Modéliser les systèmes de solides - prévoir et vérifier leurs performances
Td 6 CI-4
LYCÉECARNOT(DIJON), 2020 - 2021
Germain Gondor
Sciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI) Td 6 CI-4 Année 2020 - 2021 1 / 88
Liaisons géométriques
Effectuez le graphe des liaisons puis le schéma cinématique de chaque mécanisme dont les formes des pièces sont définies par les perspectives.
Scie sauteuse
Pompe à pistons radiaux
Liaisons équivalentes
Liaisons équivalentes
Le schéma ci dessous définit l’association de deux liaisons en parallèle entre deux solides.
Sciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI) Td 6 CI-4 Année 2020 - 2021 3 / 88
Liaisons équivalentes
On note # »
OM = a.#»x +b.#»y +c.#»z, a, b et c étant des nombres quel- conques, éventuellement nuls.
Q - 1 :Définir les liaisons L0 et L00 (noms, caractéristiques et tor- seurs cinématiques).
Q - 2 :Écrire le système d’équations définissant le torseur cinéma- tique de la liaison équivalente entre les solides 1 et 2, au point M.
Q - 3 :Si c =0, quelle est la liaison équivalente entre les solides1 et2?
Liaisons équivalentes
Q - 1 :Définir les liaisons L0 et L00 (noms, caractéristiques et torseurs cinéma- tiques).
1 2
L0, pivot glissant(O,#»x) L00, ponctuelle(M,#»y)
V2/1L0 =
O
pL0 uL0
0 0 0 0
B
et V2/1L00 =
M
pL00 uL00
qL00 0 rL00 wL00
B
Sciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI) Td 6 CI-4 Année 2020 - 2021 5 / 88
Liaisons équivalentes
Q - 2 :Écrire le système d’équations définissant le torseur cinéma- tique de la liaison équivalente entre les solides 1 et 2, au point M.
La liaison équivalente entre 2 et 1 doit permettre à la pièce 2 d’obte- nir un mouvement par rapport à 1 compatible avec celui obtenu avec chacune des liaisons entre 2 et 1. Ainsi:
V2/1eq =V2/1L0 =V2/1L00
Plaçons tous ces torseurs au pointM. V#»L(M,2/1)0 = #»
VL(O,2/1)0 +# » MO∧#»
ΩL(2/1)0
= uL0−(a.#»x +b.#»y +c.#»z)∧pL0.#»x
= uL0−c.pL0.#»y +b.pL0.#»z
Liaisons équivalentes
Q - 2 :Écrire le système d’équations définissant le torseur cinéma- tique de la liaison équivalente entre les solides 1 et 2, au point M.
La liaison équivalente entre 2 et 1 doit permettre à la pièce 2 d’obte- nir un mouvement par rapport à 1 compatible avec celui obtenu avec chacune des liaisons entre 2 et 1. Ainsi:
V2/1eq =V2/1L0 =V2/1L00
Plaçons tous ces torseurs au pointM. V#»L(M,2/1)0 = #»
VL(O,2/1)0 +# » MO∧#»
ΩL(2/1)0
= uL0−(a.#»x +b.#»y +c.#»z)∧pL0.#»x
= uL0−c.pL0.#»y +b.pL0.#»z
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Liaisons équivalentes
Q - 2 :Écrire le système d’équations définissant le torseur cinéma- tique de la liaison équivalente entre les solides 1 et 2, au point M.
La liaison équivalente entre 2 et 1 doit permettre à la pièce 2 d’obte- nir un mouvement par rapport à 1 compatible avec celui obtenu avec chacune des liaisons entre 2 et 1. Ainsi:
V2/1eq =V2/1L0 =V2/1L00
Plaçons tous ces torseurs au pointM. V#»L(M,2/1)0 = #»
VL(O,2/1)0 +# » MO∧#»
ΩL(2/1)0
= uL0−(a.#»x +b.#»y +c.#»z)∧pL0.#»x
= uL0−c.pL0.#»y +b.pL0.#»z
Liaisons équivalentes
Q - 2 :Écrire le système d’équations définissant le torseur cinéma- tique de la liaison équivalente entre les solides 1 et 2, au point M.
La liaison équivalente entre 2 et 1 doit permettre à la pièce 2 d’obte- nir un mouvement par rapport à 1 compatible avec celui obtenu avec chacune des liaisons entre 2 et 1. Ainsi:
V2/1eq =V2/1L0 =V2/1L00
Plaçons tous ces torseurs au pointM.
V#»L(M,2/1)0 = #»
VL(O,2/1)0 +# » MO∧#»
ΩL(2/1)0
= uL0−(a.#»x +b.#»y +c.#»z)∧pL0.#»x
= uL0−c.pL0.#»y +b.pL0.#»z
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Liaisons équivalentes
L’égalité des torseurs nous conduit au système suivant:
p= pL0 =pL00 q= 0 = 0
r= 0 = 0 u= uL0 =uL00 v=−c.pL0= 0 w=b.pL0 =wL00
⇒
p=
pL0 = pL00
q= 0 = 0
r= 0 = 0
u= uL0 =uL00 v=−c.
pL0= 0 w=b.
pL0 = wL00
⇒ V2/1eq =
M
0 u 0 0 0 0
B
Il s’agit donc une glissière d’axe #»x
Liaisons équivalentes
Q - 3 :Si c =0, quelle est la liaison équivalente entre les solides1 et2?
Sic =0
p= pL0 =pL00 q= 0 = 0
r= 0 = 0 u= uL0 =uL00 v= 0 = 0 w=b.pL0=wL00
⇒
p= pL0 =pL00
q= 0 = 0
r= 0 = 0
u= uL0 =uL00
v= 0 = 0
w=b.pL0=wL00
⇒ V2/1eq =
M
p u
0 0
0 b.p
B
Sciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI) Td 6 CI-4 Année 2020 - 2021 8 / 88
Liaisons équivalentes
Q - 3 :Si c =0, quelle est la liaison équivalente entre les solides1 et2?
Sic =0
p= pL0 =pL00 q= 0 = 0
r= 0 = 0 u= uL0 =uL00 v= 0 = 0 w=b.pL0=wL00
⇒
p= pL0 =pL00
q= 0 = 0
r= 0 = 0
u= uL0 =uL00
v= 0 = 0
w=b.pL0=wL00
⇒ V2/1eq =
p u
0 0
0 b.p
Liaisons équivalentes
Exprimons ce torseur au pointO:
V#»eq(O,2/1) = #»
Veq(M,2/1)+# » OM∧ #»
Ω(2/1)eq
= u.#»x +b.p.#»z + (a.x#»+b.#»y)∧p.#»x
= u.#»x +b.p.#»z −b.p.#»z =u.#»x doncV2/1eq =
O
p u 0 0 0 0
B
.
La liaison équivalente entre 1 et 2, est donc une liaison pivot glissant d’axe(O,#»x)
Sciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI) Td 6 CI-4 Année 2020 - 2021 9 / 88
Liaisons équivalentes
Exprimons ce torseur au pointO:
V#»eq(O,2/1) = #»
Veq(M,2/1)+# » OM∧ #»
Ω(2/1)eq
= u.#»x +b.p.#»z + (a.x#»+b.#»y)∧p.#»x
= u.#»x +b.p.#»z −b.p.#»z =u.#»x
doncV2/1eq =
O
p u 0 0 0 0
B
.
La liaison équivalente entre 1 et 2, est donc une liaison pivot glissant d’axe(O,#»x)
Liaisons équivalentes
Exprimons ce torseur au pointO:
V#»eq(O,2/1) = #»
Veq(M,2/1)+# » OM∧ #»
Ω(2/1)eq
= u.#»x +b.p.#»z + (a.x#»+b.#»y)∧p.#»x
= u.#»x +b.p.#»z −b.p.#»z =u.#»x doncV2/1eq =
O
p u 0 0 0 0
B
.
La liaison équivalente entre 1 et 2, est donc une liaison pivot glissant d’axe(O,#»x)
Sciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI) Td 6 CI-4 Année 2020 - 2021 9 / 88
Liaisons équivalentes
Exprimons ce torseur au pointO:
V#»eq(O,2/1) = #»
Veq(M,2/1)+# » OM∧ #»
Ω(2/1)eq
= u.#»x +b.p.#»z + (a.x#»+b.#»y)∧p.#»x
= u.#»x +b.p.#»z −b.p.#»z =u.#»x doncV2/1eq =
O
p u 0 0 0 0
B
.
La liaison équivalente entre 1 et 2, est donc une liaison pivot glissant d’axe(O,#»x)
Pompe oscillante
Pompe oscillante
On considère une pompe oscil- lante.
La manivelle(1)tourne par rapport au bâti (0) autour de l’axe (0,#»z).
Le piston (2) tourne par rapport à (1) autour de l’axe (A,#»z). Le bloc oscillant (3) est de forme sphé- rique. (2) et (3) glissent l’un dans l’autre selon la direction(AB).
Q - 1 :Expliquer le fonctionnement de cette pompe.
Q - 2 :Tracer le graphe des liaisons.
Q - 3 :Dessiner le schéma cinématique de ce mécanisme.
Q - 4 :Dessiner le schéma cinématique d’une modélisation plane de ce mécanisme.
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Mécanisme à mouvement alternatif
Mécanisme à mouvement alternatif
A B
C D
#»y0
#»x0
#»y1
#»x1
#»x2 β
α
−
→x0
−
→y0
−
→z1 −→ z0
−
→x1
−
→y1
α α
−
→
−
→y0
−
→x2
−
→y2
β β
Mécanisme à mouvement alternatif
Au bâti0est associé le repèreR0(O, ~x0, ~y0, ~z0). on pose:
−−→OA=a.−→ y0
−−→OB=b.→− y0
La pièce1est liée au bâti0par une liaison pivot d’axeO,→−
z0. On lui attache le repèreR1(O, ~x1, ~y1, ~z0)et on pose:α= (→−
x0,→− x1)
La biellette2est liée au bâti0par une liaison pivot d’axe(A,−→
z0). On lui attache le repèreR2(O, ~x2, ~y2, ~z2)et on pose:−−→
AC=c.−→
x2 β= (−→ x0,−→
x2)
Elle est également liée à la pièce 1 en C, par une liaison linéaire annulaire d’axe(O,−→
x1).
Le coulisseau3est lié au bâti par une liaison glissière d’axe(B,→−
x0). On pose:
−−→BD=λ.−→ x0
Il est également liée à la pièce1en D par une liaison linéaire annulaire d’axe (O,→−
x1).
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Mécanisme à mouvement alternatif
O A B
C D
#»y0
#»x0
#»y1
#»x1
#»x2
β
α
−
→x0
−
→y0
−
→z1 −→ z0
−
→x1
−
→y1
α α
−
→x0
−
→y0
−
→z −→ z
−
→x2
−
→y2
β β
Mécanisme à mouvement alternatif
Le problème est supposé plan. L’objectif est de déterminer les relations entre les différents paramètres dans un système en chaîne fermée. Le système considéré est un mécanisme à mouvement alternatif.
Q - 1 :Tracer le graphe de structure (ou graphe des liaisons) ;
0 1
2 3 L1/0
L2/0
L3/0
L2/1
L3/1 L1/0 Pivot(O,#»z0) L2/0 Pivot(A,#»z0) L3/0 Glissière(#»x0)
L2/1 Linéaire annulaire(C,#»x1) L3/1 Linéaire annulaire(D,#»x1)
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Mécanisme à mouvement alternatif
Le problème est supposé plan. L’objectif est de déterminer les relations entre les différents paramètres dans un système en chaîne fermée. Le système considéré est un mécanisme à mouvement alternatif.
Q - 1 :Tracer le graphe de structure (ou graphe des liaisons) ;
0 1
2 3 L1/0
L2/0
L3/0
L2/1
L3/1 L1/0 Pivot(O,#»z0) L2/0 Pivot(A,#»z0) L3/0 Glissière(#»x0)
L2/1 Linéaire annulaire(C,#»x1) L3/1 Linéaire annulaire(D,#»x1)
Mécanisme à mouvement alternatif
Le problème est supposé plan. L’objectif est de déterminer les relations entre les différents paramètres dans un système en chaîne fermée. Le système considéré est un mécanisme à mouvement alternatif.
Q - 1 :Tracer le graphe de structure (ou graphe des liaisons) ;
0 1
2 3 L1/0
L2/0
L3/0
L2/1
L3/1 L1/0 Pivot(O,#»z0) L2/0 Pivot(A,#»z0) L3/0 Glissière(#»x0)
L2/1 Linéaire annulaire(C,#»x1) L3/1 Linéaire annulaire(D,#»x1)
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Mécanisme à mouvement alternatif
Q - 2 :Déterminer une relation entreαetβà l’aide d’une fermeture géométrique.
L’angleαest lié aux vecteurs # » OC et # »
OD. L’angleβest lié au vecteur
# »
AC. Ainsi une fermeture géométrique intéressant est OAC:
# » OA+# »
AC+ # »
CO = #» 0 a.#»y0+c.#»x2−µ.#»x1 = #» 0
Mécanisme à mouvement alternatif
Q - 2 :Déterminer une relation entreαetβà l’aide d’une fermeture géométrique.
L’angleαest lié aux vecteurs # » OCet # »
OD. L’angleβest lié au vecteur
# »
AC. Ainsi une fermeture géométrique intéressant est OAC:
# » OA+# »
AC+# »
CO = #»
0 a.#»y0+c.#»x2−µ.#»x1 = #»
0
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Mécanisme à mouvement alternatif
Deux possibilités pour obtenir une relation entreαetβ:
• Projection de la fermeture géométrique dans la baseB0
0+c.cos(β)−µ.cos(α) = 0 a+c.sin(β)−µ.sin(α) = 0
0 = 0
⇒ tan(α) = µ.sin(α)
µ.cos(α) = a+c.sin(β) c.cos(β)
• Projection directement sur #»y1pour éliminerµ: (a.#»y0+c.#»x2−µ.#»x1).#»y1 = 0
⇒ a.cos(α) +c.sin(β−α) =0
Mécanisme à mouvement alternatif
Deux possibilités pour obtenir une relation entreαetβ:
• Projection de la fermeture géométrique dans la baseB0
0+c.cos(β)−µ.cos(α) = 0 a+c.sin(β)−µ.sin(α) = 0
0 = 0
⇒ tan(α) = µ.sin(α)
µ.cos(α) = a+c.sin(β) c.cos(β)
• Projection directement sur #»y1pour éliminerµ: (a.#»y0+c.#»x2−µ.#»x1).#»y1 = 0
⇒ a.cos(α) +c.sin(β−α) =0
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Mécanisme à mouvement alternatif
Deux possibilités pour obtenir une relation entreαetβ:
• Projection de la fermeture géométrique dans la baseB0
0+c.cos(β)−µ.cos(α) = 0 a+c.sin(β)−µ.sin(α) = 0
0 = 0
⇒ tan(α) = µ.sin(α)
µ.cos(α) = a+c.sin(β) c.cos(β)
• Projection directement sur #»y1pour éliminerµ:
(a.#»y0+c.#»x2−µ.#»x1).#»y1 = 0
⇒ a.cos(α) +c.sin(β−α) =0
Mécanisme à mouvement alternatif
Q - 3 :Caractériser les torseurs cinématiques associes à chaque liaison.
V1/0 =
O
0 0
0 0
r10 0
B0
=
O
0 0 0 0 α˙ 0
B0
=
O
( α.˙#»0#»z0
)
V2/0 =
A
0 0
0 0
r20 0
B0
=
A
0 0 0 0 β˙ 0
B0
=
A
( β.˙#»z0
#»0 )
V3/0 =
M
0 u30
0 0
0 0
B0
=
M
0 λ˙ 0 0 0 0
B0
=
M
( #»0 λ.˙#»x0
)
En effet,
#»V(M,3/0)=V#»(D,3/0)+MD# »
∧Ω#»(3/0)=V#»(D,3/0)=
d dt
OD# »
B0
−
d dt
DD# »
B3
=
d
dt(λ.#»x0+b.#»y0)
B0
= ˙λ.#»x0
V2/1 =
C
p21 u21 q21 0
r21 0
B1
et V3/1=
D
p31 u31 q31 0 r31 0
B1
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Mécanisme à mouvement alternatif
Q - 3 :Caractériser les torseurs cinématiques associes à chaque liaison.
V1/0 =
O
0 0
0 0
r10 0
B0
=
O
0 0 0 0 α˙ 0
B0
=
O
( α.˙#»z0
#»0 )
V2/0 =
A
0 0
0 0
r20 0
B0
=
A
0 0 0 0 β˙ 0
B0
=
A
( β.˙#»z0
#»0 )
V3/0 =
M
0 u30
0 0
0 0
B0
=
M
0 λ˙ 0 0 0 0
B0
=
M
( #»0 λ.˙#»x0
)
En effet,
#»V(M,3/0)=V#»(D,3/0)+MD# »
∧Ω#»(3/0)=V#»(D,3/0)=
d dt
OD# »
B0
−
d dt
DD# »
B3
=
d
dt(λ.#»x0+b.#»y0)
B0
= ˙λ.#»x0
V2/1 =
C
p21 u21 q21 0
r21 0
B1
et V3/1=
D
p31 u31 q31 0 r31 0
B1
Mécanisme à mouvement alternatif
Q - 3 :Caractériser les torseurs cinématiques associes à chaque liaison.
V1/0 =
O
0 0
0 0
r10 0
B0
=
O
0 0 0 0 α˙ 0
B0
=
O
( α.˙#»z0
#»0 )
V2/0 =
A
0 0
0 0
r20 0
B0
=
A
0 0 0 0 β˙ 0
B0
=
A
( β.˙#»z0
#»0 )
V3/0 =
M
0 u30
0 0
0 0
B0
=
M
0 λ˙ 0 0 0 0
B0
=
M
( #»0 λ.˙#»x0
)
En effet,
#»V(M,3/0)=V#»(D,3/0)+MD# »
∧Ω#»(3/0)=V#»(D,3/0)=
d dt
OD# »
B0
−
d dt
DD# »
B3
=
d
dt(λ.#»x0+b.#»y0)
B0
= ˙λ.#»x0
V2/1 =
C
p21 u21 q21 0
r21 0
B1
et V3/1=
D
p31 u31 q31 0 r31 0
B1
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Mécanisme à mouvement alternatif
Q - 3 :Caractériser les torseurs cinématiques associes à chaque liaison.
V1/0 =
O
0 0
0 0
r10 0
B0
=
O
0 0 0 0 α˙ 0
B0
=
O
( α.˙#»z0
#»0 )
V2/0 =
A
0 0
0 0
r20 0
B0
=
A
0 0 0 0 β˙ 0
B0
=
A
( β.˙#»z0
#»0 )
V3/0 =
M
0 u30
0 0
0 0
B0
=
M
0 λ˙ 0 0 0 0
B0
=
M
( #»0 λ.˙#»x0
)
En effet,
#»V(M,3/0)=V#»(D,3/0)+MD# »
∧Ω#»(3/0)=V#»(D,3/0)=
d dt
OD# »
B0
−
d dt
DD# »
B3
=
d
dt(λ.#»x0+b.#»y0)
B0
= ˙λ.#»x0
Mécanisme à mouvement alternatif
Q - 4 :Déterminer la relation entreβ˙etα. en fonction de la géomé-˙ trie et des différents angles.
Pour déterminer la relation entreβ˙ etα, deux possibilités se˙ présentent:
• dérivation de la fermeture géométrique: d
dt[a.cos(α) +c.sin(β−α) =0] ⇒ −α.a.˙ sin(α) + ( ˙β−α).c.˙ cos(β−α) =0 ⇒ α˙ = c.cos(β−α) a.sin(α) +c.cos(β−α).β˙
• fermeture cinématique:V2/0=V2/1+V1/0
Comme les torseurs sont exprimés en 3 points différents et que le torseur le plus difficilement transportable est celui lié à la liaison linéaire annulaire, la fermeture cinématique sera exprimée enC:
V#»(C,2/0) = #»
V(A,2/0)+# » CA∧#»
Ω(2/0)=#»
0 −c.#»x2∧β.˙ #»z2= ˙β.c.#»y2
⇒ V2/0=
C
( β.˙ #»z0
β.c.˙ #»y2
)
V#»(C,1/0) = #»
V(O,1/0)+# » CO∧#»
Ω(1/0)
= #»
0 −(c.#»x2+a.#»y0)∧α.˙ #»z0= ˙α.(c.#»y2−a.#»x0)
⇒ V1/0 =
C
( α.˙ #»z0
α.˙ (c.#»y2−a.#»x0) )
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Mécanisme à mouvement alternatif
Q - 4 :Déterminer la relation entreβ˙etα. en fonction de la géomé-˙ trie et des différents angles.
Pour déterminer la relation entreβ˙ etα, deux possibilités se˙ présentent:
• dérivation de la fermeture géométrique: d
dt[a.cos(α) +c.sin(β−α) =0] ⇒ −α.a.˙ sin(α) + ( ˙β−α).c.˙ cos(β−α) =0 ⇒ α˙ = c.cos(β−α) a.sin(α) +c.cos(β−α).β˙
• fermeture cinématique:V2/0=V2/1+V1/0
Comme les torseurs sont exprimés en 3 points différents et que le torseur le plus difficilement transportable est celui lié à la liaison linéaire annulaire, la fermeture cinématique sera exprimée enC:
V#»(C,2/0) = #»
V(A,2/0)+# » CA∧#»
Ω(2/0)=#»
0 −c.#»x2∧β.˙ #»z2= ˙β.c.#»y2
⇒ V2/0=
C
( β.˙ #»z0
β.c.˙ #»y2
)
V#»(C,1/0) = #»
V(O,1/0)+# » CO∧#»
Ω(1/0)
= #»
0 −(c.#»x2+a.#»y0)∧α.˙ #»z0= ˙α.(c.#»y2−a.#»x0)
⇒ V1/0 =
C
( α.˙ #»z0
α.˙ (c.#»y2−a.#»x0) )
Mécanisme à mouvement alternatif
Q - 4 :Déterminer la relation entreβ˙etα. en fonction de la géomé-˙ trie et des différents angles.
Pour déterminer la relation entreβ˙ etα, deux possibilités se˙ présentent:
• dérivation de la fermeture géométrique:
d
dt[a.cos(α) +c.sin(β−α) =0] ⇒ −α.a.˙ sin(α) + ( ˙β−α).c.˙ cos(β−α) =0 ⇒ α˙ = c.cos(β−α) a.sin(α) +c.cos(β−α).β˙
• fermeture cinématique:V2/0=V2/1+V1/0
Comme les torseurs sont exprimés en 3 points différents et que le torseur le plus difficilement transportable est celui lié à la liaison linéaire annulaire, la fermeture cinématique sera exprimée enC:
V#»(C,2/0) = #»
V(A,2/0)+# » CA∧#»
Ω(2/0)=#»
0 −c.#»x2∧β.˙ #»z2= ˙β.c.#»y2
⇒ V2/0=
C
( β.˙ #»z0
β.c.˙ #»y2
)
V#»(C,1/0) = #»
V(O,1/0)+# » CO∧#»
Ω(1/0)
= #»
0 −(c.#»x2+a.#»y0)∧α.˙ #»z0= ˙α.(c.#»y2−a.#»x0)
⇒ V1/0 =
C
( α.˙ #»z0
α.˙ (c.#»y2−a.#»x0) )
Sciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI) Td 6 CI-4 Année 2020 - 2021 18 / 88
