CI-5 Modéliser les actions mécaniques

(1)

CI-5

Modéliser les actions mécaniques

Prévoir et vérifier les performances de systèmes soumis à des actions mécaniques statiques.

L

YCÉE

C

ARNOT

(D

IJON

), 2019 - 2020

Germain Gondor

Sciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI) Td 7 CI-5 Modéliser, déterminer les actions mécaniques Année 2019 - 2020 1 / 80

(2)

Lève bateau

Sommaire

1 Lève bateau

Statique analytique Statique graphique

2 Equilibre d’un barrage

3 Etude d’un frein (avec le modèle de Coulomb)

4 Roue Libre

5 Radar X-band (D’après sujet CCP 99 - PSI)

6 Etude statique du robot MaxPID

(3)

Lève bateau

Le système ci-contre est en équilibre. Le bateau est maintenu par l’action du vérin hydraulique. Le problème sera supposé plan, et les liaisons pivot en A, B, C et D parfaites. L’action du poids sera négligée sauf pour le bateau (glisseur

#» g passant par G).

# »

AC = c x . #» x + c y . #» y

# »

AD = d . #» x

# »

DB = λ. #» y _b

θ = ( #» x , #» x b ) = ( #» y , #» y b )

Q - 1 : Réaliser le graphe des liaisons de ce mécanisme.

Q - 2 : Déterminer les actions mécaniques dans les liaisons en A, B, C et D par une étude analytique. Retrouver ces résultats par une étude graphique.

(4)

Lève bateau

(5)

Lève bateau

Q - 1 : Réaliser le graphe des liaisons de ce mécanisme.

Sol (S) Vérin (V)

Portique (P)

Bateau (B)

Rotule (D) Pivot

(A, #» z )

Rotule (B)

Rotule (C) g

(6)

Lève bateau

Q - 1 : Réaliser le graphe des liaisons de ce mécanisme.

Sol (S) Vérin (V)

Portique (P)

Bateau (B)

Rotule (D) Pivot

(A, #» z )

Rotule (B)

Rotule (C) g

(7)

Lève bateau

Q - 2 : Déterminer les actions mécaniques dans les liaisons en A, B, C et D par une étude analytique. Retrouver ces résultats par une étude graphique.

L’approche graphique est construite en recherchant tous les solides ou groupe de solides soumis à 2 glisseurs (forces appliquées en un point). Nous déterminons alors les directions de ces glisseurs. Reste alors à isoler les solides soumis à 3 glisseurs.

(8)

Lève bateau

Q - 2 : Déterminer les actions mécaniques dans les liaisons en A, B, C et D par une étude analytique. Retrouver ces résultats par une étude graphique.

L’approche graphique est construite en recherchant tous les solides ou groupe de solides soumis à 2 glisseurs (forces appliquées en un point). Nous déterminons alors les directions de ces glisseurs. Reste alors à isoler les solides soumis à 3 glisseurs.

(9)

Lève bateau Statique analytique

Pour déterminer toutes les actions de liaisons, nous devons faire p − 1 isolements indépendants, p étant le nombre de "pièces". Le sol n’étant pas isolable, isolons chacun des solides.

(10)

Isolement du bateau

(S) V

(P) (B)

Rotule (D) Pivot

(A,#»z)

Rotule (B)

Rotule (C) g

• Isolons le bateau B

• Faisons le bilan des actions mécaniques exercées sur le bateau:

◦ Action de la gravitation sur le bateau F

_g→B

=

G



 



 



−m.g. #» y

#» 0



 



 



◦ Action du portique sur le bateau F

_P→B

=

C



 

 

 

 

X PB 0 Y PB 0 Z PB 0



 

 

 

 

(

#» x

,

#» y

,

#» z

)

(11)

Isolement du bateau

(S) V

(P) (B)

Rotule (D) Pivot

(A,#»z)

Rotule (B)

Rotule (C) g

• Isolons le bateau B

• Faisons le bilan des actions mécaniques exercées sur le bateau:

◦ Action de la gravitation sur le bateau F

_g→B

=

G



 



 



−m.g. #» y

#» 0



 



 



◦ Action du portique sur le bateau F

_P→B

=

C



 

 

 

 

X PB 0 Y PB 0 Z PB 0



 

 

 

 

(

#» x

,

#» y

,

#» z

)

(12)

Isolement du bateau

(S) V

(P) (B)

Rotule (D) Pivot

(A,#»z)

Rotule (B)

Rotule (C) g

• Isolons le bateau B

• Faisons le bilan des actions mécaniques exercées sur le bateau:

◦ Action de la gravitation sur le bateau F

_g→B

=

G



 



 



−m.g. #» y

#» 0



 



 



◦ Action du portique sur le bateau F

_P→B

=

C



 

 

 

 

X PB 0 Y PB 0 Z PB 0



 

 

 

 

(

#» x

,

#» y

,

#» z

)

(13)

Isolement du bateau

(S) V

(P) (B)

Rotule (D) Pivot

(A,#»z)

Rotule (B)

Rotule (C) g

• Isolons le bateau B

• Faisons le bilan des actions mécaniques exercées sur le bateau:

◦ Action de la gravitation sur le bateau F

_g→B

=

G



 



 



−m.g. #» y

#» 0



 



 



◦ Action du portique sur le bateau F

_P→B

=

C



 

 

 

 

X PB 0 Y PB 0 Z PB 0



 

 

 

 

(

#» x

,

#» y

,

#» z

)

(14)

• Le système étant à l’équilibre, appliquons le principe fondamental de la statique au bateau dans le repère galiléen lié au sol.

F B→B = 0 ⇒ F _g→B + F _P→B = 0

⇒ F _P→B = −F _g→B =

G

( m.g. #» y

#» 0 )

• Pour déterminer les inconnues de liaisons de la rotule en C, déplaçons le torseur F _P→B au point C:

M #»

_(C,P→B)

=

_M ^#»

_(G,P→B)

₊ _CG ^{# »} _∧ ^#» _F

_(P→B)

₌

(( _−l

_G

_. #» y (( ∧ m.g. ( #» y = #» 0 F

_P→B

=

G

( m.g. #» y

#» 0 )

=

C

( m.g. #» y

#» 0 )

=

C



 



 

 X

PB

0 Y

PB

0 Z

PB

0 

 



 



(#»x,#»y,#»z)

⇒



 



 



X

PB

= 0 Y

PB

= m.g Z

PB

= 0

(15)

• Le système étant à l’équilibre, appliquons le principe fondamental de la statique au bateau dans le repère galiléen lié au sol.

F B→B = 0 ⇒ F _g→B + F _P→B = 0

⇒ F _P→B = −F _g→B =

G

( m.g. #» y

#» 0 )

• Pour déterminer les inconnues de liaisons de la rotule en C, déplaçons le torseur F _P→B au point C:

M #»

(C,P→B)

=

_M ^#»

_(G,P→B)

+ # » CG ∧ #»

F

(P→B)

=

(( _−l

_G

_. #» y (( ∧ m.g. ( #» y = #»

0 F

_P→B

=

G

( m.g. #» y

#» 0 )

=

C

( m.g. #» y

#» 0 )

=

C



 



 

 X

PB

0 Y

PB

0 Z

PB

0 

 



 



(#»x,#»y,#»z)

⇒



 



 



X

PB

= 0 Y

PB

= m.g Z

PB

= 0

(16)

F #» _(g→B)

F #» _(P→B)

(17)

F #» _(g→B) F #» _(P→B)

(18)

Isolement du vérin

(S) V

(P) (B)

Rotule (D) Pivot

(A,#»z)

Rotule (B)

Rotule (C) g

• Isolons le vérin V

• Faisons le bilan des actions mécaniques exercées sur le vérin:

◦ Action du sol sur le vérin F

_S→V

=

D



 

 

 

 

X _SV 0 Y _SV 0 Z _SV 0



 

 

 

 

(

#» x

b,

#» y

b,

#» z

b)

◦ Action du portique sur le vérin F

_P→V

=

B



 

 

 

 

X _PV 0 Y _PV 0 Z _PV 0



 

 

 

 

(

#» x

_b,

#» y

_b,

#» z

_b)

(19)

Isolement du vérin

(S) V

(P) (B)

Rotule (D) Pivot

(A,#»z)

Rotule (B)

Rotule (C) g

• Isolons le vérin V

• Faisons le bilan des actions mécaniques exercées sur le vérin:

◦ Action du sol sur le vérin F

_S→V

=

D



 

 

 

 

X _SV 0 Y _SV 0 Z _SV 0



 

 

 

 

(

#» x

b,

#» y

b,

#» z

b)

◦ Action du portique sur le vérin F

_P→V

=

B



 

 

 

 

X _PV 0 Y _PV 0 Z _PV 0



 

 

 

 

(

#» x

b,

#» y

b,

#» z

b)

(20)

Isolement du vérin

(S) V

(P) (B)

Rotule (D) Pivot

(A,#»z)

Rotule (B)

Rotule (C) g

• Isolons le vérin V

• Faisons le bilan des actions mécaniques exercées sur le vérin:

◦ Action du sol sur le vérin F

_S→V

=

D



 

 

 

 

X SV 0 Y _SV 0 Z _SV 0



 

 

 

 

(

#» x

b,

#» y

b,

#» z

b)

◦ Action du portique sur le vérin F

_P→V

=

B



 

 

 

 

X _PV 0 Y _PV 0 Z _PV 0



 

 

 

 

(

#» x

b,

#» y

b,

#» z

b)

(21)

Isolement du vérin

(S) V

(P) (B)

Rotule (D) Pivot

(A,#»z)

Rotule (B)

Rotule (C) g

• Isolons le vérin V

• Faisons le bilan des actions mécaniques exercées sur le vérin:

◦ Action du sol sur le vérin F

_S→V

=

D



 

 

 

 

X SV 0 Y _SV 0 Z _SV 0



 

 

 

 

(

#» x

b,

#» y

b,

#» z

b)

◦ Action du portique sur le vérin F

_P→V

=

B



 

 

 

 

X _PV 0 Y _PV 0 Z _PV 0



 

 

 

 

(

#» x

b,

#» y

b,

#» z

b)

(22)

• Le système étant à l’équilibre, appliquons le principe fondamental de la statique au vérin dans le repère galiléen lié au sol.

F V→V = 0 ⇒ F _S→V + F _P→V = 0

• Pour déterminer les inconnues de liaisons des rotules en B et en D, plaçons les torseurs F _S→V et F _P→V au même point (D):

M #» (D,P→V ) =

#» M (B,P→V ) + # »

DB ∧ #» F _(P→V)

= λ. #» y _b . ∧ (X _PV . #» x _b + Y _PV . #» y _b + Z _PV . #» z _b )

= λ. (Z PV . #» x b − X PV . #» z b )

0 = F _S→V + F _P→V

=

D



 



 



X SV 0 Y SV 0 Z SV 0



 



 

 ( #» x

b

, #» y

b

, #» z

b

)

+

D



 



 



X PV λ.Z _PV Y PV 0 Z PV −λ.X _PV



 



 

 ( #» x

b

, #» y

b

, #» z

b

)

(23)

• Le système étant à l’équilibre, appliquons le principe fondamental de la statique au vérin dans le repère galiléen lié au sol.

F V→V = 0 ⇒ F _S→V + F _P→V = 0

• Pour déterminer les inconnues de liaisons des rotules en B et en D, plaçons les torseurs F _S→V et F _P→V au même point (D):

M #» (D,P→V ) =

#»

M (B,P→V ) + # » DB ∧ #»

F _(P→V)

= λ. #» y b . ∧ (X PV . #» x b + Y PV . #» y b + Z PV . #» z b )

= λ. (Z PV . #» x b − X PV . #» z b )

0 = F _S→V + F _P→V

=

D



 



 



X _SV 0 Y SV 0 Z SV 0



 



 

 ( #» x

b

, #» y

b

, #» z

b

)

+

D



 



 



X PV λ.Z _PV Y PV 0 Z PV −λ.X _PV



 



 

 ( #» x

b

, #» y

b

, #» z

b

)

(24)

⇒



 



 

 X SV +

X PV = 0 Y _SV + Y _PV = 0 Z SV +

Z PV = 0 0 + λ.

Z _PV = 0 0 + 0 = 0 0 − λ.

X _PV = 0 Choisissons

Y SV comme paramètre

⇒



 

 

 

 

F _S→V =

B



 



 



0 0

Y _SV 0

0 0



 



 

 ( #» x

b

, #» y

b

, #» z

b

)

F _P→V =

D



 



 



0 0

− Y SV 0

0 0



 



 

 ( #» x

b

, #» y

b

, #» z

b

)

(25)

dir #»

F _(P→V)

dir #»

F (S→V)

(26)

Isolement du portique

(S) V

(P) (B)

Rotule (D) Pivot

(A,#»z)

Rotule (B)

Rotule (C) g

• Isolons le portique P

• Faisons le bilan des actions mécaniques exercées sur le portique:

◦ Action du sol sur le portique F

_S→P

=

A



 

 

 

 

X _SP L _SP Y _SP M _SP Z _SP 0



 

 

 

 

(

#» x

,

#» y

,

#» z

)

◦ Action du vérin sur le portique F

_V→P

= −F

_P→V

=

B



 



 



Y _SV . #» y _b

#» 0



 



 



◦ Action du bateau sur le portique F

_B→P

= −F

_P→B

=

C



 



 



− m.g. #» y

#» 0



 



 



(27)

Isolement du portique

(S) V

(P) (B)

Rotule (D) Pivot

(A,#»z)

Rotule (B)

Rotule (C) g

• Isolons le portique P

• Faisons le bilan des actions mécaniques exercées sur le portique:

◦ Action du sol sur le portique F

_S→P

=

A



 

 

 

 

X _SP L _SP Y _SP M _SP Z _SP 0



 

 

 

 

(

#» x

,

#» y

,

#» z

)

◦ Action du vérin sur le portique F

_V→P

= −F

_P→V

=

B



 



 



Y _SV . #» y _b

#» 0



 



 



◦ Action du bateau sur le portique F

_B→P

= −F

_P→B

=

C



 



 



− m.g. #» y

#» 0



 



 



(28)

Isolement du portique

(S) V

(P) (B)

Rotule (D) Pivot

(A,#»z)

Rotule (B)

Rotule (C) g

• Isolons le portique P

• Faisons le bilan des actions mécaniques exercées sur le portique:

◦ Action du sol sur le portique F

_S→P

=

A



 

 

 

 

X _SP L _SP Y _SP M _SP Z _SP 0



 

 

 

 

(

#» x

,

#» y

,

#» z

)

◦ Action du vérin sur le portique F

_V→P

= −F

_P→V

=

B



 



 



Y _SV . #» y _b

#» 0



 



 



◦ Action du bateau sur le portique F

_B→P

= −F

_P→B

=

C



 



 



− m.g. #» y

#» 0



 



 



(29)

Isolement du portique

(S) V

(P) (B)

Rotule (D) Pivot

(A,#»z)

Rotule (B)

Rotule (C) g

• Isolons le portique P

• Faisons le bilan des actions mécaniques exercées sur le portique:

◦ Action du sol sur le portique F

_S→P

=

A



 

 

 

 

X _SP L _SP Y _SP M _SP Z _SP 0



 

 

 

 

(

#» x

,

#» y

,

#» z

)

◦ Action du vérin sur le portique F

_V→P

= −F

_P→V

=

B



 



 



Y _SV . #» y _b

#» 0



 



 



◦ Action du bateau sur le portique F

_B→P

= −F

_P→B

=

C



 



 



− m.g. #» y

#» 0



 



 



(30)

Isolement du portique

(S) V

(P) (B)

Rotule (D) Pivot

(A,#»z)

Rotule (B)

Rotule (C) g

• Isolons le portique P

• Faisons le bilan des actions mécaniques exercées sur le portique:

◦ Action du sol sur le portique F

_S→P

=

A



 

 

 

 

X _SP L _SP Y _SP M _SP Z _SP 0



 

 

 

 

(

#» x

,

#» y

,

#» z

)

◦ Action du vérin sur le portique F

_V→P

= −F

_P→V

=

B



 



 



Y _SV . #» y _b

#» 0



 



 



◦ Action du bateau sur le portique F

_B→P

= −F

_P→B

=

C



 



 



− m.g. #» y

#» 0



 



 



(31)

• Le système étant à l’équilibre, appliquons le principe fondamental de la statique au portique dans le repère galiléen lié au sol.

F

_P→P

= 0 ⇒ F

_S→P

+ F

_V→P

+ F

_B→P

= 0

• Pour déterminer les inconnues des dernières liaisons, plaçons les torseurs F _S→P , F _V→P et F _B→P au même point (A):

M #»

(A,V→P)

=

_M ^#»

_(B,V→P)

+ AB # » ∧ #» F

(V→P)

= (d. #» x + λ. #» y

b

) ∧ Y

SV

. #» y

b

= d.Y

SV

.cos(θ). #» z M #»

(A,B→P)

=

_M ^#»

_(C,B→P)

+ # »

AC ∧ #» F

(B→P)

=

c

x

. #» x + c

y

. #» y

∧ −m.g. #» y = −m.g.c

x

. #» z

A



 



 



X

SP

L

SP

Y

SP

M

SP

Z

SP

0 

 



 



₍_#»_x_,_#»_y_,_#»_z₎

+

A

( Y

SV

. #» y

b

d.Y

SV

. cos(θ). #» z )

+

A

( −m.g. #» y

−m.g.c

x

. #» z )

= 0

(32)

• Le système étant à l’équilibre, appliquons le principe fondamental de la statique au portique dans le repère galiléen lié au sol.

F

_P→P

= 0 ⇒ F

_S→P

+ F

_V→P

+ F

_B→P

= 0

• Pour déterminer les inconnues des dernières liaisons, plaçons les torseurs F _S→P , F _V→P et F _B→P au même point (A):

M #»

(A,V→P)

=

_M ^#»

_(B,V→P)

+ AB # » ∧ #» F

(V→P)

= (d. #» x + λ. #» y

b

) ∧ Y

SV

. #» y

b

= d.Y

SV

.cos(θ). #» z M #»

_(A,B→P)

=

_M ^#»

_(C,B→P)

+ AC # » ∧ #» F

(B→P)

=

c

x

. #» x + c

y

. #» y

∧ −m.g. #» y = −m.g.c

x

. #» z

A



 



 



X

SP

L

SP

Y

SP

M

SP

Z

SP

0 

 



 



₍_#»_x_,_#»_y_,_#»_z₎

+

A

( Y

SV

. #» y

b

d.Y

SV

. cos(θ). #» z )

+

A

( −m.g. #» y

−m.g.c

x

. #» z )

= 0

(33)

⇒



 



 



X _SP −Y _SV . sin(θ) +0 = 0 Y _SP +Y _SV . cos(θ) − m.g = 0 Z _SP +0 +0 = 0 L _SP +0 +0 = 0 M _SP +0 +0 = 0 0 +d .Y _SV . cos(θ) − m.g.c _x = 0

⇒



 

 

 

 

Y SV = c _x

d . cos(θ) .m.g

X _SP = c x

d . tan(θ).m.g

Y _SP =

1 − c x

d .m.g

(34)

donc au final:

F _P→B =

C

( m.g. #» y

#» 0 )

F _S→P =

A



 

 

 

  c _x

d . tan(θ).m.g 0

1 − c x

d

.m.g 0

0 0



 

 

 

 

( #» x , #» y , #» z )

F _P→V =

B



 



 



0 0

− c _x

d . cos(θ) .m.g 0

0 0



 



 

 ( #» x

b

, #» y

b

, #» z

b

)

F _S→V =

D



 



 



0 0

c x

d . cos(θ) .m.g 0

0 0



 



 

 ( #» x

b

, #» y

b

, #» z

b

)

(35)

Lève bateau Statique graphique

F #» _(g→B)

F #» _(P→B)

dir #»

F _(P→V)

dir #»

F _(S→V)

F #» _(B→P)

dir #» F ( B → P )

dir F #»

( V

→ P )

dir F #»

( S → P )

F #» _(B→P)

#» F ( V

→ P )

F #»

( S → P )

#» F

( V

→ P )

F #»

( S →

P )

(36)

F #» _(g→B) F #» _(P→B)

dir #»

F _(P→V)

dir #»

F _(S→V)

F #» _(B→P)

dir #» F ( B → P )

dir F #»

( V

→ P )

dir F #»

( S → P )

F #» _(B→P)

#» F ( V

→ P )

F #»

( S → P )

#» F

( V

→ P )

F #»

( S →

P )

(37)

F #» _(g→B) F #» _(P→B)

dir #»

F _(P→V)

dir #»

F _(S→V)

F #» _(B→P)

dir #» F ( B → P )

dir F #»

( V

→ P )

dir F #»

( S → P )

F #» _(B→P)

#» F ( V

→ P )

F #»

( S → P )

#» F

( V

→ P )

F #»

( S →

P )

(38)

F #» _(g→B) F #» _(P→B)

dir #»

F _(P→V)

dir #»

F _(S→V)

F #» _(B→P)

dir #» F ( B → P )

dir F #»

( V

→ P )

dir F #»

( S → P )

F #» _(B→P)

#» F ( V

→ P )

F #»

( S → P )

#» F

( V

→ P )

F #»

( S →

P )

(39)

F #» _(g→B) F #» _(P→B)

dir #»

F _(P→V)

dir #»

F _(S→V)

F #» _(B→P)

dir #» F ( B → P )

dir F #»

( V

→ P )

dir F #»

( S → P )

F #» _(B→P)

#» F ( V

→ P )

F #»

( S → P )

#» F

( V

→ P )

F #»

( S →

P )

(40)

F #» _(g→B) F #» _(P→B)

dir #»

F _(P→V)

dir #»

F _(S→V)

F #» _(B→P)

dir #» F ( B → P )

dir F #»

( V

→ P )

dir F #»

( S → P )

F #» _(B→P)

#» F ( V

→ P )

F #»

( S → P )

#» F

( V

→ P )

F #»

( S →

P )

(41)

F #» _(g→B) F #» _(P→B)

dir #»

F _(P→V)

dir #»

F _(S→V)

F #» _(B→P)

dir #» F ( B → P )

dir F #»

( V

→ P )

dir F #»

( S → P )

F #» _(B→P)

#» F ( V

→ P )

F #»

( S → P )

#» F

( V

→ P )

F #»

( S →

P )

(42)

F #» _(g→B) F #» _(P→B)

dir #»

F _(P→V)

dir #»

F _(S→V)

F #» _(B→P)

dir #» F ( B → P )

dir F #»

( V

→ P )

dir F #»

( S → P )

F #» _(B→P)

#» F ( V

→ P )

F #»

( S → P )

#» F

( V

→ P )

F #»

( S →

P )

(43)

F #» _(g→B) F #» _(P→B)

dir #»

F _(P→V)

dir #»

F _(S→V)

F #» _(B→P)

dir #» F ( B → P )

dir F #»

( V

→ P )

dir F #»

( S → P )

F #» _(B→P)

#» F ( V

→ P )

F #»

( S → P )

#» F

( V

→ P )

F #»

( S →

P )

(44)

F #» _(g→B) F #» _(P→B)

dir #»

F _(P→V)

dir #»

F _(S→V)

F #» _(B→P)

dir #» F ( B → P )

dir F #»

( V

→ P )

dir F #»

( S → P )

F #» _(B→P)

#» F ( V

→ P )

F #»

( S → P )

#» F

( V

→ P )

F #»

( S →

P )

(45)

F #» _(g→B) F #» _(P→B)

dir #»

F _(P→V)

dir #»

F _(S→V)

F #» _(B→P)

dir #» F ( B → P )

dir F #»

( V

→ P )

dir F #»

( S → P )

F #» _(B→P)

#»

F ( V

→ P )

F #»

( S → P )

#» F

( V

→ P )

F #»

( S →

P )

(46)

F #» _(g→B) F #» _(P→B)

dir #»

F _(P→V)

dir #»

F _(S→V)

F #» _(B→P)

dir #» F ( B → P )

dir F #»

( V

→ P )

dir F #»

( S → P )

F #» _(B→P)

#»

F ( V

→ P )

F #»

( S → P )

#» F

( V

→ P )

F #»

( S →

P )

(47)

F #» _(g→B) F #» _(P→B)

dir #»

F _(P→V)

dir #»

F _(S→V)

F #» _(B→P)

dir #» F ( B → P )

dir F #»

( V

→ P )

dir F #»

( S → P )

F #» _(B→P)

#»

F ( V

→ P )

F #»

( S → P )

#»

F

( V

→ P )

F #»

( S →

P )

(48)

F #» _(g→B) F #» _(P→B)

dir #»

F _(P→V)

dir #»

F _(S→V)

F #» _(B→P)

dir #» F ( B → P )

dir F #»

( V

→ P )

dir F #»

( S → P )

F #» _(B→P)

#»

F ( V

→ P )

F #»

( S → P )

#»

F

( V

→ P )

F #»

( S → P )

(49)

Equilibre d’un barrage

Sommaire

1 Lève bateau

2 Equilibre d’un barrage

3 Etude d’un frein (avec le modèle de Coulomb)

4 Roue Libre

5 Radar X-band (D’après sujet CCP 99 - PSI)

6 Etude statique du robot MaxPID

(50)

Un barrage en béton repose sur le sol. L’eau exerce sur la paroi verticale du barrage une action mécanique de pression hydrostatique définie par la pression : p(z ) = ρ.g.(h − z ) avec :

• ρ masse volumique de l’eau

• g accélération de la pesanteur

• z altitude du point M La longueur suivant #» y est L.

La masse volumique du barrage est notée ρ _b barrage.

(51)

(52)

Q - 1 : Déterminer au point O le torseur d’action mécanique de l’eau sur le barrage.

Q - 2 : Montrer que ce torseur est un glisseur et rechercher son axe central. En déduire la position du centre de poussée.

Q - 3 : Déterminer le poids du barrage et la position de son centre de gra- vité.

Q - 4 : Etudier l’équilibre du barrage, et en déduire la valeur minimale du coefficient de frottement entre le barrage et le sol pour que le barrage ne glisse pas.

(53)

F

_e→b

=

O



 



 



!

S

p(z). #» x .dS

!

S

# »

OM ∧ p(z). #» x .dS



 



 



=

O



 

 

 

 

R

^L₂

y=−^L₂

R

h

z=0

ρ.g.(h − z). #» x .dy.dz R

^L₂

y=−^L₂

R

h

z=0

(y. #» y + z. z #» ) ∧ (ρ.g.(h − z). #» x ).dy.dz



 

 

 

 

=

O



 

 

 

 

R

^L₂

y=−^L₂

R

h

z=0

ρ.g.(h − z). #» x .dy.dz R

^L₂

y=−^L₂

R

h

z=0

y. #» y ∧ (ρ.g.(h − z). #» x ) .dy.dz + R

^L₂

y=−^L₂

R

h

z=0

z. #» z ∧ (ρ.g.(h − z). #» x ) .dy.dz



 

 

 

 

=

O



 

 

 

  R

^L₂

y=−^L₂

R

h

z=0

ρ.g.(h − z). #» x .dy.dz R

^L₂

y=−^L₂

R

h

z=0

z. #» z ∧ (ρ.g.(h − z). #» x ) .dy.dz



 

 

 

 

=

O



 



 



ρ.g.L. R

h

z=0

(h − z).dz. #» x ρ.g.L. R

h

z=0

z.(h − z).dz. #» y



 



 



(54)

F

_e→b

=

O



 



 



!

S

p(z). #» x .dS

!

S

# »

OM ∧ p(z). #» x .dS



 



 



=

O



 

 

 

 

R

^L₂

y=−^L₂

R

h

z=0

ρ.g.(h − z). #» x .dy.dz R

^L₂

y=−^L₂

R

h

z=0

(y. #» y + z. z #» ) ∧ (ρ.g.(h − z). #» x ).dy.dz



 

 

 

 

=

O



 

 

 

 

R

^L₂

y=−^L₂

R

h

z=0

ρ.g.(h − z). #» x .dy.dz R

^L₂

y=−^L₂

R

h

z=0

y. #» y ∧ (ρ.g.(h − z). #» x ) .dy.dz + R

^L₂

y=−^L₂

R

h

z=0

z. #» z ∧ (ρ.g.(h − z). #» x ) .dy.dz



 

 

 

 

=

O



 

 

 

  R

^L₂

y=−^L₂

R

h

z=0

ρ.g.(h − z). #» x .dy.dz R

^L₂

y=−^L₂

R

h

z=0

z. #» z ∧ (ρ.g.(h − z). #» x ) .dy.dz



 

 

 

 

=

O



 



 



ρ.g.L. R

h

z=0

(h − z).dz. #» x ρ.g.L. R

h

z=0

z.(h − z).dz. #» y



 



 



(55)

F

_e→b

=

O



 



 



!

S

p(z). #» x .dS

!

S

# »

OM ∧ p(z). #» x .dS



 



 



=

O



 

 

 

 

R

^L₂

y=−^L₂

R

h

z=0

ρ.g.(h − z). #» x .dy.dz R

^L₂

y=−^L₂

R

h

z=0

(y. #» y + z. z #» ) ∧ (ρ.g.(h − z). #» x ).dy.dz



 

 

 

 

=

O



 

 

 

 

R

^L₂

y=−^L₂

R

h

z=0

ρ.g.(h − z). #» x .dy.dz R

^L₂

y=−^L₂

R

h

z=0

y. #» y ∧ (ρ.g.(h − z). #» x ) .dy.dz + R

^L₂

y=−^L₂

R

h

z=0

z. #» z ∧ (ρ.g.(h − z). #» x ) .dy.dz



 

 

 

 

=

O



 

 

 

  R

^L₂

y=−^L₂

R

h

z=0

ρ.g.(h − z). #» x .dy.dz R

^L₂

y=−^L₂

R

h

z=0

z. #» z ∧ (ρ.g.(h − z). #» x ) .dy.dz



 

 

 

 

=

O



 



 



ρ.g.L. R

h

z=0

(h − z).dz. #» x ρ.g.L. R

h

z=0

z.(h − z).dz. #» y



 



 



(56)

F

_e→b

=

O



 



 



!

S

p(z). #» x .dS

!

S

# »

OM ∧ p(z). #» x .dS



 



 



=

O



 

 

 

 

R

^L₂

y=−^L₂

R

h

z=0

ρ.g.(h − z). #» x .dy.dz R

^L₂

y=−^L₂

R

h

z=0

(y. #» y + z. z #» ) ∧ (ρ.g.(h − z). #» x ).dy.dz



 

 

 

 

=

O



 

 

 

 

R

^L₂

y=−^L₂

R

h

z=0

ρ.g.(h − z). #» x .dy.dz R

^L₂

y=−^L₂

R

h

z=0

y. #» y ∧ (ρ.g.(h − z). #» x ) .dy.dz + R

^L₂

y=−^L₂

R

h

z=0

z. #» z ∧ (ρ.g.(h − z). #» x ) .dy.dz



 

 

 

 

=

O



 

 

 

  R

^L₂

y=−^L₂

R

h

z=0

ρ.g.(h − z). #» x .dy.dz R

^L₂

y=−^L₂

R

h

z=0

z. #» z ∧ (ρ.g.(h − z). #» x ) .dy.dz



 

 

 

 

=

O



 



 



ρ.g.L. R

h

z=0

(h − z).dz. #» x ρ.g.L. R

h

z=0

z.(h − z).dz. #» y



 



 



(57)

Or Z

h

z=0

(h − z).dz =

"

h.z − z

²

2 #

h 0

= h

²

2 et Z

h

z=0

z.(h − z).dz =

" h. z

²

2 − z

³

3 #

^h

0

= h

³

6 ⇒ F

_e→b

=

O



 

 

 

 

ρ.g.L. h ² 2 . #» x ρ.g.L. h ³

6 . #» y



 

 

 

 

(58)

Or Z

h

z=0

(h − z).dz =

"

h.z − z

²

2 #

h 0

= h

²

2 et Z

h

z=0

z.(h − z).dz =

"

h. z

²

2 − z

³

3 #

h 0

= h

³

6 ⇒ F

_e→b

=

O



 

 

 

 

ρ.g.L. h ² 2 . #» x ρ.g.L. h ³

6 . #» y



 

 

 

 

(59)

Dans le cas présent, avec l’expression du moment M #»

(O,e→b)

, nous avons bien R #»

e→b

, 0 et

#» R

e→b

. M #»

(O,e→b)

= 0.

Déterminons l’axe central du torseur, sachant qu’il est composé de l’ensemble des points pour lesquels le moment est nul. Calculons donc M #»

_(I,e→b)

avec pour coordonnées de I (x, y , z) dans le repère R (O, #» x , #» y , #» z).

M #»

_(I,e→b)

= M #»

_(O,e→b)

+ IO # » ∧ R #»

_e→b

= ρ.g.L. h

³

6 . #» y − (x. #» x + y. #» y + z. #» z ) ∧ ρ.g.L. h

²

2 . #» x

= ρ.g.L. h

³

6 . #» y + ρ.g.L. h

²

2 . (y. #» z − z. #» y ) = ρ.g.L. h

²

6 . [(h − 3.z). #» y + y. #» z ] On vérifie bien que quelque soit I , l’automoment est nul puisque le vecteur résultant R #»

e→b

est porté par #» x quand M #»

(I,e→b)

appartient au plan ( #» y , #» z ).

M #»

(I,e→b)

= #» 0 ⇒ ρ.g.L. h

²

6 . [(h − 3.z). #» y + y. #» z ] = #» 0 ⇒



 

 

 

 

x ∈ R

y = 0

z = − h 3 L’axe central du torseur est donc une droite portée par #» x situé à l’altitude h

3 du barrage.

(60)

Dans le cas présent, avec l’expression du moment M #»

(O,e→b)

, nous avons bien R #»

e→b

, 0 et

#» R

e→b

. M #»

(O,e→b)

= 0.

Déterminons l’axe central du torseur, sachant qu’il est composé de l’ensemble des points pour lesquels le moment est nul.

Calculons donc M #»

_(I,e→b)

avec pour coordonnées de I (x, y , z) dans le repère R (O, #» x , #» y , #» z).

M #»

_(I,e→b)

= M #»

_(O,e→b)

+ IO # » ∧ R #»

_e→b

= ρ.g.L. h

³

6 . #» y − (x. #» x + y. #» y + z. #» z ) ∧ ρ.g.L. h

²

2 . #» x

= ρ.g.L. h

³

6 . #» y + ρ.g.L. h

²

2 . (y. #» z − z. #» y ) = ρ.g.L. h

²

6 . [(h − 3.z). #» y + y. #» z ] On vérifie bien que quelque soit I , l’automoment est nul puisque le vecteur résultant R #»

e→b

est porté par #» x quand M #»

(I,e→b)

appartient au plan ( #» y , #» z ).

M #»

(I,e→b)

= #» 0 ⇒ ρ.g.L. h

²

6 . [(h − 3.z). #» y + y. #» z ] = #» 0 ⇒



 

 

 

 

x ∈ R

y = 0

z = − h 3 L’axe central du torseur est donc une droite portée par #» x situé à l’altitude h

3 du barrage.

(61)

Dans le cas présent, avec l’expression du moment M #»

(O,e→b)

, nous avons bien R #»

e→b

, 0 et

#» R

e→b

. M #»

(O,e→b)

= 0.

Déterminons l’axe central du torseur, sachant qu’il est composé de l’ensemble des points pour lesquels le moment est nul. Calculons donc M #»

_(I,e→b)

avec pour coordonnées de I (x, y ,z) dans le repère R (O, #» x , #» y , #» z ).

M #»

_(I,e→b)

= M #»

_(O,e→b)

+ IO # » ∧ R #»

_e→b

= ρ.g.L. h

³

6 . #» y − (x. #» x + y. #» y + z. #» z ) ∧ ρ.g.L. h

²

2 . #» x

= ρ.g.L. h

³

6 . #» y + ρ.g.L. h

²

2 . (y. #» z − z. #» y ) = ρ.g.L. h

²

6 . [(h − 3.z). #» y + y. #» z ] On vérifie bien que quelque soit I , l’automoment est nul puisque le vecteur résultant R #»

e→b

est porté par #» x quand M #»

(I,e→b)

appartient au plan ( #» y , #» z ).

M #»

(I,e→b)

= #» 0 ⇒ ρ.g.L. h

²

6 . [(h − 3.z). #» y + y. #» z ] = #» 0 ⇒



 

 

 

 

x ∈ R

y = 0

z = − h 3 L’axe central du torseur est donc une droite portée par #» x situé à l’altitude h

3 du barrage.

CI-5 Modéliser les actions mécaniques

CI-5

Modéliser les actions mécaniques

Prévoir et vérifier les performances de systèmes soumis à des actions mécaniques statiques.

L

C

(D

), 2019 - 2020

Germain Gondor

Sommaire

1 Lève bateau

Statique analytique Statique graphique

2 Equilibre d’un barrage

3 Etude d’un frein (avec le modèle de Coulomb)

4 Roue Libre

5 Radar X-band (D’après sujet CCP 99 - PSI)

6 Etude statique du robot MaxPID

Le système ci-contre est en équilibre. Le bateau est maintenu par l’action du vérin hydraulique. Le problème sera supposé plan, et les liaisons pivot en A, B, C et D parfaites. L’action du poids sera négligée sauf pour le bateau (glisseur

#» g passant par G).

# »

AC = c x . #» x + c y . #» y

# »

AD = d . #» x

# »

DB = λ. #» y b

θ = ( #» x , #» x b ) = ( #» y , #» y b )

Q - 1 : Réaliser le graphe des liaisons de ce mécanisme.

Q - 2 : Déterminer les actions mécaniques dans les liaisons en A, B, C et D par une étude analytique. Retrouver ces résultats par une étude graphique.

Q - 1 : Réaliser le graphe des liaisons de ce mécanisme.

Sol (S) Vérin (V)

Portique (P)

Bateau (B)

Rotule (D) Pivot

(A, #» z )

Rotule (B)

Rotule (C) g

Q - 1 : Réaliser le graphe des liaisons de ce mécanisme.

Sol (S) Vérin (V)

Portique (P)

Bateau (B)

Rotule (D) Pivot

(A, #» z )

Rotule (B)

Rotule (C) g

Q - 2 : Déterminer les actions mécaniques dans les liaisons en A, B, C et D par une étude analytique. Retrouver ces résultats par une étude graphique.

L’approche graphique est construite en recherchant tous les solides ou groupe de solides soumis à 2 glisseurs (forces appliquées en un point). Nous déterminons alors les directions de ces glisseurs. Reste alors à isoler les solides soumis à 3 glisseurs.

Q - 2 : Déterminer les actions mécaniques dans les liaisons en A, B, C et D par une étude analytique. Retrouver ces résultats par une étude graphique.

L’approche graphique est construite en recherchant tous les solides ou groupe de solides soumis à 2 glisseurs (forces appliquées en un point). Nous déterminons alors les directions de ces glisseurs. Reste alors à isoler les solides soumis à 3 glisseurs.

Pour déterminer toutes les actions de liaisons, nous devons faire p − 1 isolements indépendants, p étant le nombre de "pièces". Le sol n’étant pas isolable, isolons chacun des solides.

Isolement du bateau

• Isolons le bateau B

• Faisons le bilan des actions mécaniques exercées sur le bateau:

◦ Action de la gravitation sur le bateau F

=



 



 



−m.g. #» y

#» 0



 



 



◦ Action du portique sur le bateau F

=



 

 

 

 

X PB 0 Y PB 0 Z PB 0



 

 

 

 

#» x

DB = λ. #» y _b