Modéliser les systèmes de solides - prévoir et vérifier leurs performances
Td 6-bis CI-4
S
YSTÈMEC
AME- G
ALETParamétrage
0 0
x A
O C 2 B 1
#» y
0#» z
0#» y
1−
→ y
0−
→ z
0−
→ x
1− → x
0−
→ y
1−
→ z
1θ θ
# »
OA = e. #» y
1et # »
AB = R. #» z
0et aussi # »
CB = µ(t ). #» y
0.
R
0= (O, #» x
0, #» y
0, #» z
0) ; R
1= (A, #» x
1, #» y
1, #» z
1)
R
2= (C, #» x
0, #» y
0, #» z
0)
Paramétrage
0 0
x A
O C 2 B 1
#» y
0#» z
0#» y
1−
→ y
0−
→ z
0−
→ x
1− → x
0−
→ y
1−
→ z
1θ θ
# »
OA = e. #» y
1et # »
AB = R. #» z
0et aussi # »
CB = µ(t ). #» y
0.
R
0= (O, #» x
0, #» y
0, #» z
0) ; R
1= (A, #» x
1, #» y
1, #» z
1)
#» #» #»
Méthode 1 : avec les torseurs
Méthode 1 : avec les torseurs
V 1/0 =
O
( θ(t). ˙ #» x 0
#» 0 )
; V 2/0 =
C
( #»
0 w 20 (t). #» z 0
)
et V 2/1 =
B
( ω 21 (t). #» x 0 v 21 (t). #» y 0
)
V #» (B,1/0) =
#»
V (O,1/0) + # » BO ∧ #»
Ω (1/0) = (−R. #» z 0 − e. y #» 1 ) ∧ θ(t). ˙ #» x 0
= −R. θ(t). ˙ #» y 0 + e. θ(t). ˙ #» z 1
V #» (B,2/0) = w 20 (t). #» z 0
Méthode 1 : avec les torseurs
Méthode 1 : avec les torseurs
V 1/0 =
O
( θ(t). ˙ #» x 0
#» 0 )
; V 2/0 =
C
( #»
0 w 20 (t). #» z 0
)
et V 2/1 =
B
( ω 21 (t). #» x 0 v 21 (t). #» y 0
)
V #» (B,1/0) =
#»
V (O,1/0) + # » BO ∧ #»
Ω (1/0) = (−R. #» z 0 − e. y #» 1 ) ∧ θ(t). ˙ #» x 0
= −R. θ(t). ˙ #» y 0 + e. θ(t). ˙ #» z 1
V #» (B,2/0) = w 20 (t). #» z 0
Méthode 1 : avec les torseurs
Méthode 1 : avec les torseurs
V 1/0 =
O
( θ(t). ˙ #» x 0
#» 0 )
; V 2/0 =
C
( #»
0 w 20 (t). #» z 0
)
et V 2/1 =
B
( ω 21 (t). #» x 0 v 21 (t). #» y 0
)
V #» (B,1/0) =
#»
V (O,1/0) + # » BO ∧ #»
Ω (1/0) = (−R. #» z 0 − e. y #» 1 ) ∧ θ(t). ˙ #» x 0
= −R. θ(t). ˙ #» y 0 + e. θ(t). ˙ #» z 1
V #» (B,2/0) = w 20 (t). #» z 0
Méthode 1 : avec les torseurs
Méthode 1 : avec les torseurs
V 1/0 =
O
( θ(t). ˙ #» x 0
#» 0 )
; V 2/0 =
C
( #»
0 w 20 (t). #» z 0
)
et V 2/1 =
B
( ω 21 (t). #» x 0 v 21 (t). #» y 0
)
V #» (B,1/0) =
#»
V (O,1/0) + # » BO ∧ #»
Ω (1/0)
= (−R. #» z 0 − e. #» y 1 ) ∧ θ(t). ˙ #» x 0
= −R. θ(t). ˙ #» y 0 + e. θ(t). ˙ #» z 1
V #» (B,2/0) = w 20 (t). #» z 0
Méthode 1 : avec les torseurs
Méthode 1 : avec les torseurs
V 1/0 =
O
( θ(t). ˙ #» x 0
#» 0 )
; V 2/0 =
C
( #»
0 w 20 (t). #» z 0
)
et V 2/1 =
B
( ω 21 (t). #» x 0 v 21 (t). #» y 0
)
V #» (B,1/0) =
#»
V (O,1/0) + # » BO ∧ #»
Ω (1/0) = (−R. #» z 0 − e. y #» 1 ) ∧ θ(t). ˙ #» x 0
= −R. θ(t). ˙ #» y 0 + e. θ(t). ˙ #» z 1
V #» (B,2/0) = w 20 (t). #» z 0
Méthode 1 : avec les torseurs
Méthode 1 : avec les torseurs
V 1/0 =
O
( θ(t). ˙ #» x 0
#» 0 )
; V 2/0 =
C
( #»
0 w 20 (t). #» z 0
)
et V 2/1 =
B
( ω 21 (t). #» x 0 v 21 (t). #» y 0
)
V #» (B,1/0) =
#»
V (O,1/0) + # » BO ∧ #»
Ω (1/0) = (−R. #» z 0 − e. y #» 1 ) ∧ θ(t). ˙ #» x 0
= −R. θ(t). ˙ #» y 0 + e. θ(t). ˙ #» z 1
V #» (B,2/0) = w 20 (t). #» z 0
Méthode 1 : avec les torseurs
Méthode 1 : avec les torseurs
V 1/0 =
O
( θ(t). ˙ #» x 0
#» 0 )
; V 2/0 =
C
( #»
0 w 20 (t). #» z 0
)
et V 2/1 =
B
( ω 21 (t). #» x 0 v 21 (t). #» y 0
)
V #» (B,1/0) =
#»
V (O,1/0) + # » BO ∧ #»
Ω (1/0) = (−R. #» z 0 − e. y #» 1 ) ∧ θ(t). ˙ #» x 0
= −R. θ(t). ˙ #» y 0 + e. θ(t). ˙ #» z 1
V #» (B,2/0) = w 20 (t). #» z 0
Méthode 1 : avec les torseurs
V 2/0 = V 2/1 + V 1/0 ⇒
Ω #» (2/0) = #»
Ω (2/1) + #»
Ω (1/0) V #» (B,2/0) = #»
V (B,2/1) + #»
V (B,1/0)
⇒
#» 0 = θ(t). ˙ #» x 0 + ω 21 (t). #» x 0
w 20 (t). #» z 0 = v 21 (t). #» y 0 − R. θ(t). ˙ #» y 0 + e. θ(t). ˙ #» z 1
⇒ V 2/0 =
B
( #»
0
e. θ(t). ˙ cos(θ(t)). #» z 0 )
et V 2/1 =
B
( − θ(t). ˙ #» x 0
θ(t). ˙ [R + e. sin(θ(t))] . #» y 0
)
Méthode 1 : avec les torseurs
V 2/0 = V 2/1 + V 1/0 ⇒
Ω #» (2/0) = #»
Ω (2/1) + #»
Ω (1/0) V #» (B,2/0) = #»
V (B,2/1) + #»
V (B,1/0)
⇒
#» 0 = θ(t). ˙ #» x 0 + ω 21 (t). #» x 0
w 20 (t). #» z 0 = v 21 (t). #» y 0 − R. θ(t). ˙ #» y 0 + e. θ(t). ˙ #» z 1
⇒ V 2/0 =
B
( #»
0
e. θ(t). ˙ cos(θ(t)). #» z 0 )
et V 2/1 =
B
( − θ(t). ˙ #» x 0
θ(t). ˙ [R + e. sin(θ(t))] . #» y 0
)
Méthode 1 : avec les torseurs
V 2/0 = V 2/1 + V 1/0 ⇒
Ω #» (2/0) = #»
Ω (2/1) + #»
Ω (1/0) V #» (B,2/0) = #»
V (B,2/1) + #»
V (B,1/0)
⇒
#» 0 = θ(t). ˙ #» x 0 + ω 21 (t). #» x 0
w 20 (t). #» z 0 = v 21 (t). #» y 0 − R. θ(t). ˙ #» y 0 + e. θ(t). ˙ #» z 1
⇒ V 2/0 =
B
( #»
0
e. θ(t). ˙ cos(θ(t)). #» z 0 )
et V 2/1 =
( − θ(t). ˙ #» x 0
θ(t). ˙ e. sin(θ(t))] . #»
)
Méthode 2 : dérivation vectorielle ?
Méthode 2 : dérivation vectorielle ?
On cherche la vitesse de glissement en B entre 2 et 1:
V #» (B,2/1) = #»
V (B/1) − #» V (B/2) =
d dt
# » AB
1
−
d dt
# » CB
2
=
d
dt (R. #» z 0 )
1
−
d
dt (µ(t). #» y 0 )
2
=
d
dt (R. #» z 0 )
0
+ #» Ω (0/1)
|{z}
−˙ θ(t ). #» x
0∧R. #» z 0 − µ(t). ˙ #» y 0
= R. θ. ˙ #» y 0 − µ(t). ˙ #» y 0 or que vaut µ(t) ˙ ?
Méthode 2 : dérivation vectorielle ?
Méthode 2 : dérivation vectorielle ?
On cherche la vitesse de glissement en B entre 2 et 1:
V #» (B,2/1) = #»
V (B/1) − #»
V (B/2) =
d dt
# » AB
1
−
d dt
# » CB
2
=
d
dt (R. #» z 0 )
1
−
d
dt (µ(t). #» y 0 )
2
=
d
dt (R. #» z 0 )
0
+ #» Ω (0/1)
|{z}
−˙ θ(t ). #» x
0∧R. #» z 0 − µ(t). ˙ #» y 0
= R. θ. ˙ #» y 0 − µ(t). ˙ #» y 0 or que vaut µ(t) ˙ ?
Méthode 2 : dérivation vectorielle ?
Méthode 2 : dérivation vectorielle ?
On cherche la vitesse de glissement en B entre 2 et 1:
V #» (B,2/1) = #»
V (B/1) − #»
V (B/2) =
d dt
# » AB
1
−
d dt
# » CB
2
=
d
dt (R. #» z 0 )
1
−
d
dt (µ(t). #» y 0 )
2
=
d
dt (R. #» z 0 )
0
+ #» Ω (0/1)
|{z}
−˙ θ(t ). #» x
0∧R. #» z 0 − µ(t). ˙ #» y 0
= R. θ. ˙ #» y 0 − µ(t). ˙ #» y 0 or que vaut µ(t) ˙ ?
Méthode 2 : dérivation vectorielle ?
Méthode 2 : dérivation vectorielle ?
On cherche la vitesse de glissement en B entre 2 et 1:
V #» (B,2/1) = #»
V (B/1) − #»
V (B/2) =
d dt
# » AB
1
−
d dt
# » CB
2
=
d
dt (R. #» z 0 )
1
−
d
dt (µ(t). #» y 0 )
2
=
d
dt (R. #» z 0 )
0
+ #»
Ω (0/1)
|{z}
−˙ θ(t ). #» x
0∧R. #» z 0 − µ(t). ˙ #» y 0
= R. θ. ˙ #» y 0 − µ(t). ˙ #» y 0 or que vaut µ(t) ˙ ?
Méthode 2 : dérivation vectorielle ?
Méthode 2 : dérivation vectorielle ?
On cherche la vitesse de glissement en B entre 2 et 1:
V #» (B,2/1) = #»
V (B/1) − #»
V (B/2) =
d dt
# » AB
1
−
d dt
# » CB
2
=
d
dt (R. #» z 0 )
1
−
d
dt (µ(t). #» y 0 )
2
=
d
dt (R. #» z 0 )
0
+ #»
Ω (0/1)
|{z}
−˙ θ(t ). #» x
0∧R. #» z 0 − µ(t). ˙ #» y 0
= R. θ. ˙ #» y 0 − µ(t). ˙ #» y 0
or que vaut µ(t) ˙ ?
Méthode 2 : dérivation vectorielle ?
Méthode 2 : dérivation vectorielle ?
On cherche la vitesse de glissement en B entre 2 et 1:
V #» (B,2/1) = #»
V (B/1) − #»
V (B/2) =
d dt
# » AB
1
−
d dt
# » CB
2
=
d
dt (R. #» z 0 )
1
−
d
dt (µ(t). #» y 0 )
2
=
d
dt (R. #» z 0 )
0
+ #»
Ω (0/1)
|{z}
−˙ θ(t ). #» x
0∧R. #» z 0 − µ(t). ˙ #» y 0
= R. θ. ˙ #» y − µ(t). ˙ #» y or que vaut µ(t) ˙ ?
Méthode 2 : dérivation vectorielle ?
# »
CB. #» y 0 = # » CO + # »
OA + # » AB
. #» y 0 = e. #» y 1 . #» y 0 = e. cos(θ(t))
⇒ µ(t) ˙ = −e. θ(t) sin(θ(t)) ˙
⇒ #»
V (B,2/1) = [R + e. sin(θ(t))] . θ(t). ˙ #» y 0
Méthode 2 : dérivation vectorielle ?
# »
CB. #» y 0 = # » CO + # »
OA + # » AB
. #» y 0 = e. #» y 1 . #» y 0 = e. cos(θ(t))
⇒ µ(t) ˙ = −e. θ(t) sin(θ(t)) ˙
⇒ #»
V (B,2/1) = [R + e. sin(θ(t))] . θ(t). ˙ #» y 0
Méthode 2 : dérivation vectorielle ?
