CI-6
LYCÉECARNOT(DIJON), 2012 - 2013
Germain Gondor
Sommaire
1 Introduction
2 Modélisation d’une action mécanique
3 Actions mécaniques transmissibles par une liaison parfaite
4 Actions mécaniques particulières
5 Lois de Coulomb
6 Principe Fondamental de la Statique (PFS)
2 Modélisation d’une action mécanique
3 Actions mécaniques transmissibles par une liaison parfaite
4 Actions mécaniques particulières
5 Lois de Coulomb
6 Principe Fondamental de la Statique (PFS)
7 Liaisons équivalentes
Introduction
Montage d’usinage
Modélisation d’une action mécanique
Sommaire
1 Introduction
2 Modélisation d’une action mécanique Définition
Notion de force Notion de moment
Torseur d’action mécanique Cas particuliers
3 Actions mécaniques transmissibles par une liaison parfaite
4 Actions mécaniques particulières
Toute cause susceptible de
• maintenir un corps au repos
Modélisation d’une action mécanique Définition
Définition
DÉFINITION: Action mécanique
Toute cause susceptible de
• maintenir un corps au repos
• créer un mouvement
Toute cause susceptible de
• maintenir un corps au repos
• créer un mouvement
• déformer un corps
Modélisation d’une action mécanique Définition
Définition
DÉFINITION: Action mécanique
Toute cause susceptible de
• maintenir un corps au repos
• créer un mouvement
• déformer un corps
On distingue deux types d’actions mécaniques :
Toute cause susceptible de
• maintenir un corps au repos
• créer un mouvement
• déformer un corps
On distingue deux types d’actions mécaniques :
• les actions mécaniques de contact (liaison de contact entre solides, pression,. . . .)
Modélisation d’une action mécanique Définition
Définition
DÉFINITION: Action mécanique
Toute cause susceptible de
• maintenir un corps au repos
• créer un mouvement
• déformer un corps
On distingue deux types d’actions mécaniques :
• les actions mécaniques de contact (liaison de contact entre solides, pression,. . . .)
sa direction
Modélisation d’une action mécanique Notion de force
Notion de force
L’action mécanique est caractérisée par :
sa direction son sens
sa direction son sens son intensité
Modélisation d’une action mécanique Notion de force
Notion de force
L’action mécanique est caractérisée par :
sa direction son sens son intensité
Elle possède donc toutes les caractéristiques d’un vecteur. Un action mécanique représentable par un vecteur est appeléeforce. Cependant cette notion de force n’est pas suffisante pour décrire les actions méca-
Modélisation d’une action mécanique Notion de moment
Notion de moment
Pour définir complètement une action mécanique, il convient de prendre en compte son point d’implication(P):
La porte se ferme
La porte se ferme La porte ne se ferme pas
Modélisation d’une action mécanique Notion de moment
Notion de moment
Il est donc nécessaire d’introduire la notion de moment au point A de la force #»
F appliquée en P et défini par : M#»(A,#»FP)
| {z } notation personnelle
= #»
M(A,F#») = # » AP∧ #»
F
REMARQUE:l’unité d’un moment d’une force est le N.m.
M(B,#»FP)=BP∧FP = BA+AP ∧FP =BA∧FP+AP∧FP
Modélisation d’une action mécanique Torseur d’action mécanique
Torseur d’action mécanique
Puisque
M#»(B,#»FP)= # » BP∧#»
FP =# » BA+# »
AP
∧ #»
FP = # » BA∧#»
FP+ # » AP∧#»
FP d’où:
M#»(B,#»F
P)= #»
M(A,F#»
P)+# » BA∧#»
FP
M(B,#»FP)=BP∧FP = BA+AP ∧FP =BA∧FP+AP∧FP d’où:
M#»(B,#»F
P)= #»
M(A,F#»
P)+# » BA∧#»
FP
Le champ des moments d’une force est donc. . .
Modélisation d’une action mécanique Torseur d’action mécanique
Torseur d’action mécanique
Puisque
M#»(B,#»FP)= # » BP∧#»
FP =# » BA+# »
AP
∧ #»
FP = # » BA∧#»
FP+ # » AP∧#»
FP d’où:
M#»(B,#»F
P)= #»
M(A,F#»
P)+# » BA∧#»
FP
Le champ des moments d’une force est donc. . . un champ de moments !
M(B,#»FP)=BP∧FP = BA+AP ∧FP =BA∧FP+AP∧FP d’où:
M#»(B,#»F
P)= #»
M(A,F#»
P)+# » BA∧#»
FP
Le champ des moments d’une force est donc. . . un champ de moments !Il est donc représentable par un torseur avec comme vecteur résultante, la force appliquée #»
FP: (
FF#»P→Σ
)
=
M
F#»P M#»(M,#»F
P)
Modélisation d’une action mécanique Torseur d’action mécanique
Dans le cas général d’un système S soumis à une force #»
F , le torseur (
F#»F→S
)
de l’action mécanique créée par cette force s’écrit:
( F#»F→S
)
=
M
#»R#»
F→S
M# »(M,#»
F→S)
=
M
X L Y M Z N
B
Lorsqu’il y a plusieurs actions mécaniques, on additionne les torseurs (attention au point où on additionne les torseurs)
(
FP[#»Fi]→Σ
)
=X
R#»F#»i→Σ
M# »
=
X
i
h#»
R#»
Fi→Σ
i Xh# »
M i
Un torseur couple est de la forme (
F#»F→S
)
=
M
#»0 M# »(M,#»
F→S)
avec # »
M(M,F#»→S), #»
0 .
Modélisation d’une action mécanique Cas particuliers
Torseur glisseur
Un torseur glisseur est de la forme (
F#»
F→S
)
=
A
R#»F#»→S
#»0
avec
∀M, # » M(M,#»
F→S).#»
R#»
F→S =0.
F→S
A
#»
0
∀M, # » M(M,#»
F→S).#»
R#»
F→S =0.
L’action mécanique d’une force #»
F appliquée en un point A est modéli- sable par un glisseur.
Modélisation d’une action mécanique Cas particuliers
Torseur glisseur
Un torseur glisseur est de la forme (
F#»
F→S
)
=
A
R#»F#»→S
#»0
avec
∀M, # » M(M,#»
F→S).#»
R#»
F→S =0.
L’action mécanique d’une force #»
F appliquée en un point A est modéli- sable par un glisseur.
DÉMONSTRATION : M# »
(M,#»F→S).#»
RF#»→S = h
✘# »✘✘✘✘ M(A,F#»→S)+# »
MA∧#»
RF#»→S
i.#»
RF#»→S
= h# » MA∧ #»
R#»
F→S
i.#»
R#»
F→S =0
2 Modélisation d’une action mécanique
3 Actions mécaniques transmissibles par une liaison parfaite Rappels sur les liaisons parfaites
Analyse de la liaison pivot Tableau des liaisons usuelles Moyen mnémotechnique Modélisation plane
4 Actions mécaniques particulières
5 Lois de Coulomb
Actions mécaniques transmissibles par une liaison parfaite Rappels sur les liaisons parfaites
Rappels sur les liaisons parfaites
Ces liaisons parfaites ont les caractéristiques suivantes :
• Les pièces mécaniques sont des solides indéformables.
Ces liaisons parfaites ont les caractéristiques suivantes :
• Les pièces mécaniques sont des solides indéformables.
• Les surfaces sont géométriquement parfaites.
Actions mécaniques transmissibles par une liaison parfaite Rappels sur les liaisons parfaites
Rappels sur les liaisons parfaites
Ces liaisons parfaites ont les caractéristiques suivantes :
• Les pièces mécaniques sont des solides indéformables.
• Les surfaces sont géométriquement parfaites.
• Les jeux sont nuls
Ces liaisons parfaites ont les caractéristiques suivantes :
• Les pièces mécaniques sont des solides indéformables.
• Les surfaces sont géométriquement parfaites.
• Les jeux sont nuls
• Le contact est sans frottement ni adhérence.
Actions mécaniques transmissibles par une liaison parfaite Analyse de la liaison pivot
Analyse de la liaison pivot
Une liaison pivot d’axe (O,#»x) permet un mouvement de rotation, autour de cet axe, entre deux solides Si et Sk.
Sa schématisation (norme NF E 04-015) est la suivante : Projection
orthogonale
#»z
#»x Sk Si
Perspective
des roulements, et des arrêts axiaux.
En tout point de l’axe (O,#»x), donc en particulier au point O, les élé- ments de réduction du torseur cinématique associé s’écrivent :
( VS
k/Si
)
=
O
Ω#»(k/i)
ωx
0 0
V#»(O∈Sk/Si)
0 0 0
Actions mécaniques transmissibles par une liaison parfaite Analyse de la liaison pivot
Considérer une liaison pivot d’axe(O,#»x)entre deux solides revient à considérer, d’un point de vue mathématique, les surfaces de liaison comme des surfaces de révolution non cylindriques d’axe(O,#»x):
son moment en O a une projection nulle sur l’axe(O,#»x). En effet
M# »(O,Si→Sk).#»
X = h# » OIl∧d#»
Fl(Si7→Sk)i .#»
X
= h# » OH∧d#»
Fl(Si7→Sk)i .#»
X
| {z }
0
+h# » HIl∧d#»
Fl(Si 7→Sk)i
| {z }
#»0
.#»
X=0
d’après les conditions de nullité du produit vectoriel et du produit mixte.
Actions mécaniques transmissibles par une liaison parfaite Analyse de la liaison pivot
Par conséquent le torseur d’inter-efforts transmissibles par la liaison pivot d’axe(O,#»
X)entre les deux solides Si et Sk s’écrit :
( FS
k→Si
)
=
O
#»RSi→Sk
X Y Z
M# »(O,Sk→Si)
0 M N
La forme de ce torseur est conservée en tout point de l’axe(O,#»
X).
0 dll 0 tr 0 rt
Encastrement ∀M∈(ε)
M ( #»0
#»0 )
M
0 0
0 0
0 0
R0 M
X10 L10 Y10 M10 Z10 N10
R0 1 dll
1 tr 0 rt
Glissière
1 direction#»x
∀M∈(ε) M ( #»
0 V.#»x
)
M
0 u10
0 0
0 0
R0 M
0 L10 Y10 M10 Z10 N10
R0
1 dll 0 tr 1 rt
Pivot
1 axe(A,#»x)
∀M∈(A,#»x) M ( ω.#»x
#»0 )
M
p10 0
0 0
0 0
R0 M
X10 0 Y10 M10 Z10 N10
R0
1 dll 1 tr 1 rt
Hélicoïdale
1 axe(A,#»x)
∀M∈(A,#»x) M ( ω.#»x
V.#»x )
avec V= p 2.π.ω M
p10 p
2.π.p10
0 0
0 0
R0M
X10 −p 2.π.X10 Y10 M10 Z10 N10
R0 2 dll
1 tr 1 rt
Pivot glissant
1 axe(A,#»x)
∀M∈(A,#»x) M ( ω.#»x
V.#»x )
M
p10 u10
0 0
0 0
R0 M
0 0
Y10 M10 Z10 N10
R0
2 dll Rotule à doigt
1 point A,
#»Ω(S1/S0)
#»0
0 0
X10 L10
Actions mécaniques transmissibles par une liaison parfaite Tableau des liaisons usuelles
ddl Nom de la
liaison
Caractéristique géométrique
Torseur cinématique
( V1/0
)
=
X
Ω#»(S1/S0)
V#»(X∈S1/S0)
Torseur des actions mécaniques
transmissibles
3 ddl 0 tr 3 rt
Rotule
1 point A, centre de liaison
A
#»Ω(S1/S0)
#»0
avec#»Ω(S1/S0)
quelconque A
p10 0 q10 0 r10 0
R0 A
X10 0 Y10 0 Z10 0
R0
3 ddl 2 tr 1 rt
Appui plan
Normal au plan
#»y ,∀M∈(ε) M
#»Ω(S1/S0)
#»V(M∈S1/S0)
#»V(M∈avec S1/S0).#»y =
0
M
0 u10 q10 0
0 w10
R0 M
0 L10 Y10 0
0 N10
R0
4 ddl 1 tr 3 rt
Linéaire
annulaire 1 axe(A,#»x), centre de sphère A
A
( #»Ω(S1/S0) V#»x
)
avec#»Ω(S1/S0)
quelconque A
p10 u10 q10 0 r10 0
R0 A
0 0
Y10 0 Z10 0
R0
4 ddl 2 tr 2 rt
Linéaire
rectiligne Normal au plan
#»y , Droite de contact(A,#»x)
A
ωx.#»x +ωy.#»y
#»V(A∈S1/S0)
#» avec V(A∈
S1/S0).#»y = A
p10 u10 q10 0
0 w10
R0 A
0 0
Y10 0 0 N10
R0
Nous verrons dans le programme de deuxième année que la liaison étant parfaite, la puissance des efforts intérieurs à la liaison sont nuls.
Le comoment du torseur cinématique (
VS
2/S1
)
et du torseur des actions mécaniques
( FS
2→S1
)
est donc nul.
R#»S2→S1.#»
V(A∈S2/S1)+#»
Ω(S2/S1).# » M(A,S
2→S1) = 0
X10.u10+Y10.v10+Z10.w10+L10.p10+M10.q10+N10.r10 = 0
Actions mécaniques transmissibles par une liaison parfaite Moyen mnémotechnique
Par exemple pour la liaison pivot:
( VS
2/S1
)
=
A
ω21 0
0 0
0 0
R
⇒
A
X 0 Y M Z N
R
= (
FS2→S1 )
• X , Y et Z sont les composantes de #»
RS2→S1 dans le repèreR.
( VS
2/S1
)
=
A
ω21 0
0 0
0 0
R
⇒
A
X 0 Y M Z N
R
= (
FS2→S1 )
• X , Y et Z sont les composantes de #»
RS2→S1 dans le repèreR.
• L, M et N sont les composantes de # » M(A,S
2→S1)dans le repèreR, avec L=0.
Actions mécaniques transmissibles par une liaison parfaite Moyen mnémotechnique
Par exemple pour la liaison pivot:
( VS
2/S1
)
=
A
ω21 0
0 0
0 0
R
⇒
A
X 0 Y M Z N
R
= (
FS2→S1 )
• X , Y et Z sont les composantes de #»
RS2→S1 dans le repèreR.
• L, M et N sont les composantes de # » M(A,S
2→S1)dans le repèreR, avec L=0.
-
10 10+ 10 10+ 10 10= .
ddl Nom de la liaison Caractéristique
géométrique Torseur cinématique
Torseur des actions mécaniques
transmissibles 0 ddl
0 tr 0 rt
Encastrement ∀M∈(ε) M
− 0
− 0
0 −
R0 M
X10 − Y10 −
− N10
R0 1 ddl
1 tr 0 rt
Glissière 1 direction#»x
∀M∈(ε) M
− u10
− 0
0 −
R0 M
0 −
Y10 −
− N10
R0 1 ddl
0 tr 1 rt
Pivot 1 axe(A,#»z)
∀M∈(A,#»z) M
− 0
− 0 r10 −
R0 M
X10 − Y10 −
− 0
R0 2 ddl
1 tr 1 rt
Ponctuelle plane
Normal au plan
#»y , point de
contact A A
− u10
− 0 r10 −
R0 A
0 −
Y10 −
− 0
R0
Actions mécaniques particulières
Sommaire
1 Introduction
2 Modélisation d’une action mécanique
3 Actions mécaniques transmissibles par une liaison parfaite
4 Actions mécaniques particulières Pesanteur
Pression hydrostatique d’un fluide sur un solide
5 Lois de Coulomb
6 Principe Fondamental de la Statique (PFS)
Le poids #»
P est dirigé de haut en bas et est porté par une droite verticale (en négligeant la rotation de la terre) qui passe par le point matériel.
Chaque point matériel Mi d’un solide S est soumis à cette attraction terrestre :
Actions mécaniques particulières Pesanteur
( FPn
i
P#»i→S
)
=
A
R#»= Xn i=1
P#»i
M#»(A,#»
P i→S)=Pn i=1
# » AMi∧#»Pi
=
A
R=#» Pn i=1mi.#»g M#»(A,#»
P i→S)=Pn i=1
# » AMi∧mi.#»g
Quand la masse est distribuée de manière continue, ce torseur prend la forme (
FP
i
P#»i→S
)
=
A
#»RPi→S =R
M∈S
#»g.dm
M#»(A,#»
P i→S)=R
M∈S
# » AM∧#»g.dm
où dm est l’élément de masse autour du point M.
Actions mécaniques particulières Pesanteur
Le centre de gravité G est le point définit par Z
M∈S
# »
GM.dm= #»
0
soit encore
# » AG= 1
m. Z
M∈S
# » AM.dm
X
i
mi
.# » AG=X
i
mi.# » AMi
X
i
mi
.# » AG=X
i
mi.# » AMi
( F#»g→Σ
)
=
G
( mΣ.#»g 0
)
Actions mécaniques particulières Pesanteur
Le centre de gravité G est le point définit par Z
M∈S
# »
GM.dm= #»
0
soit encore
# » AG= 1
m. Z
M∈S
# » AM.dm
X
i
mi
.# » AG=X
i
mi.# » AMi
( F#»g→Σ
)
=
G
( mΣ.#»g 0
)
REMARQUES :
X
i
mi
.# » AG=X
i
mi.# » AMi
( F#»g→Σ
)
=
G
( mΣ.#»g 0
)
REMARQUES :
• si S possède un plan de symétrie, G y appartient
Actions mécaniques particulières Pesanteur
Le centre de gravité G est le point définit par Z
M∈S
# »
GM.dm= #»
0
soit encore
# » AG= 1
m. Z
M∈S
# » AM.dm
X
i
mi
.# » AG=X
i
mi.# » AMi
( F#»g→Σ
)
=
G
( mΣ.#»g 0
)
REMARQUES :
• si S possède un plan de symétrie, G y appartient
X
i
mi
.# » AG=X
i
mi.# » AMi
( F#»g→Σ
)
=
G
( mΣ.#»g 0
)
REMARQUES :
• si S possède un plan de symétrie, G y appartient
• si S possède un axe de symétrie, G y appartient
Actions mécaniques particulières Pression hydrostatique d’un fluide sur un solide
Pression hydrostatique d’un fluide sur un solide
Soit p(M)la pression en un point M d’un fluide. Le fluide est en contact sur la surfaceΣavec le solide S. On a alors:
( Ffluide→S
)
=
O
!
M∈Σ−p(M).#»n(M).dΣ
!
M∈Σ
# »
OM∧(−p(M).#»n(M)).dΣ
M n#»(M)
p(M).
#»n(M) N
#»n(N) p(N
).n#»
(N )
Où #»n(M) est la normale en M dirigée vers l’extérieur du solide S. La pression exerce une densité de force localement normale à la paroi
2 Modélisation d’une action mécanique
3 Actions mécaniques transmissibles par une liaison parfaite
4 Actions mécaniques particulières
5 Lois de Coulomb
Lois de Coulomb (ou loi du frottement) pour un contact ponctuel Lois de Coulomb pour un contact non ponctuel
6 Principe Fondamental de la Statique (PFS)
Lois de Coulomb Lois de Coulomb (ou loi du frottement) pour un contact ponctuel
Lois de Coulomb (ou loi du frottement) pour un contact ponctuel
Entre deux solides S1 et S2 en contact peuvent se transmettre des actions mécaniques avec frottement (dû aux irrégularités de contact, et au bourrelets de contact). Coulomb a déterminé empiriquement des lois sur les efforts.
Soit
• I le point de contact
Entre deux solides S1 et S2 en contact peuvent se transmettre des actions mécaniques avec frottement (dû aux irrégularités de contact, et au bourrelets de contact). Coulomb a déterminé empiriquement des lois sur les efforts.
Soit
• I le point de contact
• Πle plane tangent commun aux deux solides
Lois de Coulomb Lois de Coulomb (ou loi du frottement) pour un contact ponctuel
Lois de Coulomb (ou loi du frottement) pour un contact ponctuel
Entre deux solides S1 et S2 en contact peuvent se transmettre des actions mécaniques avec frottement (dû aux irrégularités de contact, et au bourrelets de contact). Coulomb a déterminé empiriquement des lois sur les efforts.
Soit
• I le point de contact
• Πle plane tangent commun aux deux solides
• #»n la normale àΠ
Lois de Coulomb Lois de Coulomb (ou loi du frottement) pour un contact ponctuel
Le mouvement de S2par rapport à S1est caractérisé par
• un vecteur vitesse de glissement #»
V(I∈2/1)
Le mouvement de S2par rapport à S1est caractérisé par
• un vecteur vitesse de glissement #»
V(I∈2/1)
• un vecteur rotation #»
Ω(2/1)
Lois de Coulomb Lois de Coulomb (ou loi du frottement) pour un contact ponctuel
Le mouvement de S2par rapport à S1est caractérisé par
• un vecteur vitesse de glissement #»
V(I∈2/1)
• un vecteur rotation #»
Ω(2/1)
• un vecteur rotation de pivotement #»
Ωp(2/1)= (#»
Ω(2/1).#»n).#»n
Le mouvement de S2par rapport à S1est caractérisé par
• un vecteur vitesse de glissement #»
V(I∈2/1)
• un vecteur rotation #»
Ω(2/1)
• un vecteur rotation de pivotement #»
Ωp(2/1)= (#»
Ω(2/1).#»n).#»n
• un vecteur rotation de roulement #»
Ωr(2/1)= #»
Ω(2/1)− #»
Ωp(2/1)
Lois de Coulomb Lois de Coulomb (ou loi du frottement) pour un contact ponctuel
Lois de Coulomb concernant le glissement
Soient
• #»
F(17→2) la force de S1sur S2au niveau du point I
Soient
• #»
F(17→2) la force de S1sur S2au niveau du point I
• #»
N(17→2) la force normale de S1sur S2au niveau du point I N#»(17→2)=#»
F(17→2).#»n .#»n
Lois de Coulomb Lois de Coulomb (ou loi du frottement) pour un contact ponctuel
Lois de Coulomb concernant le glissement
Soient
• #»
F(17→2) la force de S1sur S2au niveau du point I
• #»
N(17→2) la force normale de S1sur S2au niveau du point I N#»(17→2)=#»
F(17→2).#»n .#»n
• #»
T(17→2) la force tangentielle de S1sur S2au niveau du point I T#»(17→2)= #»
F(17→2)− #»
N(17→2)
