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Prévoir et vérifier les performances cinématiques des systèmes.

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Academic year: 2021

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Texte intégral

(1)

Prévoir et vérifier les performances cinématiques des systèmes.

Td 5 CI-3

L

YCÉE

C

ARNOT

(D

IJON

), 2019 - 2020

Germain Gondor

Sciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI) Td 5 - CI-3 Année 2019 - 2020 1 / 45

(2)

Vecteurs Figures planes de calculs ou figures géométrales

Figures planes de calculs ou figures géométrales

Soient deux bases orthonormées directes ( #»

i , #»

j , #»

k ) et ( #» u , #» v , w #» ) telles que α = ( #»

i , #» u ) et w #» . #»

k = 1 et une troisième base orthonormée directe ( #» x , #» y , #» z ) telle que β = ( #» u , #» x ) et w #» . #» z = 1.

Q - 1 : Représenter la figure géométrale montrant le passage de la base ( #»

i , #»

j , #»

k ) à la base ( #» u , #» v , w #» ).

Q - 2 : Déterminer les composantes de #» u et de #» v dans la base ( #»

i , #»

j , #»

k ) en fonction de l’angle α.

Q - 3 : Représenter la figure géométrale montrant le passage de la base ( #» u , #» v , w) #» à la base ( #» x , #» y , #» z ).

Q - 4 : Déterminer les produits scalaires suivants : #» x . #» u et #» x . #» v en fonction de l’angle β .

Q - 5 : Déterminer les composantes de #» x dans la base ( #»

i , #»

j , #»

k ).

(3)

Vecteurs Produit vectoriel

Produit vectoriel

On considère les deux bases orthonormées directes suivantes : B 1 ( #» x 1 , #» y 1 , #» z 1 ) et B 2 ( #» x 2 , #» y 2 , #» z 2 ). On passe de la base B 1 à la base B 2 par une rotation d’angle θ autour de #» z 1 ( #» z 1 = #» z 2 ).

Q - 1 : Tracer la figure géométrale montrant le passage de la base B 1 à la base B 2 .

Q - 2 : Exprimer le produit vectoriel #» x 1 ∧ #» x 2 en fonction de l’angle θ.

Soient # »

AB = b. #» x 1 et # »

BC = c. #» x 2 ; b et c étant des longueurs exprimées en mètre.

Q - 3 : Exprimer le produit vectoriel # » AB ∧ # »

BC en fonction de b, c et de l’angle θ.

Q - 4 : En déduire la quantité

# » AB ∧ # »

BC

2 . Quelle est son unité ? Que représente-elle ?

Sciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI) Td 5 - CI-3 Année 2019 - 2020 3 / 45

(4)

Vecteurs Produits vectoriels

Produits vectoriels

Soient deux bases orthonormées directes ( #»

i , #»

j , #»

k ) et ( #» u , #» v , w #» ) telles que α = ( #»

i , #» u ) et w #» . #»

k = 1 et une troisième base orthonormée directe ( #» x , #» y , #» z ) telle que β = ( #» v , #» y ) et #» u . #» x = 1.

Q - 1 : Représenter les figures géométrales montrant le passage de la base ( #»

i , #»

j , #»

k ) à la base ( #» u , #» v , w #» ) et de la base ( #» u , #» v , w #» ) à la base ( #» x , #» y , #» z )

Q - 2 : Déterminer les produits vectoriels suivants dans la base ( #»

i , #»

j , #»

k ) : #» u ∧ #»

i , #» u ∧ #»

j , #» v ∧ #»

i et #» v ∧ #»

j en fonction de l’angle α.

Q - 3 : Calculer les composantes de #» v ∧ #» y dans la base ( #»

i , #»

j , #»

k ).

(5)

Vecteurs Appartenance à un plan

Appartenance à un plan

On considère le repère R (0, #» x , #» y , #» z ) et les trois points A, B, C tels que

# »

OA = 2 #» x + #» y − 3 #» z , # »

OB = −2 #» x + #» y − #» z et # »

OC = −2 #» x + 4 #» y + 3 #» z . Q - 1 : Exprimer les vecteurs # »

AB et # »

AC dans la base ( #» x , #» y , #» z ).

Q - 2 : Calculer le vecteur # » AB ∧ # »

AC.

Q - 3 : Si M est un point appartenant au plan (A, B, C), que vaut le produit mixte AM. # » AB. # » # »

AC

? On notera pour les questions suivantes : # »

AM = X #» x + Y #» y + Z #» z

Q - 4 : Déterminer la relation que doivent vérifier X , Y et Z si M est un point appartenant au plan (A, B, C).

On notera pour les questions suivantes : # »

OM = X #» x + Y #» y + Z #» z

Q - 5 : Déterminer la relation que doivent vérifier x , y et z si M est un point appartenant au plan (A, B, C). Que définit cette re- lation ?

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(6)

Vecteurs Vecteur normal à un plan

On donne trois points A, B et C dans le repère orthonormé direct R (O, #» x , #» y , #» z ) : A(1, 2, 3), B(−1, 2, −1), C(0, 1, 2). Soit Π le plan défini par ces trois points.

Q - 6 : Déterminer le vecteur unitaire #» n orthogonal (ou normal) au plan Π.

Soit le vecteur #»

V = #» x + #» y − 2 #» z que l’on cherche à exprimer sous la forme #»

V = a. #» n + b. #»

t avec #»

t vecteur unitaire orthogonal à #» n , a et b scalaires algébriques.

Q - 7 : Déterminer a puis b et enfin #»

t pour b choisi positif.

(7)

Torseurs Axe central

Axe central

Soit E un espace vectoriel, muni d’un repère R (O; #» x , #» y , #» z ). On donne :

deux points A et B définis par leurs coordonnées respectives (0, 0, 3) et (6, 0, 0).

un torseur T défini par ses éléments de réduction en A :

T =

A

( #»

#» R M(A)

)

avec #»

R = #» y et #»

M(A) = 3. #» y + 3. #» z

Q - 1 : Définir les éléments de réduction de T en O et en B.

Q - 2 : Calculer et comparer R. #» #»

M(O), R. #» #»

M(A) et R. #» #»

M (B).

Q - 3 : Déterminer l’axe central de T . Préciser son intersection avec le plan (O, #» x , #» z ).

Q - 4 : Représenter le repère en perspective cavalière et tracer les éléments de réduction de T en A, ainsi que l’axe central. Préciser les propriétés de l’axe central d’un torseur.

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(8)

Torseurs Axe central

Q - 1 : Définir les éléments de réduction de T en O et en B.

Le vecteur Résultante est intrinsèque au champ de moments. Il ne change pas suivant le point de réduction.

En revanche, le moment en O est lié au moment en A par la relation du champ de moments:

M(O) = #» #»

M(A) + # » OA ∧ #»

R = 3. #» y + 3. #» z + 3. #» z ∧ #» y = 3.(− #» x + #» y + #» z ) de même pour B

M(B) #» = #»

M(A) + # » BA ∧ #»

R

= 3. #» y + 3. #» z + (−6. #» x + 3. #» z ) ∧ #» y = 3.(− #» x + #» y − #» z )

(9)

Torseurs Axe central

Q - 1 : Définir les éléments de réduction de T en O et en B.

Le vecteur Résultante est intrinsèque au champ de moments. Il ne change pas suivant le point de réduction.

En revanche, le moment en O est lié au moment en A par la relation du champ de moments:

M(O) = #» #»

M(A) + # » OA ∧ #»

R = 3. #» y + 3. #» z + 3. #» z ∧ #» y = 3.(− #» x + #» y + #» z ) de même pour B

M(B) #» = #»

M(A) + # » BA ∧ #»

R

= 3. #» y + 3. #» z + (−6. #» x + 3. #» z ) ∧ #» y = 3.(− #» x + #» y − #» z )

Sciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI) Td 5 - CI-3 Année 2019 - 2020 8 / 45

(10)

Torseurs Axe central

Q - 1 : Définir les éléments de réduction de T en O et en B.

Le vecteur Résultante est intrinsèque au champ de moments. Il ne change pas suivant le point de réduction.

En revanche, le moment en O est lié au moment en A par la relation du champ de moments:

M(O) = #» #»

M(A) + # » OA ∧ #»

R = 3. #» y + 3. #» z + 3. #» z ∧ #» y = 3.(− #» x + #» y + #» z )

de même pour B M(B) #» = #»

M(A) + # » BA ∧ #»

R

= 3. #» y + 3. #» z + (−6. #» x + 3. #» z ) ∧ #» y = 3.(− #» x + #» y − #» z )

(11)

Torseurs Axe central

Q - 1 : Définir les éléments de réduction de T en O et en B.

Le vecteur Résultante est intrinsèque au champ de moments. Il ne change pas suivant le point de réduction.

En revanche, le moment en O est lié au moment en A par la relation du champ de moments:

M(O) = #» #»

M(A) + # » OA ∧ #»

R = 3. #» y + 3. #» z + 3. #» z ∧ #» y = 3.(− #» x + #» y + #» z ) de même pour B

M(B) #» = #»

M(A) + # » BA ∧ #»

R

= 3. #» y + 3. #» z + (−6. #» x + 3. #» z ) ∧ #» y = 3.(− #» x + #» y − #» z )

Sciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI) Td 5 - CI-3 Année 2019 - 2020 8 / 45

(12)

Torseurs Axe central

Q - 2 : Calculer et comparer R. #» #»

M(O), R. #» #»

M(A) et R. #» #»

M(B).

R. #» #»

M(O) = 3. #» y .(− #» x + #» y + #» z ) = 3 R. #» #»

M(A) = 3. #» y .( #» y + #» z ) = 3 R #» . #»

M(B) = 3. #» y .(− #» x + #» y − #» z ) = 3

(13)

Torseurs Axe central

Q - 2 : Calculer et comparer R. #» #»

M(O), R. #» #»

M(A) et R. #» #»

M(B).

R #» . #»

M(O) = 3. #» y .(− #» x + #» y + #» z ) = 3 R. #» #»

M(A) = 3. #» y .( #» y + #» z ) = 3 R #» . #»

M(B) = 3. #» y .(− #» x + #» y − #» z ) = 3

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(14)

Torseurs Axe central

Q - 3 : Déterminer l’axe central de T . Préciser son intersection avec le plan (O, #» x , #» z ).

Nous connaissons la direction de l’axe centrale puisque #»

R est un vec- teur directeur de cet axe. Reste à trouver un point de cet axe.

Or la projection H d’un point A de l’espace affine sur l’axe central est donnée par la relation:

# » HA =

M(A) #» ∧ #» R

→ R

2

Pour obtenir directement les coordonnées qui nous intéressent, pre- nons le point O

# » OH = −

M(O) #» ∧ #» R

→ R

2 = − 3.(− #» x + #» y + #» z ) ∧ #» y

1 2 = 3. #» z + 3. #» x

(15)

Torseurs Axe central

Q - 3 : Déterminer l’axe central de T . Préciser son intersection avec le plan (O, #» x , #» z ).

Nous connaissons la direction de l’axe centrale puisque #»

R est un vec- teur directeur de cet axe. Reste à trouver un point de cet axe.

Or la projection H d’un point A de l’espace affine sur l’axe central est donnée par la relation:

# » HA =

M(A) #» ∧ #» R

→ R

2

Pour obtenir directement les coordonnées qui nous intéressent, pre- nons le point O

# » OH = −

M(O) #» ∧ #» R

→ R

2 = − 3.(− #» x + #» y + #» z ) ∧ #» y

1 2 = 3. #» z + 3. #» x

Sciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI) Td 5 - CI-3 Année 2019 - 2020 10 / 45

(16)

Torseurs Axe central

Q - 3 : Déterminer l’axe central de T . Préciser son intersection avec le plan (O, #» x , #» z ).

Nous connaissons la direction de l’axe centrale puisque #»

R est un vec- teur directeur de cet axe. Reste à trouver un point de cet axe.

Or la projection H d’un point A de l’espace affine sur l’axe central est donnée par la relation:

# » HA =

M(A) #» ∧ #»

R

→ R

2

Pour obtenir directement les coordonnées qui nous intéressent, pre- nons le point O

# » OH = −

M(O) #» ∧ #» R

→ R

2 = − 3.(− #» x + #» y + #» z ) ∧ #» y

1 2 = 3. #» z + 3. #» x

(17)

Torseurs Axe central

Q - 3 : Déterminer l’axe central de T . Préciser son intersection avec le plan (O, #» x , #» z ).

Nous connaissons la direction de l’axe centrale puisque #»

R est un vec- teur directeur de cet axe. Reste à trouver un point de cet axe.

Or la projection H d’un point A de l’espace affine sur l’axe central est donnée par la relation:

# » HA =

M(A) #» ∧ #»

R

→ R

2

Pour obtenir directement les coordonnées qui nous intéressent, pre- nons le point O

# » OH = −

M(O) #» ∧ #»

R

→ R

2 = − 3.(− #» x + #» y + #» z ) ∧ #» y

1 2 = 3. #» z + 3. #» x

Sciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI) Td 5 - CI-3 Année 2019 - 2020 10 / 45

(18)

Torseurs Axe central

Autre méthode

Q - 3 : Déterminer l’axe central de T . Préciser son intersection avec le plan (O, #» x , #» z ).

l’axe central = n

I ∈ ε/ #»

R ∧ #»

M(I) = #»

0 o :

I =

x y z

⇒ M(I) #» = M(A) + #» IA #» ∧ R #»

= 3. #» y + 3. #» z + (−x . #» x + (3 − y). #» y + (3 − z). #» z ) ∧ #» y

= (z − 3). #» x + 3. #» y + (3 − x). #» z

#» R ∧ M(I) #» = #» y ∧ [(z − 3). #» x + 3. #» y + (3 − x). #» z ]

=

3 − x 0 3 − z

= #» 0

(19)

Torseurs Axe central

Q - 4 : Représenter le repère en perspective cavalière et tracer les éléments de réduction de T en A, ainsi que l’axe central. Pré- ciser les propriétés de l’axe central d’un torseur.

Sciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI) Td 5 - CI-3 Année 2019 - 2020 12 / 45

(20)

Torseurs Axe central

#» x

#» y

#» z

O x A x

B x H x

R #» M(A) #»

M(O) #»

M(B) #»

(21)

Torseurs Axe central

#» x

#» y

#» z

O x A x

B x H x

R #» M(A) #»

M(O) #»

M(B) #»

Sciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI) Td 5 - CI-3 Année 2019 - 2020 13 / 45

(22)

Torseurs Axe central

#» x

#» y

#» z

O x A x

B x H x

R #» M(A) #»

M(O) #»

M(B) #»

(23)

Torseurs Axe central

#» x

#» y

#» z

O x

A x

B x H x

R #» M(A) #»

M(O) #»

M(B) #»

Sciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI) Td 5 - CI-3 Année 2019 - 2020 13 / 45

(24)

Torseurs Axe central

#» x

#» y

#» z

O x A x

B x H x

R #» M(A) #»

M(O) #»

M(B) #»

(25)

Torseurs Axe central

#» x

#» y

#» z

O x A x

B x

H x

R #» M(A) #»

M(O) #»

M(B) #»

Sciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI) Td 5 - CI-3 Année 2019 - 2020 13 / 45

(26)

Torseurs Axe central

#» x

#» y

#» z

O x A x

B x H x

R #» M(A) #»

M(O) #»

M(B) #»

(27)

Torseurs Axe central

#» x

#» y

#» z

O x A x

B x H x

R #» M(A) #»

M(O) #»

M(B) #»

Sciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI) Td 5 - CI-3 Année 2019 - 2020 13 / 45

(28)

Torseurs Axe central

#» x

#» y

#» z

O x A x

B x

H x #»

R

M(A) #»

M(O) #»

M(B) #»

(29)

Torseurs Axe central

#» x

#» y

#» z

O x A x

B x

H x #»

R

M(A) #»

M(O) #»

M(B) #»

Sciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI) Td 5 - CI-3 Année 2019 - 2020 13 / 45

(30)

Torseurs Axe central

#» x

#» y

#» z

O x A x

B x

H x #»

R M(A) #»

M(O) #»

M(B) #»

(31)

Torseurs Axe central

#» x

#» y

#» z

O x A x

B x

H x #»

R M(A) #»

M(O) #»

M(B) #»

Sciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI) Td 5 - CI-3 Année 2019 - 2020 13 / 45

(32)

Torseurs Axe central

#» x

#» y

#» z

O x A x

B x

H x #»

R M(A) #»

M(O) #»

M(B) #»

(33)

Torseurs Axe central

#» x

#» y

#» z

O x A x

B x

H x #»

R M(A) #»

M(O) #»

M(B) #»

Sciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI) Td 5 - CI-3 Année 2019 - 2020 13 / 45

(34)

Torseurs Axe central

#» x

#» y

#» z

O x A x

B x

H x #»

R M(A) #»

M(O) #»

M(B) #»

(35)

Torseurs Axe central

#» x

#» y

#» z

O x A x

B x

H x #»

R M(A) #»

M(O) #»

M(B) #»

Sciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI) Td 5 - CI-3 Année 2019 - 2020 13 / 45

(36)

Torseurs Axe central

#» x

#» y

#» z

O x A x

B x

H x #»

R M(A) #»

M(O) #»

M(B) #»

(37)

Torseurs Axe central

#» x

#» y

#» z

O x A x

B x

H x #»

R M(A) #»

M(O) #»

M(B) #»

Sciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI) Td 5 - CI-3 Année 2019 - 2020 13 / 45

(38)

Torseurs Axe central

#» x

#» y

#» z

O x A x

B x

H x #»

R M(A) #»

M(O) #»

M(B) #»

(39)

Torseurs Axe central

#» x

#» y

#» z

O x A x

B x

H x #»

R M(A) #»

M(O) #»

M(B) #»

Sciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI) Td 5 - CI-3 Année 2019 - 2020 13 / 45

(40)

Bras téléscopique

#» x 0

O

#» y 0

#» x 1

#» x 2 B

y 2

x #» 3

#» y 3

A

C

→ x 0

→ y 0

→ z 1 − → z 0

→ x 1

→ y 1

α α

→ x 2

→ y 2

→ z 3 − → z 2

→ x 3

→ y 3

β

β

(41)

Bras téléscopique

• Soit R (0, #» x 0 , #» y 0 , #» z 0 ) un repère lié à (S 0 ) (fixe).

• Le solide (S 1 ) admet une rotation par rapport au solide (S 0 ) d’axe (O, #» z 0 ). R 1 (A, #» x 1 , #» y 1 , #» z 1 ) un repère lié à (S 1 ).

• Le solide (S 2 ) est en translation par rapport au solide (S 1 ) de direction ( #» x 1 ). # »

AB = λ(t). #» x 1 . R 2 (B, #» x 2 , #» y 2 , #» z 2 ) un repère lié à (S 2 ) et ( #» x 1 , #» y 1 , #» z 1 ) = ( #» x 2 , #» y 2 , #» z 2 )

• Le solide (S 3 ) admet une rotation par rapport au solide (S 2 ) d’axe (B, #» z 0 ). R 3 (B, #» x 3 , #» y 3 , #» z 3 ) un repère lié à (S 3 ).

Posons α(t) = ( #» x 0 , #» x 1 ) = ( #» y 0 , #» y 1 ) et β(t) = ( #» x 2 , #» x 3 ) = ( #» y 2 , #» y 3 ).

# »

OA = L. #» y 1 et # »

BC = R. #» x 3 .

Sciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI) Td 5 - CI-3 Année 2019 - 2020 15 / 45

(42)

Robot SIRTES

Robot SIRTES

On se propose d’étudier le mouvement d’un robot piloté par ordinateur.

On se limitera à la cinématique des pièces. Le mécanisme interne est

représenté. Un schéma cinématique dans le plan (O, #» y 1 , #» z 0 ) est

donné. Le robot repose sur un socle 0 et comporte 5 bras : 1, 2, 3, 4 et

5 en rotation les uns par rapport aux autres.

(43)

Robot SIRTES

On supposera dans cette partie que 5 est immobile par rapport à 4.

1 est en rotation par rapport à 0 autour de l’axe (O, #» z

0

), paramétrée par α

1

.

2 est en rotation par rapport à 1 autour de l’axe (O

1

, #» y

1

), paramétrée paα

2

.

3 est en rotation par rapport à 2 autour de l’axe (O

2

, #» y

1

), paramétrée paα

3

.

4 est en rotation par rapport à 3 autour de l’axe (O

3

, #» y

1

), paramétrée paα

4

.

Le paramétrage est dessiné sur les figures 2 et 3. Attention, les angles ne sont pas tous positifs sur le dessin ; veillez à l’orientation des axes.

Sciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI) Td 5 - CI-3 Année 2019 - 2020 17 / 45

(44)

Robot SIRTES

Q - 1 : Exprimer le vecteur # » OP Q - 2 : Calculer la vitesse #»

V (P,5/0) =

 

 

  dt d

# » OP

 

 

 

R

0

en fonction des vitesses de rotation de chacun des bras et des paramètres de géométrie

Q - 3 : Calculer la composante verticale de l’accélération

#» A (P,5/0) . #» z 0 = #» z 0 .

 

 

  d dt

V (P,5/0)

 

 

 

R

0

en fonction des vitesses

et accélérations de chacun des bras et des paramètres de

géométrie

(45)

Centrifugeuse de laboratoire de Chimie

Centrifugeuse de laboratoire de Chimie

On considère une centrifugeuse composée d’un bâti (S 0 ), d’un bras (S 1 ) et d’une éprouvette (S 2 ) qui peut contenir deux liquides de masses volumiques différentes.

Sous l’effet centrifuge dû à la rotation du bras (S 1 ), l’éprouvette (S 2 ) s’incline pour se mettre pratiquement dans l’axe du bras et le liquide dont la masse volumique est la plus élevée va au fond de l’éprouvette.

Ainsi la séparation des deux liquides est réalisée.

Sciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI) Td 5 - CI-3 Année 2019 - 2020 19 / 45

(46)

Centrifugeuse de laboratoire de Chimie

Soit R (0, #» x , #» y , z #» ) un repère lié à (S 0 ) (fixe). Les solide (S 1 ) admet une rotation par rapport au solide (S 0 ) d’axe (O, #» x ). R 1 (A, #» x 1 , #» y 1 , #» z 1 ) un repère lié à (S 1 ). Posons α = ( #» y , y #» 1 ) avec α = ω.t et ω étant une constante positive exprimée en radians par seconde. On pose # » OA = a. #» y 1 .

Le solide (S 2 ) admet une rotation par rapport à (S 1 ) d’axe (A, #» z 1 ) telle que R 2 (A, #» x 2 , #» y 2 , #» z 1 ) soit lié à (S2). On pose β = ( #» x 1 , #» x 2 ), β étant une fonction du temps inconnue.

Soit B le centre d’inertie de (S 2 ) tel que # »

AB = b. #» x 2 ( b constante posi-

tive exprimée en mètre).

(47)

Centrifugeuse de laboratoire de Chimie

x α

α z

y y z1

1 z1

β β

x x

x2

y1 y2

S0

S1

S2

O A

B

#» y 2

#» z 1

#» z 2

#» y 1

#» x 2

#» x 1

#» x 0 #» x 1

→ y 0

→ z 0

→ x 1 − → x 0

→ y 1

→ z 1

α

→ x 1

→ y 1

→ z 2 − → z 1

→ x 2

→ y 2

β

Sciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI) Td 5 - CI-3 Année 2019 - 2020 21 / 45

(48)

Centrifugeuse de laboratoire de Chimie

Q - 1 : Déterminer les vecteur taux de rotation du solide (S 1 ) par rapport au solide (S 0 ) ( #»

(S

2

/S

1

) ), de S 2 /S 1 et de S 2 /S 0 . Q - 2 : Donner la vitesse en O du solide S 1 par rapport au solide S 0 . Q - 3 : Déterminer la vitesse en A du solide S 1 par rapport au solide

S 0 .

Q - 4 : Donner la vitesse en A du solide S 2 par rapport au solide S 1 . En déduire #»

V (A,S

2

/S

0

) .

Q - 5 : Déterminer la vitesse en B du solide S 2 par rapport au solide S 1 .

Q - 6 : Déterminer la vitesse en B du solide S 1 par rapport au solide S 0 .

Q - 7 : En déduire la vitesse en B du solide S 2 par rapport au solide

S 0 .

(49)

Manège de l’extrême !

Manège de l’extrême !

Sciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI) Td 5 - CI-3 Année 2019 - 2020 23 / 45

(50)

Manège de l’extrême !

Manège de l’extrême !

1 2

3

4 5

6

5

1

x y21

y22

3

(51)

Manège de l’extrême !

Le bras principal 1, associé au repère R

1

(O, ~ x

1

, ~ y

1

, ~ z

0

) supporte l’ensemble du manège. Il est en liaison pivot d’axe (O, ~ z

0

) avec le sol 0. Sa rotation est paramétrée par l’angle α = (~ x

0

, ~ x

1

). Un vérin de corps 5 et de tige 6 commande la rotation du bras 1. L’angle α varie entre π/4 et π/2.

La rotation du vérin est paramétrée par l’angle θ = (~ x

0

, ~ x

5

) et sa longueur est paramétrée par λ tel que AB ~ = λ.~ x

5

.

Le bras secondaire 2, associé au repère R

21

(C, ~ x

1

, ~ y

21

, ~ z

21

) est en liaison pivot d’axe (C, ~ x

1

). La rotation est paramétrée par l’angle γ = (~ y

1

, ~ y

21

). Un second repère R

22

(D, ~ x

22

, ~ y

22

, ~ z

21

) est associé au solide 2, tourné d’un angle β = (~ x

1

, ~ x

22

) = − 45

o

constant, autour de l’axe ~ z

21

(attention cet angle est négatif). Ce repère permet de définir la rotation de la tourelle 3.

La tourelle 3, associé au repère R

3

(E, ~ x

3

, ~ y

22

, ~ z

3

) est en liaison pivot d’axe (D, ~ y

22

). La rotation est paramétrée par l’angle δ = (~ x

22

, ~ x

3

).

Le banc 4, associé au repère R

4

(E , ~ x

3

, ~ y

4

, ~ z

4

) est en liaison pivot d’axe (E , ~ x

3

).

La rotation est paramétrée par l’angle ϕ = ( ~ y

22

, ~ y

4

).

Sciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI) Td 5 - CI-3 Année 2019 - 2020 25 / 45

(52)

Manège de l’extrême !

# »

OA = a.~ x 0 avec a = 1.5 m.

# »

OB = b.~ x 1 avec b = 1.5 m.

# »

OC = c.~ x 1 avec c = 4 m.

# »

CD = −d.~ y 21 avec d = 4 m.

# »

DE = −e.~ y 22 avec e = 1 m.

# »

EF = f .~ x 3 avec f = 3 m.

# »

FM = h.~ y 4 avec h = 0.5 m.

# »

AB = λ.~ x 5 .

α = ( #» x 0 , #» x 1 ) = ( #» y 0 , #» y 1 ) β = ( #» x 21 , #» x 22 ) = ( #» y 21 , #» y 22 ) γ = ( #» y 1 , #» y 21 ) = ( #» z 1 , #» z 21 ) δ = ( #» x 22 , #» x 3 ) = ( #» z 22 , #» z 23 ) φ = ( #» y 3 , #» y 4 ) = ( #» z 3 , #» z 4 )

θ = ( #» x 0 , #» x 5 ) = ( #» y 0 , #» y 5 )

(53)

Manège de l’extrême !

Sol 0 associé au repère R 0 (O, #» x 0 , #» y 0 , #» z 0 ) Bras principal 1 associé au repère R 1 (O, #» x 1 , #» y 1 , #» z 1 ) Bras secondaire 2 associé au repère R 21 (C, #» x 21 , #» y 21 , #» z 21 )

- associé au repère R 22 (D, #» x 22 , #» y 22 , #» z 22 ) Tourelle 3 associé au repère R 3 (E , #» x 3 , #» y 3 , #» z 3 )

Banc 4 associé au repère R 4 (E , #» x 4 , #» y 4 , #» z 4 )

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(54)

Manège de l’extrême !

→ x 0

→ y 0

→ z 1 − → z 0

→ x 1

→ y 1

α α

→ y 1

→ z 1

− − → x 21 − →

x 1

− − → y 21

− − → z 21

γ γ

− − → x 21

− − → y 21

− − →

z 22 − − → z 21

− − → x 22

− − → y 22

β β

− − → z 22

− − → x 22

→ y 3 − − → y 22

→ z 3

→ x 3

δ δ

→ y 3

→ z 3

→ x 4 − → x 3

→ y 4

→ z 4

φ φ

→ x 0

→ y 0

→ z 5 − → z 0

→ x 5

→ y 5

θ

θ

(55)

Manège de l’extrême !

1 2

3

4 5

6

5

1

x y21

y22

3

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(56)

Etude d’un coupe câble

Etude d’un coupe câble

Le système étudié permet de couper des câbles électriques.

Le bâti est la pièce 7. Le mouvement de la vis 8 vient déplacer en trans- lation la pièce 6 par rapport à 7. L’objectif est de déterminer la vitesse de coupe en K de la lame 3 par rapport à 7 : #»

V (K ,3/2) . On donne #»

V (B,6/7) .

Le mouvement de 6 est transmis aux pièces 4 et 5 en contact ponctuel

avec 6 respectivement en C et D. Les pièces 4 et 5 sont en liaisons

pivots avec 7 en E et F . Le mouvement est ensuite transmis aux lames

de coupes 2 et 3. 2 est en liaison pivot avec 4 en H et 5 est en liaison

pivot avec 3 en I. 2 et 3 sont en liaison pivot en I.

(57)

Etude d’un coupe câble

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(58)

Etude d’un coupe câble

Q - 1 : Justifier qu’une étude de cinématique plane peut être envi- sagée.

Q - 2 : Faire un graphe des liaisons Q - 3 : Donner la valeur numérique de #»

V (K ,3/7) dans la configuration

du dessin. Vous expliciterez votre démarche et tous les tra- cés effectués. Vous pourrez dans un premier temps indiquer les différents centres instantanés de rotation.

Q - 4 : En déduire la vitesse de coupe en K : #»

V (K,3/2)

V #» (B,6/7) = −10 mm/s #» y

(59)

Toit escamotable de 206 CC

Toit escamotable de 206 CC

Présentation

En 2001, Peugeot commercialise une version coupé-cabriolet d’un de ses modèles . Grâce à son toit rigide escamotable à commande électro- hydraulique, la 206 CC permet d’apprécier le confort d’un coupé tant au point de vue acoustique que de l’étanchéité tout en offrant la possibilité de se découvrir rapidement en cabriolet. Ce système permet d’offrir, de plus, une lunette arrière chauffante en verre.

Le mécanisme de toit escamotable met en jeu cinq éléments : les vitres, le pavillon, la lunette arrière, le coffre et une tablette. Le cycle d’ouver- ture du toit est piloté par le calculateur :

A : les vitres de porte et de custode descendent en position basse,

B : la malle se déverrouille et s’ouvre,

C : le toit se soulève et vient se replier dans le coffre,

D : la tablette sort et la malle se ferme et se verrouille.

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(60)

Toit escamotable de 206 CC

(61)

Toit escamotable de 206 CC

Les vitres ne remontent pas mais leur commande est de nouveau pos- sible. Le mouvement du toit escamotable est imposé par un mécanisme articulé , actionné par deux vérins hydrauliques. La partie inférieure du mécanisme est fixée au châssis du véhicule et la partie supérieure porte le pavillon.

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(62)

Toit escamotable de 206 CC

Toit escamotable de 206 CC

Analyse du mouvement

Q - 1 : A partir de l’étude de la nature des mouvements des pièces (10) et (20), dessinez la position de la pièce (30) en traçant le segment (EF ) dans les positions intermédiaires du méca- nisme repérées (1) et (2) sur le document.

Q - 2 : Précisez alors la nature du mouvement entre la pièce (30) et

l’ensemble S.

(63)

Toit escamotable de 206 CC

Sciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI) Td 5 - CI-3 Année 2019 - 2020 37 / 45

(64)

Toit escamotable de 206 CC

Toit escamotable de 206 CC

Détermination de la vitesse de sortie du vérin

On cherche ici à déterminer la valeur de la vitesse de sortie de la tige du vérin, par une étude graphique sur la . Les deux configurations extrêmes du mécanisme, la position " coupé " et la position " cabriolet "

sont données sur la . Le point (A) passe de la position (A) (" coupé ") à la position (AF ) (" cabriolet ").

Q - 3 : Déterminez alors la course du vérin (la course est la distance dont s’est déplacée la tige du vérin).

Q - 4 : Sachant que les vérins se déplacent à vitesse constante, la

durée de la phase d’ouverture est de 10 secondes et que

le diamètre du vérin vaut 20 mm, calculez le débit que doit

fournir la pompe pour alimenter les deux vérins (coté droit et

(65)

Toit escamotable de 206 CC

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Toit escamotable de 206 CC

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Toit escamotable de 206 CC

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Toit escamotable de 206 CC

Toit escamotable de 206 CC

Détermination de la vitesse d’accostage en K

Les premières constructions se feront sur la, échelle : 10mm/s ⇔ 30 mm sur le graphique. Echelle : 10mm/s ⇔ 5 mm sur le graphique.

Q - 5 : En justifiant votre démarche, déterminer à partir de la vitesse de sortie du vérin la vitesse d’impact : #»

V (K ,10/S) . Q - 6 : Déterminez enfin #»

V (G,30/S) .

(69)

Toit escamotable de 206 CC

Sciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI) Td 5 - CI-3 Année 2019 - 2020 43 / 45

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Toit escamotable de 206 CC

V #»

(C,6/5)

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Toit escamotable de 206 CC

V #»

(C,6/5)

Sciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI) Td 5 - CI-3 Année 2019 - 2020 43 / 45

(72)

Toit escamotable de 206 CC

V #»

(C,6/5)

Dir #»

V

(C,5/0)

(73)

Toit escamotable de 206 CC

V #»

(C,6/5)

Dir #»

V

(C,5/0)

Dir #»

V

(C,50/0)

Dir #»

V

(C,6/0)

Sciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI) Td 5 - CI-3 Année 2019 - 2020 43 / 45

(74)

Toit escamotable de 206 CC

V #»

(C,6/5)

Dir #»

V

(C,5/0)

Dir #»

V

(C,50/0)

Dir #»

V

(C,6/0)

V #»

(C,5/0)

(75)

Toit escamotable de 206 CC

V #»

(C,6/5)

Dir #»

V

(C,5/0)

Dir #»

V

(C,50/0)

Dir #»

V

(C,6/0)

V #»

(C,5/0)

V

(C,6/0)

Sciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI) Td 5 - CI-3 Année 2019 - 2020 43 / 45

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Toit escamotable de 206 CC

V #»

(C,52/0)

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Toit escamotable de 206 CC

V #»

(C,52/0)

Dir #»

V

(A,52/0)

Sciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI) Td 5 - CI-3 Année 2019 - 2020 43 / 45

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Toit escamotable de 206 CC

V #»

(C,52/0)

Dir #»

V

(A,52/0)

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Toit escamotable de 206 CC

V #»

(C,52/0)

Dir #»

V

(A,52/0)

Sciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI) Td 5 - CI-3 Année 2019 - 2020 43 / 45

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Toit escamotable de 206 CC

V #»

(C,52/0)

Dir #»

V

(A,52/0)

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Toit escamotable de 206 CC

V #»

(C,52/0)

Dir #»

V

(A,52/0)

Sciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI) Td 5 - CI-3 Année 2019 - 2020 43 / 45

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Toit escamotable de 206 CC

V #»

(C,52/0)

Dir #»

V

(A,52/0)

(83)

Toit escamotable de 206 CC

V #»

(C,52/0)

Dir #»

V

(A,52/0)

V #»

(A,10/0)

Sciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI) Td 5 - CI-3 Année 2019 - 2020 43 / 45

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Toit escamotable de 206 CC

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Toit escamotable de 206 CC

V #»

(C,6/5)

Sciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI) Td 5 - CI-3 Année 2019 - 2020 44 / 45

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Toit escamotable de 206 CC

V #»

(C,6/5)

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Toit escamotable de 206 CC

V #»

(C,6/5)

Dir #»

V

(C,5/0)

Sciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI) Td 5 - CI-3 Année 2019 - 2020 44 / 45

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Toit escamotable de 206 CC

V #»

(C,6/5)

Dir #»

V

(C,5/0)

Dir #»

V

(C,50/0)

Dir #»

V

(C,6/0)

(89)

Toit escamotable de 206 CC

V #»

(C,6/5)

Dir #»

V

(C,5/0)

Dir #»

V

(C,50/0)

Dir #»

V

(C,6/0)

Sciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI) Td 5 - CI-3 Année 2019 - 2020 44 / 45

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Toit escamotable de 206 CC

V #»

(C,6/5)

Dir #»

V

(C,5/0)

Dir #»

V

(C,50/0)

Dir #»

V

(C,6/0)

V #»

(C,6/0)

(91)

Toit escamotable de 206 CC

V #»

(C,52/0)

Sciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI) Td 5 - CI-3 Année 2019 - 2020 44 / 45

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Toit escamotable de 206 CC

V #»

(C,52/0)

Dir #»

V

(A,10/0)

(93)

Toit escamotable de 206 CC

V #»

(C,52/0)

Dir #»

V

(A,10/0)

Sciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI) Td 5 - CI-3 Année 2019 - 2020 44 / 45

(94)

Toit escamotable de 206 CC

V #»

(C,52/0)

Dir #»

V

(A,10/0)

(95)

Toit escamotable de 206 CC

V #»

(C,52/0)

Dir #»

V

(A,10/0)

Sciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI) Td 5 - CI-3 Année 2019 - 2020 44 / 45

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Toit escamotable de 206 CC

V #»

(C,52/0)

Dir #»

V

(A,10/0)

(97)

Toit escamotable de 206 CC

V #»

(C,52/0)

Dir #»

V

(A,10/0)

Sciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI) Td 5 - CI-3 Année 2019 - 2020 44 / 45

(98)

Toit escamotable de 206 CC

V #»

(C,52/0)

Dir #»

V

(A,10/0)

V #»

(A,10/0)

(99)

Toit escamotable de 206 CC

V #»

(A,10/0)

Dir #»

V

(K,10/0)

Sciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI) Td 5 - CI-3 Année 2019 - 2020 44 / 45

(100)

Toit escamotable de 206 CC

V #»

(A,10/0)

Dir #»

V

(K,10/0)

(101)

Toit escamotable de 206 CC

V #»

(A,10/0)

Dir #»

V

(K,10/0)

Sciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI) Td 5 - CI-3 Année 2019 - 2020 44 / 45

(102)

Toit escamotable de 206 CC

V #»

(A,10/0)

Dir #»

V

(K,10/0)

(103)

Toit escamotable de 206 CC

V #»

(A,10/0)

Dir #»

V

(K,10/0)

Sciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI) Td 5 - CI-3 Année 2019 - 2020 44 / 45

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Toit escamotable de 206 CC

V #»

(A,10/0)

Dir #»

V

(K,10/0)

(105)

Toit escamotable de 206 CC

V #»

(A,10/0)

Dir #»

V

(K,10/0)

V #»

(K,10/0)

Sciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI) Td 5 - CI-3 Année 2019 - 2020 44 / 45

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Toit escamotable de 206 CC

Sciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI) Td 5 - CI-3 Année 2019 - 2020 44 / 45

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Toit escamotable de 206 CC

Sciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI) Td 5 - CI-3 Année 2019 - 2020 45 / 45

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Toit escamotable de 206 CC

V #»

(C,6/5)

Dir #»

V

(C,5/0)

Dir #»

V

(C,50/0)

Dir #»

V

(C,6/0)

V #»

(C,6/0)

V #»

(C,52/0)

Dir #»

V

(A,10/0)

(109)

Toit escamotable de 206 CC

V #»

(C,6/5)

Dir #»

V

(C,5/0)

Dir #»

V

(C,50/0)

Dir #»

V

(C,6/0)

V #»

(C,6/0)

V #»

(C,52/0)

Dir #»

V

(A,10/0)

V #»

(A,10/0)

Sciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI) Td 5 - CI-3 Année 2019 - 2020 45 / 45

(110)

Toit escamotable de 206 CC

V #»

(A,10/0)

Dir #»

V

(K,10/0)

(111)

Toit escamotable de 206 CC

V #»

(A,10/0)

Dir #»

V

(K,10/0)

Sciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI) Td 5 - CI-3 Année 2019 - 2020 45 / 45

(112)

Toit escamotable de 206 CC

V #»

(A,10/0)

Dir #»

V

(K,10/0)

(113)

Toit escamotable de 206 CC

V #»

(A,10/0)

Dir #»

V

(K,10/0)

Sciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI) Td 5 - CI-3 Année 2019 - 2020 45 / 45

(114)

Toit escamotable de 206 CC

V #»

(A,10/0)

Dir #»

V

(K,10/0)

(115)

Toit escamotable de 206 CC

V #»

(A,10/0)

Dir #»

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