CI-5 M ODÉLISER LES ACTIONS MÉCANIQUES
P RÉVOIR ET VÉRIFIER LES PERFORMANCES DE SYSTÈMES SOUMIS À DES ACTIONS MÉCANIQUES STATIQUES .
Objectifs ANALYSER-MODELISER-RESOUDRE-OPTIMISER
A la fin de la séquence,
• B2 :Proposer un modèle de connaissance et de comportement
◦ Associer un modèle à une action mécanique
◦ Déterminer la relation entre le modèle local et le modèle global
◦ Associer à chaque liaison son torseur d’actions mécaniques transmissibles
• C1 :Proposer une démarche de résolution
◦ Choisir une méthode pour déterminer la valeur des paramètres conduisant à des positions d’équilibre
• C2 :Procéder à la mise en oeuvre d’une démarche de résolution analytique
◦ Déterminer le calcul complet des inconnues de liaison
◦ Déterminer la valeur des paramètres conduisant à des positions d’équilibre (par exemple l’arc-boutement)
Table des matières
1 Modélisation d’une action mécanique 2
1.1 Définition . . . . 2
1.2 Notion de force . . . . 2
1.3 Notion de moment . . . . 2
1.4 Torseur d’action mécanique . . . . 2
1.5 Cas particuliers . . . . 3
2 Actions mécaniques transmissibles par une liaison parfaite 3 2.1 Rappels sur les liaisons parfaites . . . . 3
2.2 Analyse de la liaison pivot . . . . 4
2.3 Tableau des liaisons usuelles . . . . 4
2.4 Moyen mnémotechnique de retrouver les torseurs des liaisons parfaites . . . . 4
2.5 Modélisation plane . . . . 5
3 Actions mécaniques particulières 6 3.1 Pesanteur . . . . 6
3.2 Pression hydrostatique d’un fluide sur un solide . . . . 6
4 Lois de Coulomb 7 4.1 Lois de Coulomb (ou loi du frottement) pour un contact ponctuel . . . . 7
4.2 Lois de Coulomb pour un contact non ponctuel . . . . 9
5 Principe Fondamental de la Statique (PFS) 10 5.1 Isolement d’un solide . . . 10
5.2 Action mécanique extérieure / intérieure . . . 10
5.3 Enoncé du PFS . . . 11
5.4 Théorèmes généraux de la statique . . . 11
5.5 Théorèmes des actions réciproques . . . 12
5.6 Système soumis à l’action de 2 glisseurs (forces) . . . 12
5.7 Système soumis à l’action de 3 glisseurs (forces) . . . 13
6 Liaisons équivalentes 14 6.1 Liaisons en parallèle . . . 14
6.2 Liaison en série . . . 15
7 Résolution d’un problème de statique 15 7.1 Hypothèses . . . 15
7.2 Algorithme de résolution . . . 15
7.3 Résolution d’un problème de statique plan . . . 16
1. MODÉLISATION D’UNE ACTION MÉCANIQUE 2/16
1 Modélisation d’une action mécanique
1.1 Définition
DÉFINITION: Action mécanique Toute cause susceptible de
• maintenir un corps au repos
• créer un mouvement
• déformer un corps
On distingue deux types d’actions mécaniques :
• les actions mécaniques de contact (liaison de contact entre solides, pression,. . . .)
• les actions mécaniques à distance (champ de pesanteur, force électromagnétique,. . . ) 1.2 Notion de force
L’action mécanique est caractérisée par :
sa direction son sens son intensité
Elle possède donc toutes les caractéristiques d’un vecteur. Un action mécanique représentable par un vecteur est appelée force. Cependant cette notion de force n’est pas suffisante pour décrire les actions mécaniques.
1.3 Notion de moment
Pour définir complètement une action mécanique, il convient de prendre en compte son point d’implication (P) :
Il est donc nécessaire d’introduire la notion de moment au pointA de la force#»
F appliquée enPet défini par : M#»(A,#»FP)= #»
M(A,#»F)= # » AP∧ #»
F
REMARQUE:l’unité d’un moment est le N.m.
La porte se ferme La porte ne se ferme pas
1.4 Torseur d’action mécanique
Puisque #»
M(B,#»FP)= # » BP∧#»
FP=# » BA+ # »
AP
∧#»
FP = # » BA∧#»
FP+ # » AC∧#»
FPd’où #»
M(B,#»FP)= #»
M(A,#»FP)+ # » BA∧ #»
FP
2. ACTIONS MÉCANIQUES TRANSMISSIBLES PAR UNE LIAISON PARFAITE 3/16
Le champ des moments d’une force est donc. . . un champ de moments ! ! Il est donc représentable par un torseur avec comme
vecteur résultante, la force appliquée#»
FP:
F#»FP→Σ=
M
( #»
FP
M#»(M,#»FP)
)
Dans le cas général d’un systèmeS soumis à une force #»
F, le torseurFF#»→S de l’action mécanique créée par cette force s’écrit :
F#»F→S =
M
#»R#»F→S
M# »(M,#»F→S)
=
M
X L Y M Z N
B
Lorsqu’il y a plusieurs actions mécaniques, on additionne les torseurs (attention au point où on additionne les torseurs)
FP
i
h#»Fii
→Σ=X
i
M
R#»#»Fi→Σ
M# »(M,#»Fi→Σ)
=
M
X
i
h#»
R#»Fi→Σ
i X
i
h# »
M(M,#»Fi→Σ)
i
1.5 Cas particuliers
1.5.1 Torseur couple
Un torseur couple est de la formeFF#»→S =
M
#»0 M# »(M,F#»→S)
avec # »
M(M,#»F→S), #»
0 . 1.5.2 Torseur glisseur
Un torseur glisseur est de la formeF#»F→S =
A
( #»
R#»F#»→S
0 )
avec∀M, # »
M(M,#»F→S).#»
R#»F→S =0.
L’action mécanique d’une force#»
F appliquée en un pointAest modélisable par un glisseur.
DÉMONSTRATION: M# »(M,#»F→S).#»
R#»F→S = h
# »
M(A,#»F→S)+ # » MA∧#»
R#»F→S
i.#»
R#»F→S =h# » MA∧#»
R#»F→S
i.#»
R#»F→S =0
2 Actions mécaniques transmissibles par une liaison parfaite
2.1 Rappels sur les liaisons parfaites
Ces liaisons parfaites ont les caractéristiques suivantes :
• Les pièces mécaniques sont des solides indéformables.
• Les surfaces sont géométriquement parfaites.
• Les jeux sont nuls
• Le contact est sans frottement ni adhérence.
2. ACTIONS MÉCANIQUES TRANSMISSIBLES PAR UNE LIAISON PARFAITE 4/16
2.2 Analyse de la liaison pivot
Une liaison pivot d’axe (O,#»x) permet un mouvement de rotation, autour de cet axe, entre deux solidesSietSk. Sa réalisa- tion se fait essentiellement par un couple de surfaces cylindriques de révolution, avec éventuellement des paliers lisses ou des roulements, et des arrêts axiaux.
Projection orthogonale
#»z
#»x Sk
Si
Perspective
En tout point de l’axe (O,#»x), donc en particulier au point O, les éléments de réduction du torseur cinématique associé s’écrivent :
Sa schématisation (norme NF E 04-015) est donnée ci- contre.
VSk/Si =
O
Ω#»(k/i)
ωx
0 0
V#»(O,S
k/Si)
0 0 0
Considérer une liaison pivot d’axe (O,#»x) entre deux solides
revient à considérer, d’un point de vue mathématique, les surfaces de liaison comme des surfaces de révolution non
cylindriques d’axe (O,#»x) : La densité surfaciqued#»
Fl(Si 7→Sk) rencontre l’axe (O,#»x) en H, donc son moment en O a une projection nulle sur l’axe (O,#»x). En effet
M# »(O,Si→Sk).#»
X = h# » OIl∧d#»
Fl(Si7→Sk)i .#»
X
= h# » OH∧d#»
Fl(Si7→Sk)i .#»
| {z }X
0
. . . . . .+h# »
HIl∧d#»
Fl(Si 7→Sk)i
| {z }
#»0
.#»
X =0
d’après les conditions de nullité du produit vectoriel et du produit mixte.
Par conséquent le torseur d’inter-efforts transmissibles par la liaison pi- vot d’axe (O,#»
X) entre les deux solidesSietSks’écrit :
La forme de ce torseur est conservée en tout point de l’axe (O,#»
X).
FSk→Si =
O
R#»Si→Sk
X Y Z
M# »(O,Sk→Si)
0 M N
2.3 Tableau des liaisons usuelles
Une étude semblable peut être faite pour toutes les liaisons usuelles. Le tableau des liaisons et de leur torseur d’action trans- missible est donné dans le cours sur les chaînes de solides.
2.4 Moyen mnémotechnique de retrouver les torseurs des liaisons parfaites
Nous verrons dans le programme de deuxième année que la liaison étant parfaite, la puissance des efforts intérieurs à la
3. ACTIONS MÉCANIQUES PARTICULIÈRES 5/16
liaison sont nuls. Le comoment du torseur cinématiqueVS2/S1 et du torseur des actions mécaniquesFS
2→S1 est donc nul.
#»RS2→S1.#»V(A,S
2/S1)+Ω#»(S2/S1).# »
M(A,S2→S1) = 0 X10u10+Y10v10+Z10w10+L10p10+M10q10+N10r10 = 0
On peut en déduire que le produit scalaire du vecteur résultante des actions mécaniques et du vecteur vitesse entre les so- lides est nul. Il en est de même pour le produit scalaire du moment des actions mécaniques et du vecteur rotation entre les solides. Ainsi, il convient de remplacer de façon duale les zéros du torseur cinématique pour obtenir le torseur des actions mécaniques et inversement. Attention toute fois à ne pas se tromper de colonne et dans le cas de la liaison hélicoïdale ! Par exemple pour la liaison pivot :
VS2/S1 =
A
ω21 0
0 0
0 0
R
⇒
A
X 0 Y M Z N
R
=FS2→S1
• X,Y etZ sont les composantes de #»
RS2→S1 dans le repèreR.
• L,MetNsont les composantes de # »
M(A,S2→S1)dans le repèreR, avecL=0.
Physiquement, cela se comprend car si on applique une force ou un moment selon une certaine direction à une des pièces, cette force (ou ce moment) ne peut pas être transmise à l’autre pièce si il y a un mouvement possible entre les deux dans cette même direction.
2.5 Modélisation plane
ddl Nom de la liaison Schématisation Caractéristique géométrique
Torseur cinématique
V1/0=
X
( V#»#»Ω(X,S(S1/S1/S0)0)
)
Torseur des actions mécaniques
transmissibles 0 ddl
0 tr 0 rt
Encastrement ∀M∈(ε)
M
− 0
− 0
0 −
R0 M
X10 − Y10 −
− N10
R0
1 ddl 1 tr 0 rt
Glissière 1 direction#»x
∀M∈(ε)
M
− u10
− 0
0 −
R0 M
0 −
Y10 −
− N10
R0
1 ddl 0 tr 1 rt
Pivot 1 axe (A,#»z)
∀M∈(A,#»z)
M
− 0
− 0 r10 −
R0 M
X10 − Y10 −
− 0
R0
2 ddl 1 tr 1 rt
Ponctuelle plane
Normal au plan
#»y, point de contactA
A
− u10
− 0 r10 −
R0 A
0 −
Y10 −
− 0
R0
Dans un problème considéré comme plan, un solideSkpossède au maximum trois degrés de liberté par rapport à un repère de référenceRi. Quatre modèles de liaisons, correspondant à des formes particulières du torseur cinématique, peuvent être retenus.
Dans une modélisation plane, les forces appartiennent toutes à un même plan ou sont parallèles à ce plan, les couples étant perpendiculaires à ce plan. Pour chaque liaison, connaissant les mouvement effectifs permis, il est aisé de déterminer le torseur des inter-efforts transmissibles. Il est également possible d’utiliser la relation :
X10.u10+Y10.v10+Z10.w10+L10.p10+M10.q10+N10.r10 =0 ramenée à un problème plan soit : X10.u10+Y10.v10+N10.r10 =0
. Nous obtenons donc le tableau précédant.
4. ACTIONS MÉCANIQUES PARTICULIÈRES 6/16
3 Actions mécaniques particulières
3.1 Pesanteur
Un point matériel que l’on lâche au voisinage de la surface de la terre tombe. Sa trajectoire est rectiligne et verticale. Le déplacement a lieu de haut en bas avec une accélération constante par rapport à la terre :g=9,81 m.s−2.
Ce déplacement est dû à une action à distance : lepoids (dû au phéno- mène d’attraction terrestre ou pesanteur). Le point matériel de massem est soumis à la force :
#»P =m.#»g Le poids #»
P est dirigé de haut en bas et est porté par une droite ver- ticale (en négligeant la rotation de la terre) qui passe par le point matériel.
Chaque point matérielMid’un solideS est soumis à cette attraction ter- restre :
Nous pouvons donc écrire le torseur résultant en un pointMj quelconque :
F n
X
i
#»Pi →S
=
A
#»R =
n
X
i=1
#»Pi M# »(A,#»Pi→S)=
n
X
i=1
# » AMi∧#»
Pi
=
A
#»R =
n
X
i=1
mi.#»g M# »(A,#»Pi→S) =
n
X
i=1
# »
AMi∧mi.#»g
Quand la masse est distribuée de manière continue, ce torseur prend la forme
FX
i
#»Pi →S =
A
#»R = Z
M∈S
#»g.dm M# »(A,#»Pi→S)=
Z
M∈S
# »
AM∧#»g.dm
=
G
( m.#»g
#»0 )
oùdmest l’élément de masse autour du pointM. Le centre de gravitéGest le point définit par Z
M∈S
# »
GM.dm= #»
0
soit encore
# » AG= 1
m. Z
M∈S
# » AM.dm
. Si le système est discret
X
i
mi
.AG# »=X
i
mi.AM# »i
REMARQUES:
• siS possède un plan de symétrie,Gy appartient
• siS possède un axe de symétrie,Gy appartient
• siS possède un centre de symétrie,Gest confondu avec ce centre.
3.2 Pression hydrostatique d’un fluide sur un solide
Soit p(M) la pression en un pointMd’un fluide. Le fluide est en contact sur la surfaceΣavec le solideS. On a alors :
Ff luide→S =
O
"
M∈Σp(M).#»n(M).dΣ
"
M∈Σ
# »
OM∧(p(M).#»n(M)).dΣ
Où #»n(M) est la normale en Mdirigée vers l’extérieur du solideS. La pression exerce une densité de force localement normale à la paroi.
#»n(M) M
p(M).#»n(M)
N n#»
(N )
p(N)#».n(N)
4. LOIS DECOULOMB 7/16
4 Lois de Coulomb
4.1 Lois de Coulomb (ou loi du frottement) pour un contact ponctuel
Entre deux solides S1 et S2 en contact peuvent se transmettre des actions mécaniques avec frottement (dû aux irrégularités de contact, et au bourrelets de contact).
Coulomb a déterminé empiriquement des lois sur les efforts.
Soit
• Ile point de contact
• Πle plane tangent commun aux deux so- lides
• #»n la normale àΠ
Le mouvement deS2par rapport àS1est caractérisé par
• un vecteur vitesse de glissement #»
V(I,2/1)
• un vecteur rotationΩ#»(2/1)
• un vecteur rotation de pivotementΩ#»p(2/1)=(Ω#»(2/1).#»n).#»n
• un vecteur rotation de roulementΩ#»r(2/1) =Ω#»(2/1)−Ω#»p(2/1)
4.1.1 Lois de Coulomb concernant le glissement Soient
• #»F(17→2)la force deS1surS2au niveau du pointI
• #»
N(17→2) la force normale deS1 surS2 au niveau du pointI
#»N(17→2)=#»F(17→2).#»n .#»n
• #»
T(17→2) la force tangentielle deS1 surS2 au niveau du pointI
#»T(17→2)= #»
F(17→2)− #»
N(17→2) Les lois de Coulomb spécifient que :
• s’il y a glissement au contact entreS1etS2: #»
V(I,2/1) , #»
0 ⇒
#»T(17→2)∧#»
V(I,2/1)= #»
#» 0 T(17→2).#»
V(I,2/1)<0
#»T(17→2) = f.
N#»(17→2)
• s’il y a adhérence au contact entreS1etS2:
V#»(I,2/1)= #»
0 ⇒
T#»(17→2) ≤ f.
N#»(17→2) où f est le coefficient de frottement entreS1etS2.
La force#»
F(17→2)doit donc être située dans le cône de frottement de demi angle au sommetϕtel que f =tanϕ
4. LOIS DECOULOMB 8/16
Si#»F(17→2)est sur le cône, il y aglissement. Si la force est dans le cône, il n’y a pas glissement. On parle alors d’adhérence
#»F(17→2)
Glissement#»
F(17→2)
Adhérence
Le coefficient de frottement f entreS1etS2ne dépend que de la nature des matériaux deS1etS2et de leur état de surface au niveau du contact.
Nature des matériaux Etat de surface f =tanϕ
Acier sur acier Polie 0.1
Acier sur bronze A sec 0.2
Fonte sur bronze A sec 0.1
Acier sur bronze Lubrifié 0.07
Fonte sur Fonte Lubrifié 0.07
Acier ou fonte sur garniture de friction A sec 0.45
Pneu neuf sur chaussée A sec 0.6
4.1.2 Lois de Coulomb concernant le roulement
Si le contact est rigoureusement ponctuel, # »
M(I,1→2) = #»
0 . Si le contact n’est par rigoureusement ponctuel, cette équation n’est plus vraie. Pour les contactsquasi ponctuels(la surface est suffisamment grande pour que # »
M(I,1→2) , 0 mais reste petite tout de même), des lois analogues à celles précédemment données existent pour les vecteurs rotations et moment.
Soient
• # »
M(I,1→2)le moment enIdeS1surS2
• # »
MN(I,17→2) le couple de résistance au pivotement en IdeS1surS2
# »
MN(I,17→2) =# »
M(I,1→2).#»n .#»n
• # »
MN(I,17→2)le couple de résistance au roulement enI deS1surS2.
# »
MT(I,17→2) = # »
M(I,1→2)−# »
M(I,1→2).#»n .#»n Les lois de Coulomb pour le roulement s’écrivent
• s’il y a glissement au contact entreS1etS2:
Ω#»R(2/1), #»
0 ⇒
# »
MT(I,17→2)∧Ω#»R(2/1)= #»
# » 0
MT(I,17→2).Ω#»R(2/1)<0
# » MT(I,17→2)
= fR.
N#»(17→2)
4. LOIS DECOULOMB 9/16
• s’il y a adhérence au contact entreS1etS2:
Ω#»R(2/1)= #»
0 ⇒
# » MT(I,17→2)
≤ fR.
N#»(17→2) où fRest le coefficient de résistance au roulement entreS1etS2.
4.1.3 Lois de Coulomb concernant le pivotement
De la même manière, les lois de Coulomb pour le pivotement s’écrivent
• s’il y a glissement au contact entreS1etS2:
Ω#»P(2/1), #»
0 ⇒
# »
MN(I,17→2)∧Ω#»P(2/1)= #»
# » 0
MN(I,17→2).Ω#»P(2/1) <0
# » MN(I,17→2)
= fP.
N#»(17→2)
• s’il n’y a pas glissement au contact entreS1etS2:
Ω#»P(2/1)= #»
0 ⇒
# » MN(I,17→2)
≤ fP.
#»N(17→2) où fPest le coefficient de résistance au pivotement entreS1etS2.
4.2 Lois de Coulomb pour un contact non ponctuel
Les lois de Coulomb, concernant le frottement de glissement, ne sont valables que pour un contact ponctuel ou "quasi ponc- tuel". Mais très souvent le contact entre deux solides n’est pas ponctuel et s’effectue sur une surface entière .
Soient
• #»
fp(17→2)la densité surfacique de force de S1surS2au niveau du pointPde la zone de contact
• #»np(17→2)la densité surfacique de force nor- male deS1surS2au niveau du pointPde la zone de contact
#»np(17→2)=#»
fp(17→2).#»n .#»n
• #»tp(17→2)la densité surfacique de force tan- gentielle deS1surS2 au niveau du point Pde la zone de contact
#»tp(17→2)= #»
fp(17→2)− #»np(17→2) L’action mécanique deS1surS2estF1→2=
A
( ! #»
fp(17→2)dS
! # »
AP∧#»
fp(17→2)dS )
. Les lois de Coulomb s’écrivent :
• s’il y a glissement au contact entreS1etS2:
V#»(I,2/1) , #»
0 ⇒
#»tp(17→2)∧#»
V(I,2/1)= #»
#»tp(17→2).V#»(I,2/1)<00
#»tp(17→2) = f.
#»np(17→2)
• s’il y a adhérence au contact entreS1etS2:
V#»(I,2/1)= #»
0 ⇒
#»t p(17→2) ≤ f.
#»np(17→2) où f est le coefficient de frottement entreS1etS2au niveau du pointP.
La solution pratique du problème exige :
• la connaissance de la loi de répartition de #»np(17→2)
5. PRINCIPEFONDAMENTAL DE LASTATIQUE(PFS) 10/16
• la loi de répartition de f (qui peut dépendre du pointPconsidéré).
Dans de nombreux cas, nous pouvons faire des hypothèses simplificatrices qui peuvent être :
• une répartition uniforme pour f
• une répartition uniforme pour #»np(17→2)ou une répartition qui, en essayant d’approcher la réalité, permet des calculs rapides.
5 Principe Fondamental de la Statique (PFS)
5.1 Isolement d’un solide
Pour étudier un système matériel (Σ) on commence par l’isoler de l’extérieur Σ
. EXEMPLE:
Le système matériel (Σ) défini à l’intérieur de la frontière est constitué du corps de vérin, de deux pattes de fixation, du piston, d’un joint, de la tige, du ressort, et du volume d’air situé dans la chambre entre le piston et le corps.
Ce système est en relation avec l’extérieur par l’intermédiaire de deux liaisons : une liaison encastrement (patte de fixation) une liaison rotule de centreOavec un autre système. De plus, chaque corps du système est soumis au champ d’action de la pesanteur.
Isolons le système matériel (S) constitué de la tige, du piston et du joint du vérin. L’extérieur de (S), noté S
, est constitué du corps de vérin, de deux pattes de fixation, du ressort, du volume d’air situé dans la chambre entre le piston et le corps et de l’extérieur deΣ(Σ).
5.2 Action mécanique extérieure / intérieure
Les actions mécaniques extérieures à un système matériel (S) sont l’ensemble des actions mécaniques de S
sur (S).
EXEMPLE:Bilan des actions mécaniques exercées sur l’ensemble matériel{tige, piston, joint}du vérin.
5. PRINCIPEFONDAMENTAL DE LASTATIQUE(PFS) 11/16
Les actions mécanique intérieures à un système matériel (S) sont l’ensemble des actions mécaniques mutuelles entre les différents sous ensembles de (S).
EXEMPLE:l’action mutuelle de la tige sur le piston, et l’action mutuelle du piston sur le joint.
5.3 Enoncé du PFS
Dans un repère galiléenRg, si un système matériel (Σ) est en équilibre, l’ensemble des actions mécanique extérieures est nul.
(Σ) en équilibre dansRg ⇒ FΣ→Σ=
A
R#»Σ→Σ M# »(A,Σ→Σ)
=0
REMARQUES:
• Le Principe Fondamental de la Statique ne se démontre pas, c’est un cas particulier du Principe Fondamental de la Dynamique (P.F.D).
• Si un torseur est nul alors il est nul en tout point. Il n’est donc pas nécessaire d’imposer un point pour exprimer le torseur des actions extérieures. Par contre, il est judicieux de choisir correctement ce point afin de simplifier au maximum les calculs : en particulier ce point peut être l’origine d’une force inconnue.
• Les repères galiléens sont des repères où le PFS est vérifié. Pour des applications des systèmes mécaniques classiques (voiture, avion, machine,. . . ), la Terre est une bonne approximation d’un repère Galiléen.
• L’analyse de PFD montre qu’il est possible d’étendre le champ d’application du PFS à des systèmes mobiles dans les trois cas particuliers suivants :
◦ mouvement de translation uniforme
◦ mouvement de rotation uniforme d’un solide équilibré dynamiquement
◦ lorsque les effets des masses et des inerties peuvent être négligés devant les efforts extérieurs
• la réciproque du P.F.S n’est pas forcément juste.
EXEMPLE: : l’ensemble des actions extérieures sur le ciseau sont nulles, alors qu’il va se mettre à bouger.
5.4 Théorèmes généraux de la statique
Une égalité de torseur se traduit par deux égalités vectorielles. Dans un problème spatial, elle génère 6 équations scalaires mais dans un problème plan, seulement 3 équations scalaires. Ainsi, on déduit du principe fondamental de la dynamique les deux théorèmes suivants.
5.4.1 Théorème de la résultante statique
5. PRINCIPEFONDAMENTAL DE LASTATIQUE(PFS) 12/16
Dans un repère galiléenRg, si un système matériel (Σ) est en équilibre, la résultante statique #»
RΣ→Σest nulle : R#»Σ→Σ= X.#»x +Y.#»y +Z.#»z = #»
0 ⇒ X=0, Y =0, etZ =0 5.4.2 Théorème du moment statique
Dans un repère galiléenRg, si un système matériel (Σ) est en équilibre, le moment statique # »
M(M,Σ→Σ) est nulle pour tout pointMde l’espace :
M# »(M,Σ→Σ)=L.#»x +M.#»y +N.#»z = #»
0 ⇒ L=0, M=0, etN=0 5.5 Théorèmes des actions réciproques
Soient deux systèmes distinctsΣ1 etΣ2 (Σ1∩Σ2 = ∅). Alors le théorème des actions réciproques énonce que les actions mécaniques deΣ1surΣ2sont opposées aux actions mécaniques deΣ2surΣ1
FΣ
1→Σ2 =−FΣ
2→Σ1
DÉMONSTRATION:
SoitΣtel queΣ1∪Σ2= Σ. Les systèmes sont supposés être à l’équilibre dans le repère galiléenRg. IsolonsΣ1. Le principe fondamental de la statique appliqué àΣ1dans le repère galiléenRgs’énonce :
FΣ→Σ
1+FΣ2→Σ1 =0
IsolonsΣ2. Le principe fondamental de la statique appliqué àΣ2dans le repère galiléenRgs’énonce : FΣ→Σ
2+FΣ
1→Σ2 =0
Isolons enfinΣ. Le principe fondamental de la statique appliqué àΣdans le repère galiléenRgs’énonce : FΣ→Σ=FΣ→Σ
1 +FΣ→Σ
2 =0
En retranchant la dernière équations à la sommes des deux premières : FΣ
2→Σ1 +FΣ
1→Σ2 =0 ⇒ FΣ
2→Σ1 =−FΣ
1→Σ2
5.6 Système soumis à l’action de 2 glisseurs (forces)
Le système (S) est soumis à deux forces : F#»Aappliquée enAet #»FBappliquée enB. Le principe fondamental de la statique nous permet d’écrire :
A
( # » FA
#»0 )
+
B
( # » FB
#»0 )
= ( #»
#»0 0
)
⇔
A
( # » FA
#»0 )
+
A
( # » FB
AB# »∧# » FB
)
= ( #»
#»0 0
)
⇔
F# »A+ # » FB= #»
# » 0 AB∧# »
FB = #»
0 ⇔
F# »A =−# » FB
∃λ / # »
AB=λ.# » FB
F# »A
Ax
F# »B
Bx
5. PRINCIPEFONDAMENTAL DE LASTATIQUE(PFS) 13/16
Lorsqu’un système en équilibre est soumis à deux forces, ces deux forces sont colinéaires, de même norme et opposées.
5.7 Système soumis à l’action de 3 glisseurs (forces)
Le systèmeS est soumis à trois forces # » FA, # »
FB, # »
FCappliquées enA,BetC. Soit :
• aucune des forces n’est parallèle à une des deux autres forces,
• deux forces sont parallèles.
5.7.1 Les forces ne sont pas parallèles
Le systèmeS est soumis à trois forces # » FA, # »
FB, # »
FC appliquées en A, BetC. Le principe fondamental de la statique nous permet d’écrire :
A
( # » FA
#»0 )
+
B
( # » FB
#»0 )
+
C
( # » FC
#»0 )
=
A
( # » FA
#»0 )
+
A
( # » FB
AB# »∧# » FB
) +
A
( # » FC
AC# »∧# » FC
)
= ( #»
#»0 0
)
⇔
F# »A+ # » FB+ # »
FC = #»
# » 0 AB∧# »
FB+ # » AC∧# »
FC = #»
0
Pour vérifier la deuxième équation, il faut que les deux vecteurs # » AB∧ # »
FB et # » AC∧ # »
FC soient parallèles. Or # » AB∧ # »
FB est perpendiculaire au plan (P1)=(A,B,# »
FB) et # » AC∧# »
FC est perpendiculaire au plan (P2)=(A,C,# »
FC). Ces deux plans doivent donc être parallèles.Aappartient aux deux plans (P1) et (P2), ces deux plans sont donc confondus. A,B,C, # »
FBet # » FC sont dans un même plan.
F# »Bet # »
FC sont coplanaires mais non parallèles, ils se coupent donc en un pointI.
I
( # » FA
IA# »∧# » FA
) +
I
( # » FB
IB# »∧# » FB
) +
I
( # » FC
IC# »∧# » FC
)
= ( #»
0#»
0 )
⇔
F# »A+ # » FB+ # »
FC = #»
# » 0 IA∧# »
FA= #»
0
Pour vérifier l’équation de moment, il faut que∃λ∈R/# »
FA =λ.IA.# »
Pour qu’un solideS soumis à trois forces non parallèles soit en équilibre, il faut que ces trois forces soient coplanaires, concourantes et de somme nulle.
5.7.2 Deux forces sont parallèles
+
+ + A
B
# »C FC
F# »B
+
+ + A
B
# »C FC
F# »B F# »B
F# »C
F# »A
F# »Bet # »
FCsont parallèles.B,C,# » FBet # »
FCsont donc coplanaires. Le principe fondamental de la statique nous permet d’écrire :
A
( # » FA
#»0 )
+
B
( # » FB
#»0 )
+
C
( # » FC
#»0 )
=
A
( # » FA
#»0 )
+
A
( # » FB
AB# »∧# » FB
) +
A
( # » FC
AC# »∧# » FC
)
=0
⇔
F# »A+ # » FB+ # »
FC = #»
# » 0
AB∧F# »B+AC# »∧F# »C = #»
0
6. LIAISONS ÉQUIVALENTES 14/16
Pour vérifier l’équation de la résultante, il faut queF# »Asoit aussi parallèle àF# »BetF# »C. Pour vérifier l’équation du moment, il faut queAappartienne au planB,C, # »
FBet # » FC.
x
x x A
B
# »C FC
F# »B
x
x x A
B C
F# »C
F# »B F# »C # » FB
F# »A x
x x A
B C
F# »A
F# »B
F# »C
Lorsqu’un solide (S) en équilibre est soumis à trois forces dont deux d’entre elles sont parallèles, il faut que la troisième soit coplanaire et parallèle et que la somme des trois forces soit nulle ainsi que le moment de ces trois forces.
5.7.3 Bilan
Pour qu’un solide soumis à trois forces soit en équilibre par rapport à un repère galiléen, il faut et il suffit que ces forces soient :
• coplanaires,
• parallèles ou concourantes,
• à somme nulle et à somme des moments nulle.
6 Liaisons équivalentes
Afin d’étudier la cinématique d’un mécanisme, on cherche à remplacer des associations de liaisons en parallèle ou en série par une liaison élémentaire normalisée et dont le comportement estcinématiquement équivalent.
6.1 Liaisons en parallèle
L’associations de liaisons en parallèle peut engendrer des inconnues hyperstatiques. Le calcul du degré d’hyperstatisme dit
" interne " s’effectue de la même manière que précédemment.
P1 P2
L1 L2 Li Ln
≡ P1 P2
Leq
6.1.1 Approche cinématique
Pour que la liaison équivalenteLeqentreP1etP2soit compatible avec les autres liaisons simples parallèles, il faut que son torseur cinématique soit égal au torseur cinématique associé à chaque liaison parallèle :
VPL2eq/P1
= VPL21/P1
=. . .=
VPL2n/P1
6.1.2 Approche statique
IsolerP2permet de faire le bilan des actions mécaniques qui lui sont exer- cées. Le principe fondamentale de la statique (ou de la dynamique) appli- qué àP2nous permet d’écrire que :
FPL2eq7→P1
= FPL217→P1
+. . .+ FPL2n7→P1
7. RÉSOLUTION D’UN PROBLÈME DE STATIQUE 15/16
6.2 Liaison en série
P1
L1 P2 Pn−1
Ln
Pn
≡ P1 Pn
Leq
6.2.1 Approche cinématique
Par composition des vecteurs vitesses :
VPLeq
n/P1
= VPLn−1
n/Pn−1
+. . .+ VPL1
2/P1
6.2.2 Approche statique
Par application du successives du PFS àn−1 solidei: FP
i−1→Pi+FPi+1→P
i =
( #»
#»0 0
)
FPi+1→P
i = FP
i→Pi−1
On en déduit donc que :
FPLeq
n7→P1
= FPL1
n7→Pn−1
=. . .=
FPLn
27→P1
7 Résolution d’un problème de statique
7.1 Hypothèses
On suppose que
• les solides sont indéformables
• les liaisons sont géométriquement parfaites
• les actions mécaniques des fluides, le frottement sont pris en compte ou négligés.
7.2 Algorithme de résolution
7.2.1 Méthodes de résolution
Deux méthodes peuvent être envisagées pour résoudre un problème de statique
• Méthode graphique :
◦ le problème doit être plan
◦ les actions mécaniques extérieures doivent être modélisables par des glisseurs coplanaires
• Méthode analytique :
◦ Le problème doit être isostatique (cf cours sur les mécanismes l’année prochaine). Si le problème comporten inconnues statiques (d’efforts), il doit permettre d’écrirenéquations indépendantes.
◦ L’écriture du théorème de la résultante, en projection sur les axes du repère, nous fournit 3 équations ( 2 équations en 2D ).
◦ L’écriture du théorème du moment résultant, en projection sur les axes du repère, nous fournit 3 équations ( 1 seule équation en 2D ).
7. RÉSOLUTION D’UN PROBLÈME DE STATIQUE 16/16
7.2.2 Algorithmes
1. Identifier les actions mécaniques connues et inconnues par un graphe des liaisons (recensement de toutes les actions mécaniques)
2. Isoler le système en faisant apparaître les inconnues recherchées et en limitant le nombre d’inconnues 3. Réaliser le bilan des actions mécaniques (de contact et à distance)
4. Modéliser ces actions mécaniques en tenant compte des hypothèses et on écrit le torseur d’actions mécaniques correspondant.
5. Décompter toutes les inconnuesIs
◦ Si Is ≤ 6, écrire le PFS en déplaçant tous les torseurs au même point (choisir parmi les différents points dis- ponibles pour les torseurs, celui qui demande le moins de changements de points et fait apparaître le moins de termes)
◦ Sinon, écrire le PFS et isoler d’autres ensembles en pensant à utiliser le théorème des actions réciproques.
REMARQUE:ON N’ISOLE JAMAIS LE BÂTI
7.3 Résolution d’un problème de statique plan
7.3.1 Rappel
Si le mécanisme est modélisé comme plan (de plan (#»x,#»y)), les forces auxquelles on s’intéresse sont dans le plan (FxetFy), et les moments sont hors plan (Mz). Les torseurs des liaisons ne font apparaître que ces quantités.
7.3.2 Graphe des liaisons
Pour s’aider dans les isolements, on peut utiliser les symboles :
7.3.3 Ordonnancement des isolements
Si un système matériel est en équilibre sous l’action de deux glisseurs, les deux résultantes sont égales et directement op- posées, donc
Si un système matériel est en équilibre sous l’action de trois glisseurs, les résultantes de ceux-ci sont :
• coplanaires
• concourantes ou parallèles
• de sommé géométrique nulle.
Pour résoudre un problème de statique graphique, il faut, sur le graphe des liaisons, isoler les solides ou groupes de solides soumis à 2 ou 3 glisseurs, et leur appliquer le PFS pour obtenir des informations supplémentaires sur les forces.
