il de droites deE stables parf?

II.B.3) Sin≥3 etk∈[[2, n−1]], combien y a-t-il de sous-espaces deE de dimensionket stables parf? II.B.4) Combien y a-t-il de sous-espaces deE stables parf dans ce cas ? Les donner tous.

III Troisième partie

III.A – On considère l’endomorphismeD de dérivation surK[X]défini par D(P) =P⁰ pour toutP dansK[X].

III.A.1) Vérifier que pour toutndeN,Kn[X]est stable parDet donner la matriceA_n de l’endomorphisme induit parDsurKn[X]dans la base canonique deKn[X].

III.A.2) SoitF un sous-espace deK[X], de dimension finie non nulle, stable parD.

a) Justifier l’existence d’un entier naturelnet d’un polynômeRde degréntels queR∈F etF ⊂Kn[X].

b) Montrer que la famille(Dⁱ(R))_0≤i≤n est une famille libre deF.

c) En déduire queF =Kn[X].

III.A.3) Donner tous les sous-espaces deK[X] stables parD.

III.B – On considère un endomorphismef d’unK-espace vectorielEde dimension n≥2 tel quefⁿ= 0etfⁿ⁻¹6= 0.

III.B.1) Déterminer l’ensemble des vecteurs udeE tels que la familleBf,u= (fⁿ⁻ⁱ(u))_1≤i≤n soit une base deE.

III.B.2) Dans le cas où Bf,u est une base deE, quelle est la matrice def dansBf,u? III.B.3) Déterminer une base deE telle que la matrice def dans cette base soitA_n−1.

III.B.4) Donner tous les sous-espaces deEstables parf. Combien y en a-t-il ? Donner une relation simple entre ces sous-espaces stables et les noyauxker(fⁱ)pour idans[[0, n]].

IV Quatrième partie

Dans cette partie,nest un entier naturel non nul,M est dansMn(R)etf est l’endomorphisme deE=Mn,1(R) défini parf(X) =M X pour toutX deE.

IV.A – Si on pose X_i =





 δ1,i

... δn,i





 où δ_k,` =

(1 sik=`, 0 sik6=`

et B_n = (X_i)_1≤i≤n la base canonique de E, quelle est la matrice def dansBn?

IV.B – Montrer que si nest impair, alorsf admet au moins une valeur propre réelle.

IV.C – Dans cette question,λ=α+iβ, avec(α, β)dansR², est une valeur propre non réelle de M etZ deMn,1(C), non nul est tel queM Z =λZ.

Si M = (mi,j)1≤i,j≤n, on poseM = (m⁰_i,j)1≤i,j≤n avecm⁰_i,j =mi,j (conjugué du nombre complexemi,j) pour tout (i, j)de[[1, n]]²et si Z=





 z₁

... z_n





, on poseZ=





 z⁰₁

... z_n⁰





avecz_i⁰=z_i pour touti de[[1, n]].

On poseX= 1

2(Z+Z)etY = 1

2i(Z−Z).

IV.C.1) Vérifier queX etY sont dansE et montrer que la famille (X, Y)est libre dansE.

IV.C.2) Montrer que le plan vectorielF engendré parX et Y est stable parf et donner la matrice de fF dans la base(X, Y).

IV.D – Que penser de l’affirmation : « tout endomorphisme d’un espace vectoriel réel de dimension finie admet au moins une droite ou un plan stable » ?

IV.E – Existe-t-il un endomorphisme deR[X] n’admettant ni droite ni plan stable ? V Cinquième partie

Dans cette partieE est un espace vectoriel réel de dimensionnmuni d’une baseB= (εi)1≤i≤n. On considère un endomorphismef deEet on note Asa matrice dans la baseB.

V.A –

V.A.1) Montrer qu’il existe un unique produit scalaire surE pour lequel B est orthonormée. Ce produit scalaire est noté de manière usuelle parhu, viou plus simplementu·v pour tout(u, v)deE².

V.A.2) Siuetvsont représentés par les matrices colonnes respectivesU etV dans la baseB, quelle relation simple existe-t-il entreu·v et le produit matriciel^tU V (où^tU est la transposée deU) ?

V.B – SoitH un hyperplan deE etD son supplémentaire orthogonal.

Si (u) est une base de D et si U est la matrice colonne de u dans B, montrer que H est stable par f si et seulement si U est un vecteur propre de la transposée deA.

V.C – M. Cochet : question éliminée (sans incidence sur la suite).

V.D – Dans cette question,E est un espace vectoriel réel de dimensionnetf est un endomorphisme deE.

V.D.1) Montrer que si f est diagonalisable alors il existe n hyperplans deE, (Hi)1≤i≤n, tous stables par f, tels que

n

\

i=1

Hi={0}.

V.D.2) Un endomorphisme f deE pour lequel il existen hyperplans deE stables parf et d’intersection réduite au vecteur nul est-il nécessairement diagonalisable ?

Lycée Ste-Marie Fénelon – la Plaine Monceau Classe de MP

Année 2017-2018 Mathématiques

Devoir surveillé n ^◦ 4 – éléments de correction

PROBLÈME CLASSIQUE 1 — d’après E3A 2012 PSI maths B

1. Si A est nilpotente, alors il existe un entier k ≥ 1 tel que le polynômeX^k annule A. Or, les valeurs propres d’une matrice sont racines de tout polynôme annulateur. Ainsi0est la seule valeur propre possible deA. Comme 0 = det(A^k) = det(A)^k, la matriceAn’est pas inversible et0 est bien valeur propre.

Finalement {0} est le spectre d’une matrice nilpotente .

2. Un matrice dont le spectre est réduit à une valeurλn’est diagonalisable que si elle est scalaire (puisqueX−λ annule cette matrice, elle vautλIn). Ainsi la matrice nulle On est la seule matrice nilpotente diagonalisable . 3.1. Remarquons que χA(X) = X²−Tr(A)X + det(A) annule A (théorème de Cayley-Hamilton). On peut donc

choisir

α = Tr(A) et β = −det(A).

3.2. Remarquons que la trace d’une matrice est la somme de ses valeurs propres . Ce résultat découle par exemple de la formule du polynôme caractéristique, qui est scindé puisque le corps de base est C. En effet, avec des notations évidentes χ_A(X) =

n

Y

i=1

(X−λ_i) =Xⁿ−( trA)Xⁿ⁻¹+· · ·+ (−1)ⁿdet(A)d’où tr (A) =

n

X

i=1

λ_i.

• SupposonsAnilpotente. Alors0 est sa seule valeur propre d’après la question1..

En appliquant la remarque ci-dessus à la matrice nilpotenteAon en déduit que tr (A) = 0.

La matriceA² étant elle aussi nilpotente, il vient tr (A²) = 0.

• Supposons réciproquement queAetA²sont de trace nulle. AlorsA²= det(A)I₂(d’après3.1) doncdet(A) = 0 en passant à la trace. Ainsi, le polynôme annulateur de Atrouvé en question précédente estX². Finalement A²= 0et Aest nilpotente.

4.1. L’ensembleE = Vect (G)est par construction un sous-espace deMn(C). En outreMn(C)est de dimension finie (égale àn²), ainsi E est de dimension finie .

4.2. Le théorème de la base incomplète indique que l’on peut compléter une famille libre d’un espace vectoriel avec des éléments d’une famille génératrice de cet espace pour obtenir une base.

On part de la famille libre (M₁)(M₁ est non nulle car inversible) et on peut la compléter avec des éléments de Gpour obtenir une base deE composée d’éléments deG. L’entierrest le cardinal de cette famille, c’est-à-dire la dimension deE.

5.1. D’après le cours de MPSI : card(U_p) =petU_p={e^2ikπp / k∈[[0, . . . , p−1]]} .

5.2. Soit X ∈ G. Par hypothèse X^p = In. Si λ est valeur propre de X alors il existe un vecteur non nul tel que XE=λE. Une récurrence immédiate donneX^kE=λ^kE. Ainsi(λ^p−1)E= 0et commeEn’est pas le vecteur nul (c’est un vecteur propre !), il vient λ^p= 1.

6. Soit M ∈ G. Le polynôme X^p−1 est un polynôme annulateur de M. Comme il est scindé à racines simples (dansC), la matrice M est diagonalisable .

7. SoitX∈G. La matriceX est semblable à une matrice diagonale dont les éléments diagonaux sont des éléments de Up. La trace de X est donc la somme de n éléments de Up (éventuellement répétés). Il y a au plus pⁿ diagonales possibles (pchoix pour chaque élément) et donc au pluspⁿ éléments dansS (certainement moins car deux diagonales différentes peuvent avoir même somme).

8.1. L’ensembleGest un groupe donc est stable par multiplication et passage à l’inverse. AinsiAB⁻¹est dansG. En particulier, c’est une matrice diagonalisable et il existe une matrice inversiblePtelle queD=P AB⁻¹Pest diago- nale. La matriceP N P =P(AB⁻¹−In)P⁻¹=D−Inest aussi diagonale, d’où N est également diagonalisable .

8.2. Par hypothèseϕ(A)etϕ(B)sont deuxp-uplets égaux, donc leurs coordonnées sont égales. Ceci donne

∀i∈ {1, . . . , r}, Tr(AMi) = Tr(BMi).

La forme linéaire X 7→Tr(AX)−Tr(BX) est par conséquent nulle sur une base deE. Par linéarité, elle l’est surE tout entier ! Finalement

∀X ∈E, Tr(AX) = Tr(BX). 8.3. Montrons par récurrence forte que la propriété

Tr((AB⁻¹)^k) = n est vraie pour tout entierk.

• k= 0. Remarquons que(AB⁻¹)⁰=I_n est de tracence qui prouve le résultat pourk= 0.

• k= 1. Prouvons ce cas afin de bien comprendre le processus. La matriceB⁻¹est dansGcarGest un groupe, doncB⁻¹ est dansE. Ainsi d’après la question 8.2nous avons Tr(AB⁻¹) = Tr(BB⁻¹) = Tr(I_n) =n.

• kquelconque. Soitk≥0tel que le résultat soit vrai jusqu’au rangk. On a alors(AB⁻¹)^k+1=AB⁻¹(AB⁻¹)^k. Avec la question précédente utilisée avecX =B⁻¹(AB⁻¹)^k (qui est dansGcomme produit d’éléments deG) il vient

Tr(AB⁻¹)^k+1) = Tr(BB⁻¹(AB⁻¹)^k) = Tr(AB⁻¹)^k) et on conclut directement avec le résultat au rangk.

Finalement comme attendu Tr((AB⁻¹)^k) =npour toutk.

8.4. Fixons k∈[[0, n]]. Les matrices(AB)⁻¹ et In commutant, la formule du binôme de Newton s’applique et nous obtenons :

N^k = (AB⁻¹−In)^k =

k

X

i=0

k i

(−1)^k−i(AB⁻¹)ⁱ. La trace étant linéaire, il vient d’après la question précédente :

Tr(N^k) =

k

X

i=0

k i

(−1)^k−iTr(AB⁻¹)ⁱ) = n

k

X

i=0

k i

(−1)^k−i = n(1−1)^k = 0.

Avec le résultat admis par l’énoncé, la matrice N est nilpotente . Étant diagonalisable d’après la question 6., elle est nulle (question2.). Finalement la matriceN est nulle .

8.5. La question 8.4 permet d’affirmer que AB⁻¹ = In et donc A = B. Ceci prouve que ϕest injective (deux éléments qui ont la même image sont égaux).

9. Si X ∈Galors pour touti,XMi∈G(carGest un groupe). Ainsi Tr(XMi)∈ S puisϕ(X)∈ S^r. Ceci signifie que ϕ(G)⊂ S^r .

10. L’applicationϕest injective et son image est finie. On peut conclure que Gest un groupe fini .

PROBLÈME CLASSIQUE 2 — d’après CCP 2006 PSI maths A

Partie I.

I.1.1. D’après la formule du binôme :

n

X

k=0

n k

= (1 + 1)ⁿ= 2ⁿ . I.1.2. On a donc ∀n∈N,a^∗_n= 1 .

I.1.3. Les sériesP

an etP

a^∗_n sont grossièrement divergentes.

I.2.1. La formule du binôme indique que

∀n∈N, a^∗_n= 1

2ⁿ(z+ 1)ⁿ. I.2.2

(a) On sait calculer les sommes géométriques. La raisonz étant différente de1, il vient

n

X

k=0

z^k = 1−zⁿ⁺¹ 1−z . Pour|z|<1 ce terme admet une limite. La sériePa_n converge et

A(z) =

+∞

X

n=0

z^k = 1 1−z.

(b) On a

z+ 1 2

≤ 1 +|z|

2 <1 etPa^∗_n est donc aussi une série géométrique convergente de somme

+∞

X

n=0

a^∗_n = 1

1−^z+1₂ = 2

1−z = 2A(z).

I.2.3

(a) La sériePa_n est grossièrement divergente (terme général qui n’est pas de limite nulle).

(b) Siz=−2alorsa^∗_n= (−1/2)ⁿ est le terme général d’une série géométrique convergente.

(c) La suite(a^∗_n)nest géométrique de raisonr=e^iθ+ 1 2 = cos

θ 2

e^iθ2. Orθ∈]0, π[donc|r| ∈]0,1[d’oùP a^∗_n converge avec :

+∞

X

n=0

a^∗_n = 1

1−r = 2

1−e^iθ = ie^−iθ2

sin^θ₂ = 1 +icos(^θ₂) sin(^θ₂).

Partie II.

II.1.1

(a) Calcul classique :

n k

= n(n−1). . .(n−k+ 1)

k! ∼

n→+∞

n^k k!. (b) Par croissance comparées, il vient

n→+∞lim 1 2ⁿ

n k

= 0.

II.1.2. L’entierqétant fixé, la sommeSq(n, a)est finie de termes de limite nulle. Ceci permet d’affirmer que

n→+∞lim Sq(n, a) = 0.

II.1.3. Démonstration analogue à celle du théorème de Cesaro !

Soitε >0. Commeaest de limite nulle, il existe un rangqtel que pour toutk≥q, |ak| ≤ ε

2. En outre la suite (Sq(n, a))n étant de limite nulle, il existe n0tel que pour toutn≥n0, |Sq(n, a)| ≤ ε

2. Il s’ensuit que :

∀n≥n₀, |a^∗_n| =

S_q(n, a) + 1 2ⁿ

n

X

k=q+1

n k

a_k

≤ ε 2 + 1

2ⁿ

n

X

k=q+1

n k

ε 2.

Comme

n

X

k=q+1

n k

≤

n

X

k=0

n k

≤2ⁿ, on a finalement

∀n≥n0, |a^∗_n| ≤ ε.

En résumé :

si(an)n est de limite nulle alors(a^∗_n)n est de limite nulle . II.1.4. Par différence

a^∗_n−` = 1 2ⁿ

n

X

k=0

n k

(a_k−`) et on se ramène au cas précédent cara<sub>n</sub>−`→0. Ainsi :

si(an)n est de limite`alors(a<sup>∗</sup><sub>n</sub>)n est de limite`.

II.1.5. Sia_n = (−2)ⁿ, alors d’après I.2.3 la suite(a_n^∗)_n est convergente de limite nulle mais(a_n)_n est divergente.

Il n’y a donc pas équivalence entre les convergences de(an)n et de(a^∗_n)n . II.2.1. Un calcul au brouillon (non reporté) donne :

U0=S0, U1=S1+ 2S0, U2=S2+ 3S1+ 3S0, U3=S3+ 4S2+ 6S1+ 4S0. II.2.2

(a) Par définition :

Un+1 = 2ⁿ⁺¹Tn+1 = 2ⁿ⁺¹ Tn+a^∗_n+1

= 2 (2ⁿTn) + 2ⁿ⁺¹a^∗_n+1 d’où

Un+1 = 2Un+

n+1

X

k=0

n+ 1 k

ak. (1) (b) Pourn∈N, notons (Hn)l’hypothèse suivante :

(Hn) Un =

n

X

k=0

n+ 1 k+ 1

Sk.

D’après la question II.2.1, cette formule est vérifiée pour n égal à 0, 1, 2 et 3. La récurrence est donc initialisée.

Soit maintenantn∈Ntel que(Hn)soit vraie. Démontrons que(Hn+1)est vraie. La relation (1) démontrée au (a) s’écrit :

U_n+1 = 2U_n+

n+1

X

k=0

n+ 1 k

a_k. On utilise alors la relation (2) suggérée par l’énoncé :

Un+1 = 2

n

X

k=0

n+ 1 k+ 1

Sk+

n+1

X

k=0

n+ 1 k

(Sk−Sk−1)

=

n

X

k=0

2 n+ 1

k+ 1

Sk+

n+1

X

k=0

n+ 1 k

Sk−

n+1

X

k=0

n+ 1 k

S_k−1.

On effectue alors un changement d’indice dans la dernière somme (k−1devientk) et on exploite la nullité (par convention) deS−1 :

Un+1 =

n

X

k=0

2 n+ 1

k+ 1

Sk+

n+1

X

k=0

n+ 1 k

Sk−

n

X

k=0

n+ 1 k+ 1

Sk.

Ensuite on regroupe et on utilise la formule d’additivité des coefficients binomiaux : Un+1 =

n+ 1 n+ 1

Sn+1+

n

X

k=0

2

n+ 1 k+ 1

+ n+ 1

k

− n+ 1

k+ 1

Sk

= Sn+1+

n

X

k=0

n+ 1 k+ 1

+ n+ 1

k

Sk

=

n+ 2 n+ 2

S_n+1+

n

X

k=0

n+ 2 k+ 1

S_k

=

n+1

X

k=0

n+ 2 k+ 1

Sk

ce qui démontre(Hn+1)et achève la récurrence .

II.2.3. On suppose quePa_nconverge et on noteSsa somme. On a doncS_n →Squandn→+∞. Avec la question précédente, il vient

U_n−1 =

n

X

k=1

n k

S_k−1 =

n

X

k=0

n k

S_k−1. OrS_n⁰ =S_n−1→S, donc la question II.1 indique que

n→+∞lim 1 2ⁿ

n

X

k=0

n k

Sk−1 = S,

ce qui donne U_n−1

2ⁿ →S ou encoreT_n−1= U_n−1

2ⁿ⁻¹ →2S. La série Pa^∗_n est finalement convergente avec

+∞

X

n=0

a^∗_n = 2

+∞

X

n=0

a_n.

II.2.4. Si an = (−2)ⁿ alors Pan diverge d’après I.2.3(b), alors que Pa^∗_n converge. Il s’ensuit que les séries Pa_n etPa^∗_n n’ont pas toujours même nature .

PROBLÈME CLASSIQUE 3 — d’après E3A 2015 PSI maths B

1. Le théorème de Cayley-Hamilton dit qu’une matrice est annulée par son polynôme caractéristique. Ici, par calcul de déterminant par blocs ou développement par rapport à la dernière ligne, il vient

χA(X) = det(XI3−A) = X(X²+ 1).

Ainsi X(X²+ 1) annuleA .

2. Le polynôme X(X²+ 1) = X(X −i)(X +i) étant scindé à racines simples sur C et annulantA, la matrice AestC-diagonalisable . On peut aussi déterminer les sous-espaces propres, ce qui ne fait appel qu’au chapitre

« éléments propres » (et pas au chapitre « réduction »).

Le spectre réel deA est composé des racines réelles de χ_A(X). Ainsi 0 est la seule valeur propre réelle de A.

Or, la seule matrice réelle diagonalisable dont0 est l’unique valeur propre est la matrice nulle. OrA6= 0, d’où An’est pas diagonalisable surR.

3. Remarquons queR= 0 −1

1 0

!

est la matrice, dans la base canonique deR², de la rotation d’angle π 2. Par conséquentR^k est la matrice de la rotation d’anglekπ

2. Un calcul par blocs donne alors

∀k∈N, A^k =









cos(kπ

2) −sin(kπ 2) 0 sin(kπ

2) cos(kπ 2) 0

0 0 0







 .

On peut aussi écrire que (le casA⁰ est particulier) :

A⁰ =







1 0 0 0 1 0 0 0 1





, A^2k =







(−1)^k 0 0 0 (−1)^k

0 0 0





, A^2k+1 =







0 (−1)^k+1 0

(−1)^k 0 0

0 0 0





.

4. L’ensemble F ⊂ M3(R) est un sous-espace d’un espace de dimension finie. Il est donc de dimension finie.

Montrons maintenant par récurrence forte que :

∀k∈ N, A^k ∈Vect (I₃, A, A²).

• Initialisation : c’est évident pourk= 0,1,2.

• Hérédité : soitn≥2 tel que le résultat soit vrai jusqu’au rangn. On a alors l’existence dea,b,créels tels queAⁿ =aA²+bA+cI3. Alors Aⁿ⁺¹ =aA³+bA²+cA=bA²+ (c−a)A∈Vect (I3, A, A²). Le résultat est donc vrai au rangn+ 1.

On aurait aussi pu utiliser la division euclidienne parχA(X) pour éviter la récurrence.

On en déduit que

F = Vect (I3, A, A²).

La famille(I3, A, A²)engendreF, prouvons qu’elle est libre. Supposons queaA²+bA+cI3= 0. Le polynôme P=aX²+bX+xannuleAet toute valeur propre complexe deAest racine deP. AinsiP admet au moins trois racines (à savoir0,i,−i). CommeP est dansC2[X](qui contientR2[X]), il est nul. La familleB= (I3, A, A²) est par conséquent libre.

Finalement (I3, A, A²)est une base deF etF est de dimension3.

5. La matriceSn étant combinaison linéaire d’éléments de l’espace vectoriel F, il est clair que Sn est dansF . Pour exprimerSn dansB, on remarque que

∀k∈N^∗, A^2k = (−1)^k−1A² et ∀k∈N, A^2k+1 = (−1)^kA.

Dans la somme qui définit S_n, on particularise le terme d’indice0 et on découpe la somme selon la parité de l’indice pour les autres termes. Il s’ensuit que

Sn = I3+



 X

0≤j≤ⁿ⁻¹₂

(−1)^j θ^2j+1 (2j+ 1)!



A+



 X

1≤j≤ⁿ₂

(−1)^j−1 θ^2j (2j)!



A² ,

ce qui donne l’expression deSn dans la baseB.

6. Pour montrer que(Sn)n converge il suffit, par théorème d’opérations, de montrer que les suites de coordonnées ci-dessus convergent. Or, on sait que

+∞

X

j=0

(−1)^j θ^2j+1

(2j+ 1)! = sin(θ) et

+∞

X

j=0

(−1)^j θ^2j

(2j)! = cos(θ).

On en déduit que

n→+∞lim



 X

0≤j≤ⁿ⁻¹₂

(−1)^j θ^2j+1 (2j+ 1)!



 = sin(θ) et lim

n→+∞



 X

1≤j≤ⁿ₂

(−1)^j−1 θ^2j (2j)!



 = 1−cos(θ).

On a donc convergence de(S_n)_n .

Autre méthode.On peut aussi interpréter Sn comme somme partielle d’ordrende la série de terme général θ^k

k!A^k. En munissantM₃(R)d’une norme multiplicative (on sait qu’il en existe), on a

∀k≥1,

θ^k k!A^k

≤ (|θkAk)^k k!

qui est le terme général d’une série, exponentielle, convergente. Or M3(R) est de dimension finie, donc la convergence absolue de la série entraîne sa convergence. Ainsi(S_n)_n converge.

7. En outre, on a prouvé que

n→+∞lim Sn =I3+ sin(θ)A+ (1−cos(θ))A². 8. On a ainsi

M =







cos(θ) −sin(θ) 0 sin(θ) cos(θ) 0

0 0 1





, qui est la matrice de la rotation d’axe dirigé et orienté pare₃ et d’angleθ. 9. Par continuité deB 7→B²dansM3(R), il vient

n→+∞lim S_n² = M² =







cos(2θ) −sin(2θ) 0 sin(2θ) cos(2θ) 0

0 0 1





. Une rotation vectorielle n’est une symétrie vectorielle que dans deux cas :

• Quand son angle est nul : on a alors l’identité qui est la symétrie par rapport àR³ de direction{0}.

• Quand son angle est égal àπ: on a alors la symétrie orthogonale par rapport à l’axe).

La condition cherchée est donc2θ= 0[π]ou encore

θ = 0 [π/2].

Autre méthode.Rappelons queBest la matrice d’une symétrie vectorielle lorsqueB²=I3. Ici(M²)²=M⁴ est la rotation d’angle4θet d’axeVect (e3). AinsiM²est la matrice d’une symétrie si et seulement si4θ= 0[2π], ce qui redonne la même condition !

PROBLÈME CORSÉ — d’après Centrale 2015 PC maths 1

I Première partie

I.A –• Si une droiteF engendrée par un vecteuruest f-stable, alors f(u)∈Vect (u), donc il existeλ∈Ktel que f(u) =λu. Ainsiuest un vecteur propre def.

• Réciproquement, soituun vecteur propre def. Il existeλ∈Ktel quef(u) =λu. Soitx∈Vect (u): il s’écrit αu pour un certain scalaireα. Alorsf(x) =f(αu) =αf(u) = αλu∈Vect (u), donc la droite engendrée par u est stable parf.

Finalement Vect (u)est f-stable si et seulement si uest un vecteur propre def . I.B –

I.B.1) Les sous-espaces {0} etE sont évidemmentf-stables . Il sont au nombre de deux carE n’est pas réduit au vecteur nul, par hypothèse.

Par ailleurs la rotation d’angleπ/2 dans le plan euclidien canonique, de matrice

R = 0 −1 1 0

!

dans la base canonique, n’a pas de troisième sous-espace stable. En effet sinon, cela serait une droite, qui serait une droite propre d’après la question précédente. Or χf(X) = χA(X) = X²+ 1 n’a pas de racine réelle doncf n’a pas de valeur ni de vecteur propre.

I.B.2) On remarque de l’image et le noyau def sont toujoursf-stables .

• Si f est non nul et non injectif, alors son noyau (ou son image) n’est ni E ni {0}, ce qui donne un troisième sous-espace stable.

•Si ce noyau et cette image sont distincts, alors cela fait quatre sous-espaces stables. C’est nécessairement le cas sinest impair : dans ce cas, on ne peut pas avoir Imf = Kerf, sinon la formule du rang donnerait 2rg (f) =nimpair, ce qui est impossible. Il s’ensuit que

sidim(E)est impaire alorsf admet au moins4 sous-espaces vectoriels stables . Considérons l’endomorphismef de matrice

N = 0 1 0 0

!

dans la base canonique (e₁, e₂). Il possède, outre {0} et R², un troisième sous-espace stable : la droite Vect (e1), qui est à la fois son noyau et son image. Il n’en a pas d’autre : cela serait une droite propre, or zéro est la seule valeur propre de f comme le montre immédiatement la matriceN, donc la seule droite propre def est son noyauVect (e1). Par suite f admet exactement trois sous-espaces stables .

I.C –

I.C.1) SoitF un sous-espace engendré par une famille(x1, . . . , xp)de vecteurs propres def, associés aux valeurs propres respectivesλ1, . . . ,λp. Considéronsx∈F, il existe(α1, . . . , αp)∈K^ptel quex=

p

X

k=1

αkxk. Dans ce casf(x) =

p

X

k=1

αkλkxk∈F. Ainsi tout sous-espace engendré par des vecteurs propres def est f-stable . SoitF le sous-espace propre de f associé à la valeur propreλ, alorsf_|F =λIdF : en d’autres termes

la restriction de f au sous-espace propre associé par la valeur propreλest l’homothétie de rapportλ. I.C.2) SoitFun sous-espace propre def de dimension au moins égale à2. Il existe une infinité de droites contenues

dansF: prendre deux vecteurs non colinéairesx1etx2dansF, et considérer les droitesVect (x1+µx2)pour µ∈K, qui sont deux à deux distinctes. D’après la question I.C.1), ces droites sont stables car engendrées par des vecteurs propres.

I.C.3) On va démontrer que

sif est un endomorphisme deE tel que tous les SEV deE sont stables, alorsf est une homothétie . C’est un exercice classique de Sup !

D’après la première question, tous les vecteurs non nuls deE sont des vecteurs propres de f. Pour chaque x∈E, on noteλxl’unique scalaire tel quef(x) =λxx(l’unicité vient du fait quex6= 0). Soient alors deux vecteurs non nulsxet ydeE, et montrons que λ_x=λ_y en distinguant deux cas.

• Si xet y sont colinéaires, ce que l’on écrity=αxpour un certainα∈K, alors f(y) = λ_yy = f(αx) = αf(x) = αλ_xx = λ_xy.

Par conséquentλ_y=λ_xcary est non nul.

• Supposons(x, y)libre. Considérons le vecteurx+y et posonsµ=λx+y. Alors : f(x+y) = µ(x+y) = µx+µy = f(x) +f(y) = λ_xx+λ_yy.

On en déduit que λ_x=µ=λ_y, car la famille(x, y)est libre.

On note λla valeur commune de tous les scalaires λx pour x6= 0. On a ainsi : ∀x∈E\ {0}, f(x) =λx.

Cette égalité reste évidemment valable lorsquex= 0. Finalementf est bien une homothétie.

I.D – Supposons queE est de dimension finie.

I.D.1) Supposonsf diagonalisable. SoitF un sous-espace deE etB= (e1, . . . , en)une base de E propre pourf (elle existe par hypothèse de diagonalisablité def).

Si F ={0}, alors il admet un supplémentaire stable qui estE. Sinon, F possède une base F, qui est une famille libre de E. Le théorème de la base incomplète affirme qu’on peut trouver dansB des vecteurse_i1, . . . ,ei_p tels que F ∪ {ei₁, . . . , ei_p} soit une base deE. On pose alors

G = Vect (ei1, . . . , eip).

Par construction F etGsont supplémentaires , et G est stable d’après la question I.C.1) puisqu’il est engendré par une famille de vecteurs propres def.

I.D.2) On raisonne par récurrence sur la dimensionn≥1 deE.

• Supposonsn = 1, alors tous les endomorphismes de E sont des homothéties puisqueE est une droite, donc ils sont diagonalisables.

• Supposons la propriété établie pour tous les espaces de dimensionn−1, et considérons un espace vectoriel complexeEde dimensionn, ainsi qu’un endomorphismef deE tel que tout sous-espace deE stable par f admet un supplémentaire stable parf.

Le théorème de d’Alembert-Gauss affirme queχf(X)possède au moins une racine, donc quef possède au moins un vecteur propre, notéx. On poseD= Vect (x). AlorsDest stable parf, donc par hypothèse possède un supplémentaire stable parf, que l’on note H. Remarquons queH est un hyperplan deE.

Montrons que tout sous-espace vectoriel G de H stable par f_H possède un supplémentaire (dans H) stable parfH. En effet, un tel sous-espaceGesta fortioristable parf, donc possède un supplémentaire K(dansE) stable parf. On constate queK∩H est un supplémentaire deGdans l’hyperplanH, stable parl’endomorphisme induitfH. L’hypothèse de récurrence s’applique donc àfH, qui est diagonalisable.

Il suffit de concaténer(x)et une base propre defH pour obtenir une base deE qui soit propre pourf, ce qui montre quef est bel et bien diagonalisable.

Finalement f est bien diagonalisable .

Remarque. — Un endomorphisme tel que tout sous-espace stable possède un supplémentaire stable est dit semi-simple. On vient de démontrer que, siKest le corps des complexes, les endomorphismes semi-simples en dimension finie sont diagonalisables. Nous avions démontré la réciproque à la question précédente, sans restriction sur le corps de base.

Comme le prouve l’exemple, étudié à la question I.B.1), de la rotation de R² d’angle π 2 :

si le corps de base est Ralors il existe des endomorphismes semi-simples non diagonalisables par manque de valeurs propres.

II Deuxième partie Supposonsf diagonalisable avecpvaleurs propres distinctes.

II.A –

II.A.1) SoitF un sous-espace deE tel queF =

p

M

i=1

(F∩Ei). Prouvons queF estf-stable.

Soitx∈F. Pour touti∈[[1, p]], il existex_i∈F∩E_i tel quex=

p

X

i=1

x_i. Alorsf(x) =

p

X

i=1

λ_ix_i doncf(x) appartient à

p

M

i=1

(F∩E_i), c’est-à-dire àF. Par conséquent F est bienf-stable .

II.A.2) Une des caractérisations de la diagonalisabilité de f est queE soit égal à la somme (toujours directe) de ses sous-espaces propres.

SoitFun sous-espacef-stable deE. SoitxdansF. L’existence et l’unicité de(xi)1≤i≤p dansE1×· · ·×Ep

tel quex=

p

X

i=1

xirésulte de la diagonalisabilité de f.

II.A.3) Le vecteurxest non-nul doncHx est lui-même non-vide. La famille(x1, . . . , xr)est génératrice deVx par définition. Par ailleurs, c’est une famille de vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes, donc elle est libre (théorème du cours). Il s’ensuit que (x1, . . . , xr)est une base deVx.

II.A.4) Une récurrence immédiate sur j ∈ N^∗ montre que f^j−1(x) =

r

X

i=1

λ^j−1_i xi : il s’agit d’une combinaison linéaire de la famille(x₁, . . . , x_r), donc ce vecteur appartient àV_x. C’est en particulier vrai pourj∈[[1, r]]:

f^j−1(x)est bien dansVx .

Le calcul ci-dessus montre que la matrice de la famille (f^j−1(x))_1≤j≤r dans la base B_x est la matrice de Vandermonde d’ordrersuivante :

W = W(λ1, . . . , λr) =













1 λ1 · · · λ^r−1₁ 1 λ₂ · · · λ^r−1₂

... ... ... 1 λr · · · λ^r−1_r











 .

II.A.5) Comme lesλi sont deux à deux distincts, le déterminant (de Vandermonde !) deW est non nul (théorème du cours), donc la famille (f^j−1(x))_1≤j≤r est une base deV_x .

II.A.6) Commexiappartient àVx, et comme(f^j−1(x))1≤j≤rest une base deVx, le vecteurxiest une combinaison linéaire desf^j−1(x)pour1≤j≤r.

Or F est stable parf et x∈F, donc lesf^j−1(x)appartient àF, d’oùxi appartient àF. On conclut quex=

r

X

i=1

xi appartient à

r

M

i=1

(F∩Ei). Finalement, on a prouvé l’inclusion

F ⊂

r

M

i=1

(F∩Ei).

L’inclusion inverse étant évidente, on a prouvé l’égalité, ce qui fallait démontrer : F =

r

M

i=1

(F∩E_i).

II.B –

II.B.1) On a 1 ≤ dimEi pour i ∈ [[1, n]] et

n

X

i=1

dimEi = n, donc pour tout i Ei est de dimension 1. Ainsi chaque sous-espace propre est une droite .

II.B.2) Une droite stable est une droite propre (d’après I.1). Ainsi il y a exactementndroites deE f-stables . II.B.3) SoitF un sous-espace deE stable parf et de dimensionk. D’après la partie II.A, on aF =

n

M

i=1

(F∩Ei).

Or chaqueEi est une droite, donc son sous-espace F∩Ei est soit nul, soit égal àEi.

Enfin, commedimF =k, il y a exactementkindicesi∈[[1, n]]tels queF∩Ei =Ei; et les autres vérifient F∩E_i ={0}. Un telF est donc entièrement déterminé par le choix dekindicesiparmi n.

Finalement il existe ⁿ_k

sous-espaces deE de dimensionket f-stables . Ce résultat est cohérent avec celui de la question II.B.2).

II.B.4) Comptons les sous-espacef-stables selon leur dimensionk∈[[0, n]]grâce à la question précédente. Il y a :

n

X

k=0

n k

= 2ⁿ

sous-espaces deE stables parf, ce sont les sommes directes M

i∈K

E_i, oùK parcourt l’ensemble des 2ⁿ parties finies de[[1, n]].

III Troisième partie III.A –

III.A.1) La dérivation diminue le degré d’une unité pour les polynômes, donc Kn[X] est stable parD. On notera plutôtDn l’endomorphisme induit parD surKn[X]. La matrice deDn dans la base canonique est

A_n =





















0 1 0 · · · 0 ... . .. 2 . .. ... ... . .. . .. 0

... . .. n

0 · · · 0



















 .

III.A.2) a) On note N ≥1 la dimension finie non nulle deF. Alors F possède une base (P₁, . . . , P_N). On pose alors n= max

1≤i≤N(degPi). Les règles de calcul sur les degrés montrent que tout polynômeP ∈F, qui est une combinaison linéaire desPi, est de degré au plusn. Ainsi F ⊂Kn[X].

Par ailleurs il existei0∈[[1, N]]tel que deg(Pi₀) =n, donc R=Pi₀ convient.

b) La famille (Dⁱ(R))_0≤i≤n est formée de polynômes de degrés échelonnés, par conséquent la famille (Dⁱ(R))_0≤i≤n est libre .

c) La questionb)montre quedim(F)≥n+ 1. OrFest contenu dansKn[X]d’aprèsa), d’où F =Kn[X]. III.A.3) Les questions I.B.1 et III.A.2 montrent que

les sous-espaces deK[X]stables parD sont{0},K[X]et tous les sous-espacesKn[X]avecn∈N. III.B – Soitf tel que fⁿ= 0et fⁿ⁻¹6= 0.

III.B.1) Prouvons que l’ensemble des vecteursudeE tels que la familleBf,u= (fⁿ⁻ⁱ(u))_1≤i≤n soit une base deE est

E\Ker (fⁿ⁻¹) = {x∈E / fⁿ⁻¹(x)6= 0}.

• Supposons que B_f,u est une base. Ses vecteurs sont non nuls, en particulier fⁿ⁻¹(u) 6= 0, donc u ∈ E\Ker (fⁿ⁻¹).

• Supposons queu∈E\Ker (fⁿ⁻¹). Soitλ₁, . . . ,λ_n sont des scalaires tels que

n

X

i=1

λ_n−ifⁿ⁻ⁱ(u) = 0.

On applique fⁿ⁻¹ à cette égalité, et il ne reste queλnfⁿ⁻¹(u) = 0, doncλn = 0. On applique ensuite fⁿ⁻² à l’égalité, ce qui donne λ_n−1 = 0, etc. Par récurrence descendante finie, tous les λ_i sont nuls.

Finalement la familleBf,u est libre, et comme elle comporten= dim(E)vecteurs, c’est une base deE.

En conclusion : (fⁿ⁻ⁱ(u))_1≤i≤n est une base deE si et seulement sifⁿ⁻¹(u)6= 0. III.B.2) Dans le cas où B_f,u est une base deE, la matrice def dansB_f,u est





















0 1 0 · · · 0 ... . .. . .. . .. ... ... . .. . .. 0

... . .. 1

0 · · · 0



















 .

III.B.3) Toute famille C = (aifⁿ⁻ⁱ(u))_1≤i≤n, déduite de la base Bf,u en multipliant les vecteurs de cette dernière par des scalaires supposés non nuls a_i, est encore une base deE. La matrice de f dans C seraA_n−1 si et seulement si

∀i∈[[1, n]], f(a_ifⁿ⁻ⁱ(u)) = (i−1)a_i−1f^n−(i−1)(u), ou encore si et seulement si

∀i∈[[1, n]], ai = (i−1)a_i−1.

On choisit alorsa1= 1et cela entraîne que : ∀i∈[[1, n]], ai= (i−1)!. En conclusion, la matrice def sur la base suivante vautA_n−1:

C =

(i−1)!fⁿ⁻ⁱ(u)

1≤i≤n .

III.B.4) Puisque f admet la même matrice que D dans une base soigneusement choisie à la question III.B.3), on obtient grâce à la question III.A.3) que les sous-espaces deEstables parf sont{0}et tous ceux de la forme Vect ((i−1)!fⁿ⁻ⁱ(u))_1≤i≤r pour 1≤r≤n(le dernier d’entre eux valantE). Il y en a exactement n+ 1.

On remarque qu’ils peuvent se décrire plus simplement sous la forme suivante : {0} et Vect (fⁿ⁻ⁱ(u))_1≤i≤r

pour 1≤r≤n . Remarquons par ailleurs que

Vect (fⁿ⁻ⁱ(u))_1≤i≤r

= Ker (f^r),

ce qui s’obtient en élevant A_n−1 à la puissance r (la diagonale partielle de 1 se trouve alors à la r-ième surdiagonale) et le noyau deA^r apparaît de manière évidente.

IV Quatrième partie IV.A – Sans détour : la matrice def dansBn est M .

IV.B – Supposons quen est impair. Le polynôme caractéristiqueχ_f(X)est unitaire et de degré impair à coefficients réels. Sa fonction polynomiale associée (encore notéeχf) possède donc les limites−∞en−∞et +∞en+∞.

Le théorème de valeurs intermédiaires (χf est polynomiale donc continue) assure queχf s’annule au moins une fois surR. Par conséquent sinest impair alorsf admet au moins une valeur propre réelle .