CI-6 : Modéliser, prévoir et vériﬁer les performances des systèmes combinatoires et séquentiels.

(1)

CI-6 :

Modéliser, prévoir et vérifier les performances des systèmes combinatoires et séquentiels.

CI-6-1 Coder l’information

Représenter, simplifier, valider des expressions logiques

LYCÉECARNOT(DIJON), 2020 - 2021

Germain Gondor

(2)

Sommaire

1 DARwIn-OP

2 Système de numération Changement de bases Codage de l’information 3 Systèmes logiques combinatoires

4 Complément sur les opérateurs exclusifs

Sciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6-1 Coder l’information Année 2020 - 2021 2 / 113

(3)

DARwIn-OP

Sommaire

1 DARwIn-OP

2 Système de numération

3 Systèmes logiques combinatoires

(4)

DARwIn-OP

(5)

DARwIn-OP

Le robot humanoïde DARwIn-OP (Dynamic Anthropomorphic Robot with Intelligence - Open Platform) est le dernier né des robots huma- noïdes. Il est capable de marcher, se relever après une chute en avant ou en arrière, suivre une balle et jouer au football, parler et reconnaître des documents..

Il est un exemple type de système complexe actuel à composants mécatroniques intégré.

Avec son apparence futuriste, il intègre toutes les dernières technolo- gies et des fonctionnalités très avancées :

(6)

DARwIn-OP

Bdd

(7)

DARwIn-OP

Communication avec les servomoteurs et entre microcontroleurs

Le servomoteur MX28 Dynamixel est un actionneur à haute perfor- mance incluant toutes les fonctionnalités dont un roboticien pourrait avoir besoin pour contrôler des articulations.

Il comporte un microcontrôleur intégré (CORTEX-M3 de 32 bits), un moto-réducteur à courant continu, un codeur de position à effet Hall sur 12 bits ainsi qu’un correcteur PID.

Le protocole de communication entre les éléments est un protocole

"propriétaire" dans lequel la transmission s’effectue par paquets de données (avec relation maître/esclave). La vitesse de communication varie de 8000 bps à 3 Mbps.

(8)

DARwIn-OP

Communication avec les servomoteurs et entre microcontroleurs

La communication s’effectue physiquement par un bus TTL, suivant une transmission asynchrone série (8 bits de données, 1 bit de stop, pas de parité).

Un bus USB réalise la liaison série haut débit permettant les échanges de données entre le contrôleur principal et secondaire, et bien sûr le flux vidéo de la caméra USB de DARwIn- OP.

(9)

Système de numération

Sommaire

1 DARwIn-OP

2 Système de numération Base de la numération

3 Systèmes logiques combinatoires

(10)

Système de numération Base de la numération

Base de la numération

Définition

Une baseB_N ={C_i}^i=N_i=1 est un système libre de N éléments (chiffres ou caractères) tel que:

∀a∈N,∃m∈N/a= Xm

j=0

C_j.N^j avecC_j ∈ {C_i}^N_i=1

∀a∈R⁺,∃{C_j}^∞_j=−∞/a=

+∞

X

j=−∞

C_j.N^j avecC_j ∈ {C_i}^N_i=1

(11)

Les 3 bases les plus utilisées dans les systèmes industriels sont :

1 Base décimale :

B₁₀=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

2 Base binaire : B₂=0,1

Les chiffres sont alors appelés bit pourbinary digit

3 Base hexadécimale :

B₁₆ = 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F

(12)

1 Base décimale :

B₁₀=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

B₁₆ = 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F

(13)

1 Base décimale :

B₁₀=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

B₁₆ = 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F

(14)

1 Base décimale :

B₁₀=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

B₁₆ = 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F

(15)

Base décimale B₁₀ Base binaire B₂ Base hexadécimale B₁₆

0 0 0

1 1 1

2 10 2

3 11 3

4 100 4

5 101 5

6 110 6

7 111 7

8 1000 8

9 1001 9

10 1010 A

11 1011 B

12 1100 C

13 1101 D

14 1110 E

15 1111 F

16 10000 10

(16)

0 0 0

1 1 1

2 10 2

3 11 3

4 100 4

5 101 5

6 110 6

7 111 7

8 1000 8

9 1001 9

10 1010 A

11 1011 B

12 1100 C

13 1101 D

14 1110 E

15 1111 F

16 10000 10

(17)

0 0 0

1 1 1

2 10 2

3 11 3

4 100 4

5 101 5

6 110 6

7 111 7

8 1000 8

9 1001 9

10 1010 A

11 1011 B

12 1100 C

13 1101 D

14 1110 E

15 1111 F

16 10000 10

(18)

0 0 0

1 1 1

2 10 2

3 11 3

4 100 4

5 101 5

6 110 6

7 111 7

8 1000 8

9 1001 9

10 1010 A

11 1011 B

12 1100 C

13 1101 D

14 1110 E

15 1111 F

16 10000 10

(19)

0 0 0

1 1 1

2 10 2

3 11 3

4 100 4

5 101 5

6 110 6

7 111 7

8 1000 8

9 1001 9

10 1010 A

11 1011 B

12 1100 C

13 1101 D

14 1110 E

15 1111 F

16 10000 10

(20)

0 0 0

1 1 1

2 10 2

3 11 3

4 100 4

5 101 5

6 110 6

7 111 7

8 1000 8

9 1001 9

10 1010 A

11 1011 B

12 1100 C

13 1101 D

14 1110 E

15 1111 F

16 10000 10

(21)

0 0 0

1 1 1

2 10 2

3 11 3

4 100 4

5 101 5

6 110 6

7 111 7

8 1000 8

9 1001 9

10 1010 A

11 1011 B

12 1100 C

13 1101 D

14 1110 E

15 1111 F

16 10000 10

(22)

0 0 0

1 1 1

2 10 2

3 11 3

4 100 4

5 101 5

6 110 6

7 111 7

8 1000 8

9 1001 9

10 1010 A

11 1011 B

12 1100 C

13 1101 D

14 1110 E

15 1111 F

16 10000 10

(23)

0 0 0

1 1 1

2 10 2

3 11 3

4 100 4

5 101 5

6 110 6

7 111 7

8 1000 8

9 1001 9

10 1010 A

11 1011 B

12 1100 C

13 1101 D

14 1110 E

15 1111 F

16 10000 10

(24)

0 0 0

1 1 1

2 10 2

3 11 3

4 100 4

5 101 5

6 110 6

7 111 7

8 1000 8

9 1001 9

10 1010 A

11 1011 B

12 1100 C

13 1101 D

14 1110 E

15 1111 F

16 10000 10

(25)

0 0 0

1 1 1

2 10 2

3 11 3

4 100 4

5 101 5

6 110 6

7 111 7

8 1000 8

9 1001 9

10 1010 A

11 1011 B

12 1100 C

13 1101 D

14 1110 E

15 1111 F

16 10000 10

(26)

0 0 0

1 1 1

2 10 2

3 11 3

4 100 4

5 101 5

6 110 6

7 111 7

8 1000 8

9 1001 9

10 1010 A

11 1011 B

12 1100 C

13 1101 D

14 1110 E

15 1111 F

16 10000 10

(27)

0 0 0

1 1 1

2 10 2

3 11 3

4 100 4

5 101 5

6 110 6

7 111 7

8 1000 8

9 1001 9

10 1010 A

11 1011 B

12 1100 C

13 1101 D

14 1110 E

15 1111 F

16 10000 10

(28)

0 0 0

1 1 1

2 10 2

3 11 3

4 100 4

5 101 5

6 110 6

7 111 7

8 1000 8

9 1001 9

10 1010 A

11 1011 B

12 1100 C

13 1101 D

14 1110 E

15 1111 F

16 10000 10

(29)

0 0 0

1 1 1

2 10 2

3 11 3

4 100 4

5 101 5

6 110 6

7 111 7

8 1000 8

9 1001 9

10 1010 A

11 1011 B

12 1100 C

13 1101 D

14 1110 E

15 1111 F

16 10000 10

(30)

0 0 0

1 1 1

2 10 2

3 11 3

4 100 4

5 101 5

6 110 6

7 111 7

8 1000 8

9 1001 9

10 1010 A

11 1011 B

12 1100 C

13 1101 D

14 1110 E

15 1111 F

16 10000 10

(31)

0 0 0

1 1 1

2 10 2

3 11 3

4 100 4

5 101 5

6 110 6

7 111 7

8 1000 8

9 1001 9

10 1010 A

11 1011 B

12 1100 C

13 1101 D

14 1110 E

15 1111 F

(32)

Exemples

Base 10 (2018)₁₀ 2.10³+0.10²+1.10¹+8.10⁰ Base 2 (11111100010)2

1.2¹⁰+1.2⁹+1.2⁸+1.2⁷+1.2⁶+1.2⁵ +0.2⁴+0.2³+0.2²+1.2¹+0.2⁰ Base Hex (7E2)16 7.16²+14.16¹+2.16⁰

REMARQUE: Pour différencier les bases, on reporte le numéro de la base en indice : (2018)₁₀

(33)

Exemples de base 4

Cytosine Thymine Adénine Guanine

(34)

Exemples de base 4

Cytosine

Thymine Adénine Guanine

(35)

Exemples de base 4

Cytosine Thymine

Adénine Guanine

(36)

Exemples de base 4

Cytosine Thymine Adénine

Guanine

(37)

Exemples de base 4

Cytosine Thymine Adénine Guanine

(38)

Exemples de base 4

(39)

Passage d’une base B

_N

à la base décimale B

₁₀

En baseB_N, chaque chiffre est affecté d’un poids (Nⁿ) avecnle nombre de chiffres à sa droite. Pour obtenir le nombre en base 10, il suffit de faire la somme des chiffres du nombre en base N multipliés par leur poids.

0

0×2⁷ 1

1×2⁶ 1

1×2⁵ 0

0×2⁴ 1

1×2³ 0

0×2² 0

0×2¹ 1

1×2⁰

Poids respectifs

Bit de poids fort (MSB) Bit de poids faible (LSB)

+ + + + + +

+ = 105

(40)

Passage d’une base B

_N

à la base décimale B

₁₀

0

0×2⁷ 1

1×2⁶ 1

1×2⁵ 0

0×2⁴ 1

1×2³ 0

0×2² 0

0×2¹ 1

1×2⁰ Poids respectifs

+ + + + + +

+ = 105

(41)

Passage d’une base B

_N

à la base décimale B

₁₀

0

0×2⁷ 1

1×2⁶ 1

1×2⁵ 0

0×2⁴ 1

1×2³ 0

0×2² 0

0×2¹ 1

Bit de poids fort (MSB)

Bit de poids faible (LSB)

+ + + + + +

+ = 105

(42)

Passage d’une base B

_N

à la base décimale B

₁₀

0

0×2⁷ 1

1×2⁶ 1

1×2⁵ 0

0×2⁴ 1

1×2³ 0

0×2² 0

0×2¹ 1

+ + + + + +

+ = 105

(43)

Passage d’une base B

_N

à la base décimale B

₁₀

0

0×2⁷ 1

1×2⁶ 1

1×2⁵ 0

0×2⁴ 1

1×2³ 0

0×2² 0

0×2¹ 1

+ + + + + + +

= 105

(44)

Passage d’une base B

_N

à la base décimale B

₁₀

0

0×2⁷ 1

1×2⁶ 1

1×2⁵ 0

0×2⁴ 1

1×2³ 0

0×2² 0

0×2¹ 1

+ + + + + +

+ = 105

(45)

Passage de la base décimale B

₁₀

à une base B

_N

La passage de la base décimale B₁₀ à une baseB_N se fait en recher- chant la puissance deN immédiatement inférieure au nombre décimal à convertir, puis la puissance deN immédiatement inférieure au reste, et ainsi de suite jusqu’à un reste nul.

a=

m

X

j=0

a_j.N^j

En factorisant parN, on obtient : a=N.







m−1

X

j=0

a_j+1.N^j





 +a₀

(46)

Le reste de la division de aparN est égale au coefficient a₀. Par division successive par N, on obtient les autres cœfficients associés aux puissances deB_N:

a=N.





 N.







m−2

X

j=0

a_j+2.N^j





 +a₁





 +a₀

(47)

EXEMPLE :(105)₁₀ ⇔( ?)₂

105 = 52×2+1

52 = 26×2+0 26 = 13×2+0 13 = 6×2+1

6 = 3×2+0 3 = 1×2+1 1 = 0×2+1

105 2 1 52

2 0 26 2

0 13 2 1 6 2

0 3 2 1 1 2

1 0 Ainsi 105 en base 10 s’écrit 1101001 en base 2.

(48)

EXEMPLE :(105)₁₀ ⇔( ?)₂

105 = 52×2+1 52 = 26×2+0

26 = 13×2+0 13 = 6×2+1

6 = 3×2+0 3 = 1×2+1 1 = 0×2+1

105 2 1 52 2

0 26

2 0 13 2

1 6 2 0 3 2

1 1 2 1 0 Ainsi 105 en base 10 s’écrit 1101001 en base 2.

(49)

EXEMPLE :(105)₁₀ ⇔( ?)₂

105 = 52×2+1 52 = 26×2+0 26 = 13×2+0

13 = 6×2+1 6 = 3×2+0 3 = 1×2+1 1 = 0×2+1

105 2 1 52 2

0 26 2 0 13

2 1 6 2

0 3 2 1 1 2

(50)

EXEMPLE :(105)₁₀ ⇔( ?)₂

105 = 52×2+1 52 = 26×2+0 26 = 13×2+0 13 = 6×2+1

6 = 3×2+0 3 = 1×2+1 1 = 0×2+1

105 2 1 52 2

0 26 2 0 13 2

1 6

2 0 3 2

(51)

EXEMPLE :(105)₁₀ ⇔( ?)₂

105 = 52×2+1 52 = 26×2+0 26 = 13×2+0 13 = 6×2+1

6 = 3×2+0

3 = 1×2+1 1 = 0×2+1

105 2 1 52 2

0 26 2 0 13 2

1 6 2 0 3

2 1 1 2

(52)

EXEMPLE :(105)₁₀ ⇔( ?)₂

105 = 52×2+1 52 = 26×2+0 26 = 13×2+0 13 = 6×2+1

6 = 3×2+0 3 = 1×2+1

1 = 0×2+1

105 2 1 52 2

0 26 2 0 13 2

1 6 2 0 3 2

1 1

2 1 0 Ainsi 105 en base 10 s’écrit 1101001 en base 2.

(53)

EXEMPLE :(105)₁₀ ⇔( ?)₂

105 = 52×2+1 52 = 26×2+0 26 = 13×2+0 13 = 6×2+1

6 = 3×2+0 3 = 1×2+1 1 = 0×2+1

105 2 1 52 2

0 26 2 0 13 2

1 6 2 0 3 2

1 1 2 1 0

Ainsi 105 en base 10 s’écrit 1101001 en base 2.

(54)

EXEMPLE :(105)₁₀ ⇔( ?)₂

105 = 52×2+1 52 = 26×2+0 26 = 13×2+0 13 = 6×2+1

6 = 3×2+0 3 = 1×2+1 1 = 0×2+1

105 2 1 52 2

0 26 2 0 13 2

1 6 2 0 3 2

1 1 2 1 0

Ainsi 105 en base 10 s’écrit 1101001 en base 2.

(55)

EXEMPLE :(105)₁₀ ⇔( ?)₂

105 = 52×2+1 52 = 26×2+0 26 = 13×2+0 13 = 6×2+1

6 = 3×2+0 3 = 1×2+1 1 = 0×2+1

105 2 1 52 2

0 26 2 0 13 2

1 6 2 0 3 2

(56)

Passage de la base 2

^p

à la base 2

^q

Pour le passage de la base 2^p à la base 2^q, le plus simple est de re- passer par la base 2, pour convertir chaque chiffre en son équivalent binaire.

Ainsi chaque chiffre de la base 2^p se code en p chiffres de la base binaire (p bits). En convertissant le nombre binaire par paquets de q chiffres (bits), nous obtenons les chiffres du nombre en baseq.

(57)

EXEMPLE : (247)₈⇔( ?)₄La base 8 se code sur 3 bits (8 = 2³), et la base 4 se code sur 2 bit (4=2²)

(A)₈ = 247

(A)₈ = 2

|{z}

010

4

|{z}

100

7

|{z}

111

(A)₂ = 10100111 (A)₂ = 10

|{z}

2

10

|{z}

2

01

|{z}

1

11

|{z}

3

(A)₄ = 2213

(58)

(A)₈ = 247 (A)₈ = 2

|{z}

010

4

|{z}

100

7

|{z}

111

(A)₂ = 10100111 (A)₂ = 10

|{z}

2

10

|{z}

2

01

|{z}

1

11

|{z}

3

(A)₄ = 2213

(59)

(A)₈ = 247 (A)₈ = 2

|{z}

010

4

|{z}

100

7

|{z}

111

(A)2 = 10100111

(A)₂ = 10

|{z}

2

10

|{z}

2

01

|{z}

1

11

|{z}

3

(A)₄ = 2213

(60)

(A)₈ = 247 (A)₈ = 2

|{z}

010

4

|{z}

100

7

|{z}

111

(A)2 = 10100111 (A)₂ = 10

|{z}

2

10

|{z}

2

01

|{z}

1

11

|{z}

3

(A)₄ = 2213

(61)

(A)₈ = 247 (A)₈ = 2

|{z}

010

4

|{z}

100

7

|{z}

111

(A)2 = 10100111 (A)₂ = 10

|{z}

2

10

|{z}

2

01

|{z}

1

11

|{z}

3

(A)₄ = 2213

(62)

Codage de l’information

Coder une information revient à fixer une convention permettant de lire et écrire cette information sans ambiguïté. Les chiffres arabes sont notre code humain pour les données numériques. Ce code est peu ap- proprié aux machines.

Les systèmes automatiques exploitent des codes basés sur le binaire pour des raisons d’architecture.

Les qualités requises pour un code sont principalement :

1 La taille du codage (nombre de bits nécessaires)

2 La fiabilité de lecture

3 La simplicité de manipulation

(63)

Codage de l’information

(64)

Codage de l’information

(65)

Codage de l’information

(66)

Codage de l’information

(67)

Code binaire naturel

0 0 0 0 0

1 0 0 0 1

2 0 0 1 0

3 0 0 1 1

4 0 1 0 0

5 0 1 0 1

6 0 1 1 0

7 0 1 1 1

8 1 0 0 0

9 1 0 0 1

Il permet de coder les nombres.

C’est le seul code qui permet de réaliser des opérations.

La taille du codage est optimale (minimum de bits pour coder un nombre)

REMARQUE:4 bits sont nécessaires pour coder un chiffre entre 0 et 9

(68)

Code binaire naturel

0 0 0 0 0

1 0 0 0 1

2 0 0 1 0

3 0 0 1 1

4 0 1 0 0

5 0 1 0 1

6 0 1 1 0

7 0 1 1 1

8 1 0 0 0

9 1 0 0 1

(69)

Code binaire naturel

0 0 0 0 0

1 0 0 0 1

2 0 0 1 0

3 0 0 1 1

4 0 1 0 0

5 0 1 0 1

6 0 1 1 0

7 0 1 1 1

8 1 0 0 0

9 1 0 0 1

(70)

Code binaire naturel

0 0 0 0 0

1 0 0 0 1

2 0 0 1 0

3 0 0 1 1

4 0 1 0 0

5 0 1 0 1

6 0 1 1 0

7 0 1 1 1

8 1 0 0 0

9 1 0 0 1

(71)

Code binaire réfléchi (code Gray)

Le passage d’un nombre au suivant se fait en changeant la valeur d’un seul bit. Ceci peut apporter une garantie sur l’interprétation du code.

On peut ainsi détecter des erreurs.

(72)

0 0 0 0 0

1 0 0 0 1

2 0 0 1 1

3 0 0 1 0

4 0 1 1 0

5 0 1 1 1

6 0 1 0 1

7 0 1 0 0

8 1 1 0 0

9 1 1 0 1

Ce code présente des symétries d’où le nom de code binaire réfléchi:

1 Colonne en 2⁰: le couple (0,1) subit un effet miroir et ainsi de suite

2 Colonne en 2¹: même chose avec (0011)

3 Colonne en 2²: même chose avec (00001111)

Il est utilisé dans les capteurs de position absolus et évite des sources d’erreur dans les positions intermédiaires.

La taille du codage est optimale.

(73)

0 0 0 0 0

1 0 0 0 1

2 0 0 1 1

3 0 0 1 0

4 0 1 1 0

5 0 1 1 1

6 0 1 0 1

7 0 1 0 0

8 1 1 0 0

9 1 1 0 1

Ce code présente des symétries d’où le nom de code binaire réfléchi:

1 Colonne en 2⁰: le couple (0,1) subit un effet miroir et ainsi de suite

2 Colonne en 2¹: même chose avec (0011)

3 Colonne en 2²: même chose avec (00001111)

Il est utilisé dans les capteurs de position absolus et évite des sources d’erreur dans les positions intermédiaires.

La taille du codage est optimale.