Modéliser les actions mécaniques
Prévoir et vérifier les performances de systèmes soumis à des actions mécaniques statiques.
CI-6-1 Fonctions de plusieurs variables
L
YCÉEC
ARNOT(D
IJON), 2013 - 2014
Germain Gondor
Sommaire
1 Systèmes de coordonnées
2 Fonctions de plusieurs variables
3 Intégration
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Systèmes de coordonnées
Sommaire
1 Systèmes de coordonnées Coordonnées cartésiennes Coordonnées cylindriques Coordonnées sphériques
2 Fonctions de plusieurs variables
3 Intégration
Systèmes de coordonnées Coordonnées cartésiennes
Coordonnées cartésiennes
O
#» x
#» y
#» z
• P z
x
y dx dy
dz
• Vecteur position
# »
OP = x . #» x + y . #» y + z . #» z
• Surface élémentaire dS x = dy .dz dS y = dx .dz dS z = dx .dy
• Volume élémentaire dV = dx .dy .dz
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Systèmes de coordonnées Coordonnées cylindriques
Coordonnées cylindriques
O
#» x
#» y
#» z
• P z
ρ
#» e
r#» e
z#» e
θθ
#» e
r#» e
z#» e
θρ.d θ
d ρ dz
• Vecteur position
# »
OP = ρ. #» e
r+ z. #» z
• Surface élémentaire
dS
ρ= ρ.dθ.dz dS
θ= d ρ.dz dS
z= ρ.dρ.dθ
• Volume élémentaire dv = ρ.d ρ.d θ.dz
• Projections
x = ρ. cos θ
y = ρ. sin θ
Systèmes de coordonnées Coordonnées sphériques
Coordonnées sphériques
O
#» x
#» y
#» z
ρ P •
ρ. sin θ φ
θ #» e
r#» e
φ#» e
θ• Vecteur position
# » OP = ρ. #» e
r• Surface élémentaire
dS
ρ= ρ
2.d θ. sin θ.d ϕ dS
θ= ρ.d ρ. sin θ.d ϕ dS
φ= ρ.d ρ.dθ
• Volume élémentaire
dV = ρ
2.d ρ.d θ. sin θ.d ϕ
• Projections
x = ρ. sin θ. cos ϕ y = ρ. sin θ. sin ϕ z = ρ. cos θ
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Fonctions de plusieurs variables
Sommaire
1 Systèmes de coordonnées
2 Fonctions de plusieurs variables Définition de la fonction Matrice Jacobienne
Applications aux systèmes de coordonnées
3 Intégration
Fonctions de plusieurs variables Définition de la fonction
Fonctions de plusieurs variables
Soit #»
f une fonction de R n dans R m : R n → R m
#» f :
x 1
.. . x n
7→
f 1 (x 1 , . . . , x n ) .. . f m (x 1 , . . . , x n )
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Fonctions de plusieurs variables Matrice Jacobienne
Matrice jacobienne
On appelle matrice jacobienne ∇ h #»
f i
, la matrice de dérivées partielles, définie par :
∇ h #»
f i
=
∂f 1
∂x 1 . . . ∂f 1
∂x n .. . . .. .. .
∂f m
∂x 1 . . . ∂f m
∂x n
Fonctions de plusieurs variables Matrice Jacobienne
On note alors J son déterminant que l’on appelle jacobien de #»
f :
J =
∂f 1
∂x 1 . . . ∂f 1
∂x n
.. . . .. .. .
∂f m
∂x 1 . . . ∂f m
∂x n
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Fonctions de plusieurs variables Applications aux systèmes de coordonnées
Coordonnées cylindriques
R 3 → R 3
X #» :
ρ θ z
7→
x (ρ, θ, z) y (ρ, θ, z) z(ρ, θ, z)
X #» (ρ, θ, z) =
x(ρ, θ, z) = ρ. cos(θ) y(ρ, θ, z) = ρ. sin(θ) z(ρ, θ, z) = z
Fonctions de plusieurs variables Applications aux systèmes de coordonnées
∇ h #»
X (ρ, θ, z) i
=
∂x
∂ρ
∂x
∂θ
∂x
∂z
∂y
∂ρ
∂y
∂θ
∂y
∂z
∂z
∂ρ ∂z
∂θ ∂z
∂z
=
cos(θ) − ρ. sin(θ) 0 sin(θ) ρ. cos(θ) 0
0 0 1
d’où J = ρ. Ainsi dx .dy .dz = ρ
|{z}
J
.dρ.dθ.dz
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Fonctions de plusieurs variables Applications aux systèmes de coordonnées
Coordonnées sphériques
R 3 → R 3
X #» :
ρ ϕ θ
7→
x (ρ, ϕ, θ) y (ρ, ϕ, θ) z(ρ, ϕ, θ)
X #» (ρ, ϕ, θ) =
x(ρ, ϕ, θ) = ρ. sin(θ). cos(ϕ) y(ρ, ϕ, θ) = ρ. sin(θ). sin(ϕ) z(ρ, ϕ, θ) = ρ. cos(θ)
Fonctions de plusieurs variables Applications aux systèmes de coordonnées
∇ h #»
X (ρ, ϕ, θ) i
=
∂x
∂ρ ∂x
∂ϕ ∂x
∂θ
∂y
∂ρ
∂y
∂ϕ
∂y
∂θ
∂z
∂ρ
∂z
∂ϕ
∂z
∂θ
=
sin(θ). cos(ϕ) − ρ. sin(θ). sin(ϕ) ρ. cos(θ). cos(ϕ) sin(θ). sin(ϕ) ρ. sin(θ). cos(ϕ) ρ. cos(θ). sin(ϕ)
cos(θ) 0 − ρ. sin(θ)
d’où J = ρ 2 . sin(θ). Ainsi dx .dy .dz = ρ 2 . sin(θ)
| {z }
J
.d ρ.d ϕ.dθ
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Intégration
Sommaire
1 Systèmes de coordonnées
2 Fonctions de plusieurs variables
3 Intégration
Intégration
Intégration
Dans le cas de l’intégration avec plusieurs variables, il est possible de procéder par étape en choisissant une variable et les autres comme paramètres :
I =
$
f(x, y , z).dx .dy .dz = Z
z
"Z
y
Z
x
f (x , y , z ).dx
! .dy
# .dz
= Z
z
"Z
y
g(y , z).dy
# .dz =
Z
z
h(z ).dz
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Intégration
