CI-6 Modéliser les actions mécaniques

CI-6

Modéliser les actions mécaniques

Prévoir et vérifier les performances de systèmes soumis à des actions mécaniques statiques.

L

YCÉE

C

ARNOT

(D

IJON

), 2012 - 2013

Germain Gondor

Sommaire

1 E.P.A.S

2 Lève bateau

3 Système à Arc-bouttement (téléski)

4 Equilibre d’un barrage

5 Etude d’un frein (avec le modèle de Coulomb)

6 Pince de Robot

7 Roue Libre

8 Radar X-band (D’après sujet CCP 99 - PSI)

9 Etude statique du robot MaxPID

E.P.A.S

Le véhicule porteur de l’E.P.A.S. doit être équipé de stabilisateurs. Une fois en place, les stabilisateurs le soulèvent, afin qu’il ne repose plus sur les roues (les roues touchent le sol mais ne supportent aucun poids) : le mouvement des suspensions du véhicule mettrait en danger sa stabilité.

L’objet de l’exercice est de déterminer la longueur de déploiement maximale

que le système de sécurité pourra autoriser.

Le véhicule est dans la configuration de la figure précédente :

1

Parc échelle horizontale.

2

Stabilisateurs sortis au maximum.

3

Charge maximale dans la plate-forme.

Le problème sera traité en statique plane dans le plan (O, #» x , #» y ) de la figure

précédente.

Les efforts pris en compte sont :

1

Les actions de pesanteur sur chaque élément.

Elément Centre d’inertie Masse

Véhicule + charge utile G

V

m

V

# » OG

V

= a.

v

vy Parc échelle G

_E

m

_E

OG # »

_E

= L

2 . #» x + h. #» y Plate-forme + charge utile G

_P

m

_P

OG # »

_P

= L. #» x + H. #» y

2

Les actions de contact de la route sur les stabilisateurs.

Ces actions seront modélisées par des glisseurs passant l’un par M, tel que # »

OM = − b. #» x et l’autre par N tel que # » ON = b. #» x

Les résultantes de ces glisseurs seront notées respectivement :

# »

R M = X M . #» x + Y M . #» y et # »

R N = X N . #» x + Y N . #» y

Question

Q - 1 : Exprimez la condition de non basculement de l’ensemble.

Q - 2 : Calculez la longueur L _max de déploiement au-delà de laquelle il y

aura basculement.

Sommaire

1 E.P.A.S

2 Lève bateau

Statique analytique Statique graphique

3 Système à Arc-bouttement (téléski)

4 Equilibre d’un barrage

5 Etude d’un frein (avec le modèle de Coulomb)

6 Pince de Robot

7 Roue Libre

8 Radar X-band (D’après sujet CCP 99 - PSI)

Le système ci-contre est en équilibre. Le bateau est maintenu par l’action du vérin hydraulique. Le problème sera supposé plan, et les liaisons pivot en A, B, C et D parfaites. L’action du poids sera négligée sauf pour le bateau (glisseur

#» g passant par G).

# »

AC = c x . #» x + c y . #» y

# »

AD = d . #» x

# »

DB = λ. #» y _b

θ = ( #» x , #» x _b ) = ( #» y , #» y _b )

Q - 1 : Réaliser le graphe des liaisons de ce mécanisme.

Q - 2 : Déterminer les actions mécaniques dans les liaisons en A, B, C et

D par une étude analytique. Retrouver ces résultats par une étude

graphique.

Q - 1 : Réaliser le graphe des liaisons de ce mécanisme.

Q - 1 : Réaliser le graphe des liaisons de ce mécanisme.

Sol (S) Vérin (V)

Portique (P)

Bateau (B)

Rotule (D) Pivot

(A, #» z )

Rotu le (B)

Rotule (C) g

Q - 2 : Déterminer les actions mécaniques dans les liaisons en A, B, C et

D par une étude analytique. Retrouver ces résultats par une étude

graphique.

Q - 2 : Déterminer les actions mécaniques dans les liaisons en A, B, C et D par une étude analytique. Retrouver ces résultats par une étude graphique.

L’approche graphique est construite en recherchant tous les solides ou

groupe de solides soumis à 2 glisseurs (forces appliquées en un point). Nous

déterminons alors les directions de ces glisseurs. Reste alors à isoler les

solides soumis à 3 glisseurs.

Pour déterminer toutes les actions de liaisons, nous devons faire p − 1

isolements indépendants, p étant le nombre de "pièces". Le sol n’étant pas

isolable, isolons chacun des solides.

Isolement du bateau

(S) V

(P) (B)

Rotule (D) Pivot

(A,#»z)

Rotule (B)

Rotule (C) g

• Isolons le bateau B

Isolement du bateau

(S) V

(P) (B)

Rotule (D) Pivot

(A,#»z)

Rotule (B)

Rotule (C) g

• Isolons le bateau B

• Faisons le bilan des actions mécaniques exercées sur le bateau:

Isolement du bateau

(S) V

(P) (B)

Rotule (D) Pivot

(A,#»z)

Rotule (B)

Rotule (C) g

• Isolons le bateau B

• Faisons le bilan des actions mécaniques exercées sur le bateau:

◦ Action de la gravitation sur le bateau (

F

_g→B

)

=

G

 

 

 



− m.g. #» y

#» 0

 

 

 



Isolement du bateau

(S) V

(P) (B)

Rotule (D) Pivot

(A,#»z)

Rotule (B)

Rotule (C) g

• Isolons le bateau B

• Faisons le bilan des actions mécaniques exercées sur le bateau:

◦ Action de la gravitation sur le bateau (

F

_g→B

)

=

G

 

 

 



− m.g. #» y

#» 0

 

 

 



◦ Action du portique sur le bateau (

F

_P→B

)

=

C

 

 



 

 

X PB 0 Y PB 0 Z PB 0

 

 



 

 

(

#» x

,

#» y

,

#» z

)

• Le système étant à l’équilibre, appliquons le principe fondamental de la statique au bateau dans le repère galiléen lié au sol.

( F B→B

)

= (

0 )

⇒ (

F _{g → B} )

+ (

F _{P → B} )

= (

0 )

⇒ (

F _{P → B} )

= − (

F _{g → B} )

=

G

( m.g. #» y

#» 0

)

• Le système étant à l’équilibre, appliquons le principe fondamental de la statique au bateau dans le repère galiléen lié au sol.

( F B→B

)

= (

0 )

⇒ (

F _{g → B} )

+ (

F _{P → B} )

= (

0 )

⇒ (

F _{P → B} )

= − (

F _{g → B} )

=

G

( m.g. #» y

#» 0 )

• Pour déterminer les inconnues de liaisons de la rotule en C, déplaçons le torseur

( F _{P → B}

)

au point C:

M #»

(C,P→B)

= ✘✘ _#» ✘ ✘

M

(G,P→B)

+ # »

CG ∧ #» F

(P→B)

= ✭✭ ✭✭ ✭

−l

G

. #» y ∧ m.g. #» y = #» 0 (

F

_P→B

)

=

G

( m.g. #» y

#» 0 )

=

C

( m.g. #» y

#» 0 )

=

C

 

 

 

 X

PB

0 Y

PB

0 Z

PB

0

 

 

 



_(#»

x,#»y,#»z)

⇒

 

 

 

 

 



X

PB

= 0

Y

PB

= m.g

Z

PB

= 0

F #» _(g → B)

F #» _(g → B)

F #» _(P → B)

Isolement du vérin

(S) V

(P) (B)

Rotule (D) Pivot

(A,#»z)

Rotule (B)

Rotule (C) g

• Isolons le vérin V

Isolement du vérin

(S) V

(P) (B)

Rotule (D) Pivot

(A,#»z)

Rotule (B)

Rotule (C) g

• Isolons le vérin V

• Faisons le bilan des actions mécaniques exercées sur le vérin:

Isolement du vérin

(S) V

(P) (B)

Rotule (D) Pivot

(A,#»z)

Rotule (B)

Rotule (C) g

• Isolons le vérin V

• Faisons le bilan des actions mécaniques exercées sur le vérin:

◦ Action du sol sur le vérin (

F

_S→V

)

=

D



 

 

 

 

X _SV 0 Y _SV 0 Z _SV 0



 

 

 

 

(

#» x

b,

#» y

b,

#» z

b)

Isolement du vérin

(S) V

(P) (B)

Rotule (D) Pivot

(A,#»z)

Rotule (B)

Rotule (C) g

• Isolons le vérin V

• Faisons le bilan des actions mécaniques exercées sur le vérin:

◦ Action du sol sur le vérin (

F

_S→V

)

=

D



 

 

 

 

X _SV 0 Y _SV 0 Z _SV 0



 

 

 

 

(

#» x

b,

#» y

b,

#» z

b)

◦ Action du portique sur le vérin (

F

_P→V

)

=

 

 



 

X _PV 0 Y _PV 0

 

 



 

• Le système étant à l’équilibre, appliquons le principe fondamental de la statique au vérin dans le repère galiléen lié au sol.

( F V → V

)

= (

0 )

⇒ (

F _S → V

) +

( F _P → V

)

= (

0

)

• Le système étant à l’équilibre, appliquons le principe fondamental de la statique au vérin dans le repère galiléen lié au sol.

( F V → V

)

= (

0 )

⇒ (

F _S → V

) +

( F _P → V

)

= (

0 )

• Pour déterminer les inconnues de liaisons des rotules en B et en D, plaçons les torseurs

( F _{S → V}

) et

( F _{P → V}

)

au même point (D):

M #» (D,P → V ) = ✘✘ #» ✘✘ ✘ M (B,P → V ) + # »

DB ∧ #»

F (P → V)

= λ. #» y _b . ∧ (X PV . #» x _b + Y _PV . #» y _b + Z _PV . #» z _b )

= λ. (Z PV . #» x b − X PV . #» z b )

( 0

)

= (

F _{S → V} )

+ (

F _{P → V} )

=

 

 

 



X _SV 0 Y _SV 0 Z _SV 0

 

 

 

 _{#» #» #»} +

 

 

 



X _PV λ.Z _PV Y _PV 0 Z _PV −λ.X _PV

 

 

 

 _{#» #» #»}

⇒

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 



✟ X SV ✟ + ✟ ✟ X PV = 0 Y _SV + Y PV = 0

✟ Z SV ✟ +✟ Z PV ✟ = 0 0 + λ. ✟ Z _PV ✟ = 0 0 + 0 = 0 0 − λ.✟ X _PV ✟ = 0 Choisissons

Y SV comme paramètre

⇒

 

 

 

 

 



 

 

 

 

  (

F _{S → V} )

=

B

 

 

 



0 0

Y _SV 0

0 0

 

 

 

 ( #» x

b

, #» y

b

, #» z

b

)

( F _P → V

)

=

D

 

 

 



0 0

− Y SV 0

0 0

 

 

 

 ( #» x

b

, #» y

b

, #» z

b

)

dir #»

F (P → V)

dir #»

F (S → V)

Isolement du portique

(S) V

(P) (B)

Rotule (D) Pivot

(A,#»z)

Rotule (B)

Rotule (C) g

• Isolons le portique P

Isolement du portique

(S) V

(P) (B)

Rotule (D) Pivot

(A,#»z)

Rotule (B)

Rotule (C) g

• Isolons le portique P

• Faisons le bilan des actions mécaniques exercées sur le portique:

Isolement du portique

(S) V

(P) (B)

Rotule (D) Pivot

(A,#»z)

Rotule (B)

Rotule (C) g

• Isolons le portique P

• Faisons le bilan des actions mécaniques exercées sur le portique:

◦ Action du sol sur le portique (

F

_S→P

)

=

A

 

 



 

 

X _SP L _SP Y _SP M _SP Z SP 0

 

 



 

 

(

#» x

,

#» y

,

#» z

)

Isolement du portique

(S) V

(P) (B)

Rotule (D) Pivot

(A,#»z)

Rotule (B)

Rotule (C) g

• Isolons le portique P

• Faisons le bilan des actions mécaniques exercées sur le portique:

◦ Action du sol sur le portique (

F

_S→P

)

=

A

 

 



 

 

X _SP L _SP Y _SP M _SP Z SP 0

 

 



 

 

(

#» x

,

#» y

,

#» z

)

◦ Action du vérin sur le portique (

F

_V→P

)

= − (

F

_P→V

)

=

B

 

 

 



Y _SV . #» y b

#» 0

 

 

 



Isolement du portique

(S) V

(P) (B)

Rotule (D) Pivot

(A,#»z)

Rotule (B)

Rotule (C) g

• Isolons le portique P

• Faisons le bilan des actions mécaniques exercées sur le portique:

◦ Action du sol sur le portique (

F

_S→P

)

=

A

 

 



 

 

X _SP L _SP Y _SP M _SP Z SP 0

 

 



 

 

(

#» x

,

#» y

,

#» z

)

◦ Action du vérin sur le portique (

F

_V→P

)

= − (

F

_P→V

)

=

B

 

 

 



Y _SV . #» y b

#» 0

 

 

 



◦ Action du bateau sur le portique (

F

_B→P

)

= − (

F

_P→B

)

=

C



 



 



− m.g. #» y

#» 0



 



 



• Le système étant à l’équilibre, appliquons le principe fondamental de la statique au portique dans le repère galiléen lié au sol.

( F

P→P

)

= (

0 )

⇒ (

F

_S→P

)

+ (

F

_V→P

)

+ (

F

_B→P

)

= (

0

)

• Le système étant à l’équilibre, appliquons le principe fondamental de la statique au portique dans le repère galiléen lié au sol.

( F

P→P

)

= (

0 )

⇒ (

F

_S→P

)

+ (

F

_V→P

)

+ (

F

_B→P

)

= (

0 )

• Pour déterminer les inconnues des dernières liaisons, plaçons les torseurs

( F _{S → P}

) ,

( F _{V → P}

) et

( F _{B → P}

)

au même point (A):

M #»

(A,V→P)

= ✘✘ _#» ✘ ✘

M

(B,V→P)

+ AB # » ∧ #» F

(V→P)

= (d. #» x + λ. #» y

b

) ∧ Y

SV

. #» y

b

= d.Y

SV

.cos(θ). #» z

M #»

(A,B→P)

= ✘✘ _#» ✘

M

(C,B→P)

+ # »

AC ∧ #» F

(B→P)

=

c

x

. #» x + c

y

. #» y

∧ −m.g. #» y = −m.g.c

x

. #» z

A



 



 



X

SP

L

SP

Y

SP

M

SP

Z

SP

0



 



 



_(#»x

,#»y,#»z)

+

A

( Y

SV

. #» y

b

d.Y

SV

. cos(θ). #» z )

+

A

( − m.g. #» y

− m.g.c

x

. #» z )

= (

0

)

⇒



 

 

 

 

 

 

 



 

 

 

 

 

 

 



X _SP − Y _SV . sin(θ) +0 = 0 Y SP +Y SV . cos(θ) − m.g = 0

✟ Z _SP ✟ +0 +0 = 0

✟ L SP ✟ +0 +0 = 0

✟ M _SP ✟ ✟ +0 +0 = 0 0 +d .Y SV . cos(θ) − m.g.c x = 0

⇒

 

 

 

 

 

 

 



 

 

 

 

 

 

 

Y SV = c _x

d . cos(θ) .m.g X SP = c _x

d . tan(θ).m.g Y SP =

1 − c x

d

.m.g

donc au final:

( F _{P → B}

)

=

C

( m.g. #» y

#» 0 )

( F _{S → P}

)

=

A



 

 

 

 

 

  c _x

d . tan(θ).m.g 0

1 − c x

d

.m.g 0

0 0



 

 

 

 

 

 

( #» x , #» y , #» z )

( F _{P → V}

)

=

B

 

 

 

 

 



0 0

− c _x

d . cos(θ) .m.g 0

0 0

 

 

 

 

 

 ( #» x

b

, #» y

b

, #» z

b

)

( F _{S → V}

)

=

D

 

 

 

 

 



0 0

c _x

d . cos(θ) .m.g 0

0 0

 

 

 

 

 

 ( #» x

b

, #» y

b

, #» z

b

)

F #» (g → B)

F #» (g → B)

F #» (P→B)

F #» (g → B)

F #» (P→B)

dir #»

F (P→V)

dir #»

F _(S → V)

F #» (g → B)

F #» (P→B)

dir #»

F (P→V)

dir #»

F _(S → V)

F #» (B → P)

F #» (g → B)

F #» (P→B)

dir #»

F (P→V)

dir #»

F _(S → V)

F #» (B → P)

d ir #» F ( B → P )

F #» (g → B)

F #» (P→B)

dir #»

F (P→V)

dir #»

F _(S → V)

F #» (B → P)

d ir #» F ( B → P )

d ir F #»

( V

→

P )

F #» (g → B)

F #» (P→B)

dir #»

F (P→V)

dir #»

F _(S → V)

F #» (B → P)

d ir #» F ( B → P )

d ir F #»

( V

→ P )

dir F #»

( S →

P )

F #» (g → B)

F #» (P→B)

dir #»

F (P→V)

dir #»

F _(S → V)

F #» (B → P)

d ir #» F ( B → P )

d ir F #»

( V

→ P )

dir F #»

( S → P )

F #» _(B → P)

F #» (g → B)

F #» (P→B)

dir #»

F (P→V)

dir #»

F _(S → V)

F #» (B → P)

d ir #» F ( B → P )

d ir F #»

( V

→ P )

dir F #»

( S → P )

F #» _(B → P)

F #» (g → B)

F #» (P→B)

dir #»

F (P→V)

dir #»

F _(S → V)

F #» (B → P)

d ir #» F ( B → P )

d ir F #»

( V

→ P )

dir F #»

( S → P )

F #» _(B → P)

F #» (g → B)

F #» (P→B)

dir #»

F (P→V)

dir #»

F _(S → V)

F #» (B → P)

d ir #» F ( B → P )

d ir F #»

( V

→ P )

dir F #»

( S → P )

F #» _(B → P)

F #»

( V

→

P )

F #» (g → B)

F #» (P→B)

dir #»

F (P→V)

dir #»

F _(S → V)

F #» (B → P)

d ir #» F ( B → P )

d ir F #»

( V

→ P )

dir F #»

( S → P )

F #» _(B → P)

F #»

( V

→ P )

F #»

( S →

P )

F #» (g → B)

F #» (P→B)

dir #»

F (P→V)

dir #»

F _(S → V)

F #» (B → P)

d ir #» F ( B → P )

d ir F #»

( V

→ P )

dir F #»

( S → P )

F #» _(B → P)

F #»

( V

→ P )

F #»

( S → P )

F #»

( V

→

P )

F #» (g → B)

F #» (P→B)

dir #»

F (P→V)

dir #»

F _(S → V)

F #» (B → P)

d ir #» F ( B → P )

d ir F #»

( V

→ P )

dir F #»

( S → P )

F #» _(B → P)

F #»

( V

→ P )

F #»

( S → P )

F #»

( V

→ P )

F #»

( S →

P )

Sommaire

1 E.P.A.S

2 Lève bateau

3 Système à Arc-bouttement (téléski)

4 Equilibre d’un barrage

5 Etude d’un frein (avec le modèle de Coulomb)

6 Pince de Robot

7 Roue Libre

8 Radar X-band (D’après sujet CCP 99 - PSI)

L’objectif est de déterminer :

• de déterminer l’angle minimal entre la perche et la normale au câble pour qu’il n’y ait pas glissement entre la perche et le câble

• de montrer que le poids des skieurs n’influe pas sur ce glissement Pour traiter ce problème, on adoptera la modélisation proposée ci-dessous Hypothèses:

• le problème est supposé plan.

• on néglige le frottement entre la piste et les skis.

• le coefficient de frottement entre le cylindre 2 et le câble 3 est noté f .

• la liaison entre la perche et le cylindre 2 est une liaison pivot sans frottement de centre B.

• l’action du skieur sur la perche est modélisable par un glisseur passant par A (on néglige l’action de la main sur la perche).

• le centre de gravité du skieur, de masse m (avec son équipement), est en

G.

Questions

Q - 1 : Sur un schéma, montrer comment on peut déterminer graphique- ment :

• L’action de la piste sur les skis.

• L’action du cylindre sur la perche

Q - 2 : Compte tenu du jeu entre le cylindre 2 et le câble 3, précisez en quels points se fait le contact entre ces deux solides. Déterminez l’angle α maximal pour qu’il n’y ait pas glissement entre le cylindre 2 et le câble 3.

A PPLICATION N UMÉRIQUE : a = 150 mm, b = 100 mm, d = 10 mm, f = 0,4

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2 Lève bateau

3 Système à Arc-bouttement (téléski)

4 Equilibre d’un barrage

5 Etude d’un frein (avec le modèle de Coulomb)

6 Pince de Robot

7 Roue Libre

8 Radar X-band (D’après sujet CCP 99 - PSI)

Un barrage en béton repose sur le sol. L’eau exerce sur la paroi verticale du barrage une action mécanique de pression hydrostatique définie par la pres- sion : p(z ) = ρ.g.(h − z ) avec :

• ρ masse volumique de l’eau

• g accélération de la pesanteur

• z altitude du point M La longueur suivant #» y est L.

La masse volumique du barrage est notée ρ b barrage.

Q - 1 : Déterminer au point O le torseur d’action mécanique de l’eau sur le barrage.

Q - 2 : Montrer que ce torseur est un glisseur et rechercher son axe cen- tral. En déduire la position du centre de poussée.

Q - 3 : Déterminer le poids du barrage et la position de son centre de gra- vité.

Q - 4 : Etudier l’équilibre du barrage, et en déduire la valeur minimale du

coefficient de frottement entre le barrage et le sol pour que le bar-

rage ne glisse pas.

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3 Système à Arc-bouttement (téléski)

4 Equilibre d’un barrage

5 Etude d’un frein (avec le modèle de Coulomb)

6 Pince de Robot

7 Roue Libre

8 Radar X-band (D’après sujet CCP 99 - PSI)

Objectif : trouver les actions mécaniques due au frottement mutuel des disques 1 et 2

On appelle p la pression surfacique supposée constante et f le coefficient de frottement entre les deux disques. R ext et R int les rayons extérieurs et intérieurs des disques.

Q - 1 : Exprimer les composantes de l’effort local d # »

F ₂ → 1 en un point M du disque.

Q - 2 : Calculer la résultante du torseur des actions mécaniques de 2 → 1

# » F ₂ → 1

Q - 3 : Calculer le moment en O du torseur des actions mécaniques de 2 → 1 # »

M _(O,2 → 1)

Q - 4 : En déduire la relation entre le couple de frottement C _{f 2} → 1 et l’effort

normal F _N2 → 1

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2 Lève bateau

3 Système à Arc-bouttement (téléski)

4 Equilibre d’un barrage

5 Etude d’un frein (avec le modèle de Coulomb)

6 Pince de Robot Présentation Statique graphique

7 Roue Libre

8 Radar X-band (D’après sujet CCP 99 - PSI)

Présentation

Le système étudié est une pince adaptable sur un robot de manu- tention.

Un moteur électrique entraîne en

rotation la vis 1. Cette rotation

génère un déplacement de l’écrou

2, qui par un système de bielles (3,

4, 5, 3’, 4’, 5’) conduit au serrage

des doigts (6 et 6’).

Q - 1 : Réaliser le graphe des liaisons du système 0

1

2 3

3’

5 5’

4 4’

6

6’

Q - 2 : Le système est- il plan

Le contient une liaison hélicoïdale, il n’est donc pas plan. Sans cette liaison

hélicoïdale, le système serait plan.

Graphe de structure

0

1

2 3

3’

5 5’

4 4’

6

6’

Graphe de structure

0

1

2 3

3’

5 5’

4 4’

6 6’

Galet

Graphe de structure

0

1

2 3

3’

5 5’

4 4’

6 6’

Galet

Q - 3 : Résoudre graphiquement le problème

1

Dans la position 1

2

Dans la position 2

A B C

D E

F G

A B C

D E

F #» F

G7→6

G

A B C

D E

F #» F

G7→6

G

A B C

D E

F #» F

G7→6

G

A B C

D E

F #» F

G7→6

G

#» F

^57→6

A B C

D E

F #» F

G7→6

G

#» F

^57→6

#» F

^47→

6

A B C

D E

F #» F

G7→6

G

#» F

^57→6

#» F

^47→

6

A B C

D E

F #» F

G7→6

G

#» F

^57→6

#» F

^47→

6

A B C

D E

F #» F

G7→6

G

#» F

^57→6

#» F

^47→

6

#» F

^67→5

A B C

D E

F #» F

G7→6

G

#» F

^57→6

#» F

^47→

6

#» F

^67→5

#» F

37→5

A B C

D E

F #» F

G7→6

G

#» F

^57→6

#» F

^47→

6

#» F

^67→5

#» F

37→5

#» F

^07→5

A B C

D E

F #» F

G7→6

G

#» F

^57→6

#» F

^47→

6

#» F

^67→5

#» F

37→5

#» F

^07→5

F #»

37→2

A B C

D E

F #» F

G7→6

G

#» F

^57→6

#» F

^47→

6

#» F

^67→5

#» F

37→5

#» F

^07→5

F #»

37→2

#»

F

3^′7→2

A B C

D E

F #» F

G7→6

G

#» F

^57→6

#» F

^47→

6

#» F

^67→5

#» F

37→5

#» F

^07→5

F #»

37→2

#»

F

3^′7→2

F #»

_17→2

A B C

D

E

F #» F

G7→6

G

A B C

D

E

F #» F

G7→6

G

A B C

D

E

F #» F

G7→6

G

A B C

D

E

F #» F

G7→6

G

F #»

_57→

6

A B C

D

E

F #» F

G7→6

G

F #»

_57→

6

#» F

47→6

A B C

D

E

F #» F

G7→6

G

F #»

_57→

6

#» F

47→6

A B C

D

E

F #» F

G7→6

G

F #»

_57→

6

#» F

47→6

A B C

D

E

F #» F

G7→6

G

F #»

_57→

6

#» F

47→6

F #»

_67→

5

A B C

D

E

F #» F

G7→6

G

F #»

_57→

6

#» F

47→6

F #»

_67→

5

#» F

37→5

A B C

D

E

F #» F

G7→6

G

F #»

_57→

6

#» F

47→6

F #»

_67→

5

#» F

37→5

F #»

07→5

A B C

D

E

F #» F

G7→6

G

F #»

_57→

6

#» F

47→6

F #»

_67→

5

#» F

37→5

F #»

07→5

#» F

_37→2

A B C

D

E

F #» F

G7→6

G

F #»

_57→

6

#» F

47→6

F #»

_67→

5

#» F

37→5

F #»

07→5

#» F

_37→2

#» F

₃^′_7→2

A B C

D

E

F #» F

G7→6

G

F #»

_57→

6

#» F

47→6

F #»

_67→

5

#» F

37→5

F #»

07→5

#» F

_37→2

#» F

₃^′_7→2

F #»

_17→2

Q - 4 : Le pas de la vis 2 étant de 5mm, déterminer le couple au niveau

du moteur dans les deux positions précédentes.

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2 Lève bateau

3 Système à Arc-bouttement (téléski)

4 Equilibre d’un barrage

5 Etude d’un frein (avec le modèle de Coulomb)

6 Pince de Robot

7 Roue Libre

8 Radar X-band (D’après sujet CCP 99 - PSI)

Roue Libre

Le système représenté ci-dessous est une roue libre très simplifiée (une seule bille à été représenté). On se propose de vérifier le principe de fonctionnement de ce système.

• Modélisation et paramétrage cinématique :

• Hypothèses de calcul :

◦ Tous les solides sont considérés comme indéformables,

◦ Tous les contacts s’effectuent avec un frottement de même coefficient,

◦ Toutes les masses sont négligées,

◦ Du fait de la symétrie du système, l’étude peut se résumer à un problème plan,

◦ On néglige l’action du ressort sur la bille.

Q - 1 : Déterminer le coefficient de frottement minimum nécessaire en

fonction de pour que le système puisse fonctionner.

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1 E.P.A.S

2 Lève bateau

3 Système à Arc-bouttement (téléski)

4 Equilibre d’un barrage

5 Etude d’un frein (avec le modèle de Coulomb)

6 Pince de Robot

7 Roue Libre

8 Radar X-band (D’après sujet CCP 99 - PSI)

9 Etude statique du robot MaxPID

Radar X-band (D’après sujet CCP 99 - PSI)

Le radar météorologique bande X est un outil d’aide à l’analyse et à l’observa- tion des masses nuageuses.

En France on en compte 14 répartis sur l’ensemble du territoire. Le principe de fonctionnement est basé sur l’émission/réflexion: à intervalles de temps réguliers, le radar émet dans l’atmosphère des ondes électromagnétiques de forte puissance, de durée très brève et de fréquence très élevée.

L’énergie contenue dans cette onde est concentrée par une antenne directive.

Les cibles qui se trouvent à l’intérieur du faisceau interceptent l’onde émise,

une partie de la puissance incidente est alors absorbée, et rayonne dans

toutes les directions.

La fraction du signal qui retourne vers l’antenne est le signal utile à la détection.

Ainsi, en fonction de l’orientation de l’antenne et du temps écoulé entre l’émission de l’onde et le retour de la puissance réfléchie, on pourra localiser la direction et la distance de la cible.

L’antenne balaye l’atmosphère suivant deux axes de rotation : une rotation d’axe vertical nommée " azimut " et une rotation d’axe horizontal nommée "

site ". L’étude proposée portera sur l’équilibrage statique de l’axe de " site "

correspondant à l’axe #» x 1 du schéma.

• Hypothèses de calcul :

◦ Tous les solides sont considérés comme indéformables et les liaisons comme parfaites,

◦ Le repère R (O, #» x

₀

, #» y

₀

, #» z

₀

) est considéré comme galiléen,

◦ L’angle d’azimut est nul α = 0 et β = cste ,

◦ Seules les masses de la parabole (M

P

) et de 3 (M

3

) sont prises en compte, toutes les autres sont négligées,

◦ La parabole est soumise à l’action du vent, modélisé par un glisseur de résultante # »

F

V

= − F

V

. #» y

0

appliquée en P,

◦ Le pilotage de la rotation de l’angle du site β est obtenu par un moteur dont le couple est C

_ms

.

• Modélisation et paramétrage cinématique :

Q - 1 : Donner la forme du torseur des actions mécaniques transmis- sibles par la liaison entre 1 et 2.

Q - 2 : Exprimer les actions mécaniques de pesanteur et l’action du vent sous la forme de torseurs.

Q - 3 : Ecrire tous les torseurs au point A.

Q - 4 : En appliquant le principe fondamental de la statique à l’émetteur-

récepteur 2 + Masse 3, exprimer le couple C ms ainsi que les actions

mécaniques transmises par la liaison pivot.

Q - 5 : L’émetteur-récepteur 2 est équilibré en modifiant la masse M ₃ du contrepoids 3 pour obtenir un couple C ms nul pour β = 0. L’équili- brage est obtenu par vent nul. Déterminer l’expression de la masse M 3

permettant d’obtenir l’équilibrage de l’émetteur-récepteur 2.

Q - 6 : L’émetteur-récepteur 2 est équilibré. En utilisant l’expression

trouvée dans la question précédente, et en considérant toujours F V =

0, simplifier l’expression du couple C ms . Tracer l’évolution du couple

pour un angle β ∈ [0, π/4]. Quelle modification géométrique du radar

permettrait d’obtenir un équilibrage pour tout angle β ?

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1 E.P.A.S

2 Lève bateau

3 Système à Arc-bouttement (téléski)

4 Equilibre d’un barrage

5 Etude d’un frein (avec le modèle de Coulomb)

6 Pince de Robot

7 Roue Libre

8 Radar X-band (D’après sujet CCP 99 - PSI)

Etude statique du système Maxpid

Objectifs : Calcul du couple théorique du moteur pour maintenir l’ensemble en équilibre.

Hypothèses :

• On est à l’équilibre

• On néglige l’action mécanique de la pesanteur sur l’ensemble des pièces autres que les masses concentrées

• Toutes les liaisons sont considérées comme parfaites

• Le moteur exerce entre 4 et 3 un moment noté C m , dirigé selon #» x 1 . En

D, une masse ponctuelle est accrochée (masse m, direction de la

pesanteur − #» y 0 )

Q - 7 : Tracer le graphe de structure du mécanisme

0

1 2 3

4

Pivot (B, #»

Z

0

)

Pivot glissant (C, #»

Z

0

) hélicoïdale

(O, X #»

₁

)

Pivot (O, X #»

₁

)

Sphérique à doigt (0, #» X

1

)

Gravitation

#» g = − #»

Y

0

C #»

4→3

= C

m

. #»

X

1

Q - 8 : Donner les torseurs des actions mécaniques transmissibles par chacune des liaisons présentes dans le schéma cinématique.

( F

_1→0

)

=

B

 

 

 



X

10

L

10

Y

10

M

10

Z

₁₀

0

 

 

 



B₁

=

B

( X

10

. #»

X

1

+ Y

10

. #»

Y

1

+ Z

10

. #»

Z

1

L

10

. #»

X

1

+ M

10

. #»

Y

1

)

( F

_2→1

)

=

C

 

 

 



X

21

L

21

Y

₂₁

M

₂₁

0 0

 

 

 



B₁

=

C

( X

21

. #»

X

1

+ Y

21

. #»

Y

1

L

21

. #»

X

1

+ M

21

. #»

Y

1

)

( F

_3→2

)

=

O

 

 



 

  X

32

p 2.π X

32

Y

32

M

32

Z

32

N

32

 

 



 

 

B₁

=

O

 

 

 



X

32

. #»

X

1

+ Y

32

. #»

Y

1

+ Z

32

. #»

Z

1

p 2.π X

32

. #»

X

1

+ M

32

. #»

Y

1

+ N

32

. #»

Z

1

 

 

 

 (

F

_4→3

)

=

O

 

 

 



X

43

0 Y

₄₃

M

₄₃

Z

43

N

43

 

 

 



B₁

=

O

( X

43

. #»

X

1

+ Y

43

. #»

Y

1

+ Z

43

. #»

Z

1

L

43

. #»

X

1

+ M

43

. #»

Y

1

+ N

43

. #»

Z

1

)

( F

_4→0

)

=

O

 

 

 



X

40

L

40

Y

₄₀

0 Z

40

0

 

 

 



B₁

=

O

( X

40

. #»

X

1

+ Y

40

. #»

Y

1

+ Z

40

. #»

Z

1

L

40

. #»

X

1

)

Q - 9 : Proposer une méthodologie pour atteindre l’objectif : (isolements à effectuer, équations à écrire,. . .)

Nous avons au total 23 inconnues d’efforts dans les liaisons et une inconnue

liée au couple moteur. Il nous faut donc 24 équations indépendantes pour

résoudre complètement le problème. Nous pouvons obtenir 24 équations, en

isolant 4 systèmes de solides indépendants et en leur appliquant le principe

fondamental de la statique.

Q - 10 : Déterminer l’expression de C m en fonction de θ, de α et des para- mètres géométriques constants.

−

→ x ₀

−

→ y 0

−

→ z 1

−

→ z ₀

−

→ x 1

−

→ y ₁

α − →

x ₀

−

→ y 0

−

→ z 2

−

→ z ₀

−

→ x 2

−

→ y ₂

θ

−

→ x ₁

−

→ y ₁

−

→ z ₂ − → z ₁

−

→ x ₂

−

→ y 2

θ − α

On isole la pièce 1

◦ On fait le bilan des actions mécaniques exercées sur 1

◮

Efforts de liaisons #»

F

_(0→1)

◮

Efforts de liaisons #»

F

_(2→1)

◮

Action mécanique de la gravitation : (

F

_g→1

)

=

D

n − m.g. #» y ₀ ^o

◦ D’après le principe fondamental de la statique appliqué à 1 dans le repère supposé galiléen R (O, #» x ₀ , #» y ₀ , #» z ₀ ):

( F _{0 → 1}

) +

( F _{2 → 1}

) +

( F _{g → 1}

)

= (

0

)