CI-5 CoviDiap Intégrales triples
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Texte intégral
(2) Introduction. Sommaire. 1. Introduction Problématique Idée. 2. De l’arc de cercle à la boule. 3. Surface du triangle. 4. Surface du triangle. Sciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI). CoviDiap Intégrales triples. Année 2019 - 2020. 2 / 17.
(3) Introduction. Problématique. Problématique y. x. O BJECTIF : Déterminer l’aire en bleu, notée A. A=. H.L 2.
(4) Introduction. Problématique. Problématique y. H. L. (0, 0). Sciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI). CoviDiap Intégrales triples. x. Année 2019 - 2020. 3 / 17.
(5) Introduction. Problématique. Problématique y. H. L. (0, 0). x. O BJECTIF : Déterminer l’aire en bleu, notée A.. Sciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI). CoviDiap Intégrales triples. Année 2019 - 2020. 3 / 17.
(6) Introduction. Problématique. Problématique y. H. L. (0, 0). x. O BJECTIF : Déterminer l’aire en bleu, notée A. A=. Sciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI). H.L 2. CoviDiap Intégrales triples. Année 2019 - 2020. 3 / 17.
(7) Introduction. Idée. Idée :. Sciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI). CoviDiap Intégrales triples. Année 2019 - 2020. 4 / 17.
(8) Introduction. Idée. Idée : dA = dS = dx.dy. Sciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI). CoviDiap Intégrales triples. Année 2019 - 2020. 4 / 17.
(9) Introduction. Idée : dA = dS = dx.dy. Sciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI). Idée. " ⇒. A=. dx.dy. CoviDiap Intégrales triples. Année 2019 - 2020. 4 / 17.
(10) Introduction. Idée :. Idée. ". dA = dS = dx.dy. ⇒. A=. dx.dy. Q - 1 : Déterminer l’aire A à partir d’une intégration sur la surface bleu.. Sciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI). CoviDiap Intégrales triples. Année 2019 - 2020. 4 / 17.
(11) De l’arc de cercle à la boule. Sommaire. 1. Introduction. 2. De l’arc de cercle à la boule De l’arc vers le cercle Du cercle vers le disque De l’arc de cercle vers la sphère De la sphère à la boule. 3. Surface du triangle. 4. Surface du triangle. Sciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI). CoviDiap Intégrales triples. Année 2019 - 2020. 5 / 17.
(12) De l’arc de cercle à la boule. De l’arc vers le cercle. De l’arc vers le cercle. Au commencement était l’arc de cercle de longueur ` de rayon de courbure r et d’angle θ :. Sciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI). CoviDiap Intégrales triples. Année 2019 - 2020. 6 / 17.
(13) De l’arc de cercle à la boule. De l’arc vers le cercle. De l’arc vers le cercle. Au commencement était l’arc de cercle de longueur ` de rayon de courbure r et d’angle θ :. θ. `. r. Sciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI). CoviDiap Intégrales triples. Année 2019 - 2020. 6 / 17.
(14) De l’arc de cercle à la boule. De l’arc vers le cercle. De l’arc vers le cercle. Au commencement était l’arc de cercle de longueur ` de rayon de courbure r et d’angle θ :. θ r. Sciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI). `. π est apparu, tel que ` = r .θ. CoviDiap Intégrales triples. Année 2019 - 2020. 6 / 17.
(15) De l’arc de cercle à la boule. De l’arc vers le cercle. De l’arc vers le cercle. Au commencement était l’arc de cercle de longueur ` de rayon de courbure r et d’angle θ :. θ r. `. π est apparu, tel que ` = r .θ. Pour obtenir le périmètre P du cercle, il suffit de faire tout le tour :. Sciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI). CoviDiap Intégrales triples. Année 2019 - 2020. 6 / 17.
(16) De l’arc de cercle à la boule. De l’arc vers le cercle. De l’arc vers le cercle. Au commencement était l’arc de cercle de longueur ` de rayon de courbure r et d’angle θ :. θ r. `. π est apparu, tel que ` = r .θ. Pour obtenir le périmètre P du cercle, il suffit de faire tout le tour : Z P=. d.`. Sciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI). CoviDiap Intégrales triples. Année 2019 - 2020. 6 / 17.
(17) De l’arc de cercle à la boule. De l’arc vers le cercle. De l’arc vers le cercle. Au commencement était l’arc de cercle de longueur ` de rayon de courbure r et d’angle θ :. `. θ r. π est apparu, tel que ` = r .θ. Pour obtenir le périmètre P du cercle, il suffit de faire tout le tour : Z. Z P=. d.` =. 2.π. h i2.π r .dθ = r . θ = 2.π.r. 0. Sciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI). 0. CoviDiap Intégrales triples. Année 2019 - 2020. 6 / 17.
(18) De l’arc de cercle à la boule. Du cercle vers le disque. Du cercle vers le disque On peut voir le disque comme une grosse somme continue de cercles :.
(19) De l’arc de cercle à la boule. Du cercle vers le disque. Du cercle vers le disque On peut voir le disque comme une grosse somme continue de cercles :.
(20) De l’arc de cercle à la boule. Du cercle vers le disque. Du cercle vers le disque On peut voir le disque comme une grosse somme continue de cercles :.
(21) De l’arc de cercle à la boule. Du cercle vers le disque. Du cercle vers le disque On peut voir le disque comme une grosse somme continue de cercles :.
(22) De l’arc de cercle à la boule. Du cercle vers le disque. Du cercle vers le disque On peut voir le disque comme une grosse somme continue de cercles :.
(23) De l’arc de cercle à la boule. Du cercle vers le disque. Du cercle vers le disque On peut voir le disque comme une grosse somme continue de cercles :.
(24) De l’arc de cercle à la boule. Du cercle vers le disque. Du cercle vers le disque On peut voir le disque comme une grosse somme continue de cercles :.
(25) De l’arc de cercle à la boule. Du cercle vers le disque. Du cercle vers le disque On peut voir le disque comme une grosse somme continue de cercles :.
(26) De l’arc de cercle à la boule. Du cercle vers le disque. Du cercle vers le disque On peut voir le disque comme une grosse somme continue de cercles :.
(27) De l’arc de cercle à la boule. Du cercle vers le disque. Du cercle vers le disque On peut voir le disque comme une grosse somme continue de cercles :.
(28) De l’arc de cercle à la boule. Du cercle vers le disque. Du cercle vers le disque On peut voir le disque comme une grosse somme continue de cercles :.
(29) De l’arc de cercle à la boule. Du cercle vers le disque. Du cercle vers le disque On peut voir le disque comme une grosse somme continue de cercles :.
(30) De l’arc de cercle à la boule. Du cercle vers le disque. Du cercle vers le disque On peut voir le disque comme une grosse somme continue de cercles :.
(31) De l’arc de cercle à la boule. Du cercle vers le disque. Du cercle vers le disque On peut voir le disque comme une grosse somme continue de cercles :.
(32) De l’arc de cercle à la boule. Du cercle vers le disque. Du cercle vers le disque On peut voir le disque comme une grosse somme continue de cercles :.
(33) De l’arc de cercle à la boule. Du cercle vers le disque. Du cercle vers le disque On peut voir le disque comme une grosse somme continue de cercles :.
(34) De l’arc de cercle à la boule. Du cercle vers le disque. Du cercle vers le disque On peut voir le disque comme une grosse somme continue de cercles :.
(35) De l’arc de cercle à la boule. Du cercle vers le disque. Du cercle vers le disque On peut voir le disque comme une grosse somme continue de cercles :.
(36) De l’arc de cercle à la boule. Du cercle vers le disque. Du cercle vers le disque On peut voir le disque comme une grosse somme continue de cercles :.
(37) De l’arc de cercle à la boule. Du cercle vers le disque. Du cercle vers le disque On peut voir le disque comme une grosse somme continue de cercles :.
(38) De l’arc de cercle à la boule. Du cercle vers le disque. Du cercle vers le disque On peut voir le disque comme une grosse somme continue de cercles :.
(39) De l’arc de cercle à la boule. Du cercle vers le disque. Du cercle vers le disque On peut voir le disque comme une grosse somme continue de cercles :.
(40) De l’arc de cercle à la boule. Du cercle vers le disque. Du cercle vers le disque On peut voir le disque comme une grosse somme continue de cercles :.
(41) De l’arc de cercle à la boule. Du cercle vers le disque. Du cercle vers le disque On peut voir le disque comme une grosse somme continue de cercles :.
(42) De l’arc de cercle à la boule. Du cercle vers le disque. Du cercle vers le disque On peut voir le disque comme une grosse somme continue de cercles :.
(43) De l’arc de cercle à la boule. Du cercle vers le disque. Du cercle vers le disque On peut voir le disque comme une grosse somme continue de cercles :.
(44) De l’arc de cercle à la boule. Du cercle vers le disque. Du cercle vers le disque On peut voir le disque comme une grosse somme continue de cercles :.
(45) De l’arc de cercle à la boule. Du cercle vers le disque. Du cercle vers le disque On peut voir le disque comme une grosse somme continue de cercles :.
(46) De l’arc de cercle à la boule. Du cercle vers le disque. Du cercle vers le disque On peut voir le disque comme une grosse somme continue de cercles :.
(47) De l’arc de cercle à la boule. Du cercle vers le disque. Du cercle vers le disque On peut voir le disque comme une grosse somme continue de cercles :.
(48) De l’arc de cercle à la boule. Du cercle vers le disque. Du cercle vers le disque On peut voir le disque comme une grosse somme continue de cercles :.
(49) De l’arc de cercle à la boule. Du cercle vers le disque. Du cercle vers le disque On peut voir le disque comme une grosse somme continue de cercles :.
(50) De l’arc de cercle à la boule. Du cercle vers le disque. Du cercle vers le disque On peut voir le disque comme une grosse somme continue de cercles :.
(51) De l’arc de cercle à la boule. Du cercle vers le disque. Du cercle vers le disque On peut voir le disque comme une grosse somme continue de cercles :.
(52) De l’arc de cercle à la boule. Du cercle vers le disque. Du cercle vers le disque On peut voir le disque comme une grosse somme continue de cercles :. Sciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI). CoviDiap Intégrales triples. Année 2019 - 2020. 7 / 17.
(53) De l’arc de cercle à la boule. Du cercle vers le disque. Du cercle vers le disque On peut voir le disque comme une grosse somme continue de cercles :. Ainsi l’aire A du disque devient :. Sciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI). CoviDiap Intégrales triples. Année 2019 - 2020. 7 / 17.
(54) De l’arc de cercle à la boule. Du cercle vers le disque. Du cercle vers le disque On peut voir le disque comme une grosse somme continue de cercles :. Ainsi l’aire A du disque devient : R. Z A. =. " 2.π.r .dr =. 0. 2.π.r 2 2. #R = π.R 2 0. =. Sciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI). CoviDiap Intégrales triples. Année 2019 - 2020. 7 / 17.
(55) De l’arc de cercle à la boule. Du cercle vers le disque. Du cercle vers le disque On peut voir le disque comme une grosse somme continue de cercles :. Ainsi l’aire A du disque devient : R. Z A. =. " 2.π.r .dr =. 0 R. Z = 0. Z . 2.π 0. 2.π.r 2 2. #R = π.R 2 0. r .dθ .dr. Sciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI). CoviDiap Intégrales triples. Année 2019 - 2020. 7 / 17.
(56) De l’arc de cercle à la boule. Du cercle vers le disque. Du cercle vers le disque On peut voir le disque comme une grosse somme continue de cercles :. Ainsi l’aire A du disque devient : R. Z A. =. " 2.π.r .dr =. 0 R. Z = 0. Z . 2.π 0. 2.π.r 2 2. #R = π.R 2 0. Z r .dθ .dr =. Sciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI). R 0. Z . 2.π 0. dθ .r .dr. CoviDiap Intégrales triples. Année 2019 - 2020. 7 / 17.
(57) De l’arc de cercle à la boule. De l’arc de cercle vers la sphère. De l’arc de cercle vers la sphère ?. Prenons les coordonnées sphériques..
(58) De l’arc de cercle à la boule. De l’arc de cercle vers la sphère. De l’arc de cercle vers la sphère ?. R.dϕ. Prenons les coordonnées sphériques..
(59) De l’arc de cercle à la boule. De l’arc de cercle vers la sphère. De l’arc de cercle vers la sphère ?. R.dϕ. ?. Sciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI). CoviDiap Intégrales triples. Année 2019 - 2020. 8 / 17.
(60) De l’arc de cercle à la boule. De l’arc de cercle vers la sphère. De l’arc de cercle vers la sphère ?. R.dϕ. ?. Prenons les coordonnées sphériques.. Sciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI). CoviDiap Intégrales triples. Année 2019 - 2020. 8 / 17.
(61) De l’arc de cercle à la boule. De l’arc de cercle vers la sphère. Coordonnées sphériques #» z θ. #» er P. r O #» x. Sciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI). ϕ. #» eϕ. • #» eθ. r . sin θ. CoviDiap Intégrales triples. #» y. Année 2019 - 2020. 9 / 17.
(62) De l’arc de cercle à la boule. De l’arc de cercle vers la sphère. # » OM = r . #» er. Sciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI). CoviDiap Intégrales triples. Année 2019 - 2020. 10 / 17.
(63) De l’arc de cercle à la boule. De l’arc de cercle vers la sphère. # » x + y . #» y + z. #» z OM = r . #» e r = x. #». Sciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI). CoviDiap Intégrales triples. Année 2019 - 2020. 10 / 17.
(64) De l’arc de cercle à la boule. # » x + y . #» y + z. #» z OM = r . #» e r = x. #». Sciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI). ⇒. x y z. De l’arc de cercle vers la sphère. = = =. r . sin(θ). cos(ϕ) r . sin(θ). sin(ϕ) r . cos(θ). CoviDiap Intégrales triples. Année 2019 - 2020. 10 / 17.
(65) De l’arc de cercle à la boule. # » x + y . #» y + z. #» z OM = r . #» e r = x. #». dx. =. dy. =. dz. =. ⇒. ∂x ∂x ∂x .dr + .dθ + .dϕ ∂r ∂θ ∂ϕ ∂y ∂y ∂y .dr + .dθ + .dϕ ∂r ∂θ ∂ϕ ∂z ∂z ∂z .dr + .dθ + .dϕ ∂r ∂θ ∂ϕ. Sciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI). x y z. ⇒. De l’arc de cercle vers la sphère. = = =. r . sin(θ). cos(ϕ) r . sin(θ). sin(ϕ) r . cos(θ). ∂x dx ∂r ∂y dy = ∂r ∂z dz ∂r. CoviDiap Intégrales triples. ∂x ∂θ ∂y ∂θ ∂z ∂θ. ∂x ∂ϕ ∂y ∂ϕ ∂z ∂ϕ. . dr dθ dϕ . Année 2019 - 2020. 10 / 17.
(66) De l’arc de cercle à la boule. # » x + y . #» y + z. #» z OM = r . #» e r = x. #». dx. =. dy. =. dz. =. ⇒. ⇒. ∂x ∂x ∂x .dr + .dθ + .dϕ ∂r ∂θ ∂ϕ ∂y ∂y ∂y .dr + .dθ + .dϕ ∂r ∂θ ∂ϕ ∂z ∂z ∂z .dr + .dθ + .dϕ ∂r ∂θ ∂ϕ. dx.dy .dz =. Sciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI). ∂x ∂r ∂y ∂r ∂z ∂r. ∂x ∂θ ∂y ∂θ ∂z ∂θ. ∂x ∂ϕ ∂y ∂ϕ ∂z ∂ϕ. x y z. ⇒. De l’arc de cercle vers la sphère. = = =. r . sin(θ). cos(ϕ) r . sin(θ). sin(ϕ) r . cos(θ). ∂x dx ∂r ∂y dy = ∂r ∂z dz ∂r. ∂x ∂θ ∂y ∂θ ∂z ∂θ. ∂x ∂ϕ ∂y ∂ϕ ∂z ∂ϕ. . dr dθ dϕ . .dr .dθ.dϕ. CoviDiap Intégrales triples. Année 2019 - 2020. 10 / 17.
(67) De l’arc de cercle à la boule. x y z. ⇒. = = =. . De l’arc de cercle vers la sphère. r . sin(θ). cos(ϕ) r . sin(θ). sin(ϕ) r . cos(θ). ∂x ∂r ∂y ∂r ∂z ∂r. ∂x ∂θ ∂y ∂θ ∂z ∂θ. Sciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI). ∂x ∂ϕ ∂y ∂ϕ ∂z ∂ϕ. sin(θ). cos(ϕ) = sin(θ). sin(ϕ) cos(θ). r . cos(θ). cos(ϕ) r . cos(θ). sin(ϕ). CoviDiap Intégrales triples. −r . sin(θ). −r . sin(θ). sin(ϕ) r . sin(θ). cos(ϕ) 0. Année 2019 - 2020. 11 / 17.
(68) De l’arc de cercle à la boule. x y z. ⇒. = = =. . De l’arc de cercle vers la sphère. r . sin(θ). cos(ϕ) r . sin(θ). sin(ϕ) r . cos(θ). ∂x ∂r ∂y ∂r ∂z ∂r. ∂x ∂θ ∂y ∂θ ∂z ∂θ. ∂x ∂ϕ ∂y ∂ϕ ∂z ∂ϕ. sin(θ). cos(ϕ) = sin(θ). sin(ϕ) cos(θ). r . cos(θ). cos(ϕ) r . cos(θ). sin(ϕ) −r . sin(θ). −r . sin(θ). sin(ϕ) r . sin(θ). cos(ϕ) 0. J = cos(θ). r 2 . cos(θ). sin(θ) + r . sin(θ). r . sin(θ)2 = r 2 . sin(θ). Sciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI). CoviDiap Intégrales triples. Année 2019 - 2020. 11 / 17.
(69) De l’arc de cercle à la boule. x y z. ⇒. = = =. . De l’arc de cercle vers la sphère. r . sin(θ). cos(ϕ) r . sin(θ). sin(ϕ) r . cos(θ). ∂x ∂r ∂y ∂r ∂z ∂r. ∂x ∂θ ∂y ∂θ ∂z ∂θ. ∂x ∂ϕ ∂y ∂ϕ ∂z ∂ϕ. sin(θ). cos(ϕ) = sin(θ). sin(ϕ) cos(θ). r . cos(θ). cos(ϕ) r . cos(θ). sin(ϕ) −r . sin(θ). −r . sin(θ). sin(ϕ) r . sin(θ). cos(ϕ) 0. J = cos(θ). r 2 . cos(θ). sin(θ) + r . sin(θ). r . sin(θ)2 = r 2 . sin(θ). ⇒. dx.dy .dz = J.dr .dθ.dϕ = r 2 . sin(θ).dr .dθ.dϕ. Sciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI). CoviDiap Intégrales triples. Année 2019 - 2020. 11 / 17.
(70) De l’arc de cercle à la boule. De la sphère à la boule. Surface de la sphère et volume de la boule " A(r ). =. Z dA(r ) =. Sciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI). π θ=0. Z. 2.π ϕ=0. r 2 . sin(θ).dθ.dϕ. CoviDiap Intégrales triples. Année 2019 - 2020. 12 / 17.
(71) De l’arc de cercle à la boule. De la sphère à la boule. Surface de la sphère et volume de la boule " A(r ). =. Z dA(r ) =. Sciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI). π θ=0. Z. 2.π ϕ=0. r 2 . sin(θ).dθ.dϕ = r 2 .. CoviDiap Intégrales triples. Z. π θ=0. ! Z sin(θ).dθ . . 2.π. ϕ=0. dϕ. Année 2019 - 2020. 12 / 17.
(72) De l’arc de cercle à la boule. De la sphère à la boule. Surface de la sphère et volume de la boule " A(r ). = =. Z dA(r ) =. π θ=0. Z. 2.π ϕ=0. r 2 . sin(θ).dθ.dϕ = r 2 .. Z. π θ=0. ! Z sin(θ).dθ . . 2.π. ϕ=0. dϕ. r 2 . [− cos(θ)]π0 .2.π = 4.π.r 2. Sciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI). CoviDiap Intégrales triples. Année 2019 - 2020. 12 / 17.
(73) De l’arc de cercle à la boule. De la sphère à la boule. Surface de la sphère et volume de la boule " A(r ). = =. Z dA(r ) =. π θ=0. Z. 2.π ϕ=0. r 2 . sin(θ).dθ.dϕ = r 2 .. Z. π θ=0. ! Z sin(θ).dθ . . 2.π. ϕ=0. dϕ. r 2 . [− cos(θ)]π0 .2.π = 4.π.r 2. Une boule étant une somme continue de sphères :. Sciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI). CoviDiap Intégrales triples. Année 2019 - 2020. 12 / 17.
(74) De l’arc de cercle à la boule. De la sphère à la boule. Surface de la sphère et volume de la boule " A(r ). Z dA(r ) =. =. π θ=0. Z. 2.π ϕ=0. r 2 . sin(θ).dθ.dϕ = r 2 .. Z. π θ=0. ! Z sin(θ).dθ . . 2.π. ϕ=0. dϕ. r 2 . [− cos(θ)]π0 .2.π = 4.π.r 2. =. Une boule étant une somme continue de sphères : Z V. =. 3 R r 4 4.π.r 2 .dr = 4.π. = .π.R 3 3 0 3 r =0 R. Sciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI). CoviDiap Intégrales triples. Année 2019 - 2020. 12 / 17.
(75) De l’arc de cercle à la boule. De la sphère à la boule. Surface de la sphère et volume de la boule " A(r ). Z dA(r ) =. =. π θ=0. Z. 2.π ϕ=0. r 2 . sin(θ).dθ.dϕ = r 2 .. Z. π θ=0. ! Z sin(θ).dθ . . 2.π. ϕ=0. dϕ. r 2 . [− cos(θ)]π0 .2.π = 4.π.r 2. =. Une boule étant une somme continue de sphères : 3 R r 4 4.π.r 2 .dr = 4.π. = .π.R 3 3 0 3 r =0 Z R Z π ! Z 2.π Z R Z π Z 2.π dϕ r 2 . sin(θ).dθ.dϕ.dr = r 2 .dr . sin(θ).dθ . ϕ=0 r =0 θ=0 ϕ=0 r =0 θ=0 {z } | {z } | {z } | 3 2 2.π R 3 Z V. = =. R. Sciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI). CoviDiap Intégrales triples. Année 2019 - 2020. 12 / 17.
(76) Surface du triangle. Sommaire. 1. Introduction. 2. De l’arc de cercle à la boule. 3. Surface du triangle Y a-t-il un problème ?. 4. Surface du triangle. Sciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI). CoviDiap Intégrales triples. Année 2019 - 2020. 13 / 17.
(77) Surface du triangle. Y a-t-il un problème ?. Y a-t-il un problème ? Où est le problème avec la figure suivante ?. Sciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI). CoviDiap Intégrales triples. Année 2019 - 2020. 14 / 17.
(78) Surface du triangle. Y a-t-il un problème ?. Y a-t-il un problème ? Où est le problème avec la figure suivante ? y. x.
(79) Surface du triangle. Y a-t-il un problème ?. Y a-t-il un problème ? Où est le problème avec la figure suivante ? y. H. L. (0, 0). Sciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI). CoviDiap Intégrales triples. x. Année 2019 - 2020. 14 / 17.
(80) Surface du triangle. Sommaire. 1. Introduction. 2. De l’arc de cercle à la boule. 3. Surface du triangle. 4. Surface du triangle. Sciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI). CoviDiap Intégrales triples. Année 2019 - 2020. 15 / 17.
(81) Surface du triangle. Comment bien intégrer ? y. x.
(82) Surface du triangle. Comment bien intégrer ? y. H. (0, 0). L. x.
(83) Surface du triangle. Comment bien intégrer ? y. H. (0, 0). L. x.
(84) Surface du triangle. Comment bien intégrer ? y. H. (0, 0). L. x.
(85) Surface du triangle. Comment bien intégrer ? y. H. (0, 0). L. x.
(86) Surface du triangle. Comment bien intégrer ? y. H. (0, 0). L. x.
(87) Surface du triangle. Comment bien intégrer ? y. H. (0, 0). L. x.
(88) Surface du triangle. Comment bien intégrer ? y. H. (0, 0). L. x.
(89) Surface du triangle. Comment bien intégrer ? y. H. (0, 0). L. x.
(90) Surface du triangle. Comment bien intégrer ? y. H. (0, 0). L. x.
(91) Surface du triangle. Comment bien intégrer ? y. H. (0, 0). L. x.
(92) Surface du triangle. Comment bien intégrer ? y. H. (0, 0). L. x.
(93) Surface du triangle. Comment bien intégrer ? y. H. (0, 0). L. x.
(94) Surface du triangle. Comment bien intégrer ? y. H. (0, 0). L. x.
(95) Surface du triangle. Comment bien intégrer ? y. H. (0, 0). L. x.
(96) Surface du triangle. Comment bien intégrer ? y. H. (0, 0). L. x.
(97) Surface du triangle. Comment bien intégrer ? y. H. (0, 0). L. x.
(98) Surface du triangle. Comment bien intégrer ? y. H. (0, 0). L. x.
(99) Surface du triangle. Comment bien intégrer ? y. H. (0, 0). L. x.
(100) Surface du triangle. Comment bien intégrer ? y. H. (0, 0). L. x.
(101) Surface du triangle. Comment bien intégrer ? y. H. (0, 0). L. x.
(102) Surface du triangle. Comment bien intégrer ? y. H. (0, 0). L. x.
(103) Surface du triangle. Comment bien intégrer ? y. H. (0, 0). L. x.
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(162) Surface du triangle. Comment bien intégrer ? y. H. L. (0, 0). Sciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI). CoviDiap Intégrales triples. x. Année 2019 - 2020. 16 / 17.
(163) Surface du triangle. Comment bien intégrer ? y. H. L. (0, 0). H. Z A. x. L(y ).dy. = 0. Sciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI). CoviDiap Intégrales triples. Année 2019 - 2020. 16 / 17.
(164) Surface du triangle. Comment bien intégrer ? y. H. L. (0, 0). H. Z A. H. Z L(y ).dy =. = 0. Sciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI). 0. x. Z L.1− y H .dx .dy 0. CoviDiap Intégrales triples. Année 2019 - 2020. 16 / 17.
(165) Surface du triangle. Comment bien intégrer ? y. H. L. (0, 0). H. Z A. H. Z L(y ).dy =. = 0. Sciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI). 0. x. Z H L.1− y Z L.1− y H H .dx .dy = [x] .dy 0 0 0 . CoviDiap Intégrales triples. Année 2019 - 2020. 16 / 17.
(166) Surface du triangle. Comment bien intégrer ? y. H. L. (0, 0). H. Z A. H. Z L(y ).dy =. = 0. Sciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI). 0. x. Z H L.1− y Z H Z L.1− y y H H .dx .dy = [x] .dy = L. 1 − .dy 0 H 0 0 0. CoviDiap Intégrales triples. Année 2019 - 2020. 16 / 17.
(167) Surface du triangle. Comment bien intégrer ? y. H. L. (0, 0). H. Z A. L(y ).dy =. = 0. =. H. Z 0. x. Z H L.1− y Z H Z L.1− y y H H .dx .dy = [x] .dy = L. 1 − .dy 0 H 0 0 0. " #H y2 L.H L. y − = 2.H 0 2. Sciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI). CoviDiap Intégrales triples. Année 2019 - 2020. 16 / 17.
(168) Surface du triangle. Comment bien intégrer ? y. H. L. (0, 0). H. Z A. L(y ).dy =. = 0. =. H. Z 0. Z H L.1− y Z H Z L.1− y y H H .dx .dy = [x] .dy = L. 1 − .dy 0 H 0 0 0. " #H y2 L.H L. y − = 2.H 0 2. Sciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI). x. ⇒. W.D.I. CoviDiap Intégrales triples. Année 2019 - 2020. 16 / 17.
(169) Surface du triangle. et dans l’autre sens ? y. x.
(170) Surface du triangle. et dans l’autre sens ? y. H. (0, 0). L. x.
(171) Surface du triangle. et dans l’autre sens ? y. H. (0, 0). L. x.
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