Chapitre 5 : agrandissement, réduction ; Chapitre 5 : agrandissement, réduction ;
sections de solides sections de solides
I.
I. Rappels et sections de solides Rappels et sections de solides
1/ Parallélépipède rectangle
Description/Figure
Un parallélépipède ou un pavé droit est solide de l'espace formé de rectangles.
• Il y a six faces : les rectangles ABCD, EFGH...
• Il y a huit sommets : A, B …
• Il y a douze arêtes : [AB], [AE]…
Remarque
Le cube est un parallélépipède particulier : ses faces sont des carrés.
Sections d'un pavé droit
• Par un plan parallèle à une face...
On obtient un rectangle identique à la face de référence (face verte à droite)
• Par un plan passant par les diagonales de deux faces opposées
Dans ce cas, on obtient encore un rectangle.
Exemple d'application
• Calcule CF
EFG est rectangle en E car EFGH est une face d'un parallélépipède rectangle. On peut appliquer le
Théorème de Pythagore.
CF2=CE2EF2 CF2=1,5222 CF2=2,254 CF2=6,25 CF=
6,25 CF=2,5 cm• Calcule l'aire de la section CFGA est un rectangle, donc :
ACFGA=CA×CF=3×2,5=7,5 cm2
• Calcule le volume du parallélépipède ABDCHGFE V=AB×AH×AC=2×1,5×3=9 cm3
Rappel
Pour calculer le volume d'un parallélépipède rectangle, il suffit de multiplier les trois dimensions :
V=l×L×h. Rappel
1 litre correspond à 1dm3
2/ Cylindre de révolution (5
ème)
Description/Figure
Un cylindre de révolution est composé de deux disques parallèles appelés bases.
L'axe qui passe par les centres des bases est un axe de symétrie.
Section par plan parallèle aux bases
On obtient une forme identique aux bases, c'est à dire un disque de même rayon.
Section par un plan parallèle à l'axe On obtient un rectangle.
Rappels
• Circonférence d'un cercle de rayon r : 2××r en cm ou en m…
• Aire d'un disque de rayon r : ×r2 en cm2 ou en m2…
• ≈3,141592653 (la partie décimale est infinie !)
A retenir
Volume d'un cylindre de rayon r et de hauteur h : V=×r2×h en cm3 ou m3
3/ Prisme droit (5
ème)
Description/Définition
Un prisme est composé de deux bases parallèles en forme de polygone.
Rappel : cosinus
Le cosinus permet de faire le lien entre des longueurs et une mesure d'angle, dans un triangle rectangle.
• Configuration : « Triangle rectangle » Le triangle NHY rectangle en N.
• Dire ce que l'on utilise « Cosinus » On applique le cosinus.
• On donne une formule « cosinus=(côté adj)/(hypo) cosYHN=NH
YH
• On remplace cos65= 4
cos65 YH
1 = 4
YH cos65×HY=4×1 HY= 4×1
cos65
HY ≈9,5 cm
Section par un plan parallèle aux bases
• On obtient une figure identique aux bases du prisme : ici, c'est un triangle.
Volume d'un prisme
Il faut multiplier l'aire de la base par la hauteur...
Exemples
• On considère un prisme à base carré (c'est un parallélépipède). Le carré a pour côté 3cm et la hauteur est 10 cm.
V=3×3×10=90 cm3
• Prisme avec une base en forme de triangle rectangle.
V=4×5
2 ×10
V=10×10 V=100 cm3
4/ Pyramide et cône de révolution (4
ème)
Description/définition (pyramide)
Une pyramide est composée d'une base à forme polygonale (triangle, carré, rectangle, pentagone...) et d'un sommet.
• S est le sommet, ABCD est la base.
• Il y a quatre faces latérales : triangles
• La hauteur de cette pyramide est la droite ou le segment qui relie le sommet à la base, de façon perpendiculaire.
4 cm
5 cm
10 cm
S
A
B
C D
Section
Section d'une pyramide par un plan parallèles à la base.
On obtient une figure de même nature que la base en format réduit.
Ici, on obtient un quadrilatère plus petit.
Calcul du volume d'une pyramide V=aire base×hauteur
3
Exemple
Calcule le volume de la pyramide du Louvre : 21,64 mètres de haut sur une base carrée de 35,42 mètres de largeur.
V=35,42×35,42×21,64 3
V ≈9049,677765 m3
Calcule le volume de la pyramide de Khéops : hauteur initiale 146,58 m, base 230,35 mètres.
V=230,352×146,58 3
V ≈2 592 566,445 m3
Combien de pyramide du Louvre dans la pyramide de Khéops ? On fait le quotient des deux volumes : 2 592 566,445
9049,677765 ≈286,5 . On peut mettre plus de 286 fois la pyramide du Louvre dans celle de Khéops.
5/ Cône
Description
Un cône est composé d'un disque, appelé la base , et d'un sommet (ici le point S) La hauteur est la droite (ou le segment) passant par le sommet et perpendiculaire à la base.
On ne considère que les cônes de révolution, c'est à dire des cônes où la hauteur est l'axe de symétrie.
Section par un plan parallèle à la base On obtient un disque, réduction de la base.
Volume d'un cône V=×r2×h
3 , r est le rayon du disque et h est la hauteur.
L'unité est en cm3, m3...
II.
II. Agrandissement, réduction Agrandissement, réduction
1/ Activités
Activité 1
On appelle k le nombre qui fait le lien entre les longueurs du triangle RST et celles de FGH. On considère que k est un nombre qui multiplie.
• 6×k=4,5 donc k=4,5 6 =0,75
• Vérifions pour les autres longueurs : 12×k=12×0,75=9
9×k=9×0,75=6,75
A retenir
Pour une réduction, les longueurs sont multipliées par un nombre compris entre 0 et 1 . Ce nombre est appelé coefficient de réduction. On le note k.
R 9 S
T 6
12
4,5 F6,75 G
9 H
Activité 2 (à l'oral)
Le dessin 2 est-il un agrandissement du dessin 1 ? Si oui, précise le rapport d'agrandissement. Si non, explique pourquoi.
On observe que :
• c'est un agrandissement de rapport k=3 ;
• les aires sont multipliées par 9, c'est à dire k2 ;
• les volumes sont multipliés par 27 , c'est à dire k3.
A retenir
Dans un agrandissement, les longueurs sont multipliées par un nombre plus grand que 1 . On le note k et il s'appelle coefficient d'agrandissement.
Les aires multipliées par k2 et les volumes par k3.
Exemple 1
Le rectangle de droite est un agrandissement de celui de gauche.
• Calcule le coefficient : 3×k=4 donc k=4 3 .
• En déduire la longueur du grand rectangle : 4,5×k=4,5×4
3=6 cm
• Calcule les deux aires :
petit rectangle : 3×4,5=13,5 cm2 grand rectangle : 4×6=24 cm2
• Par quoi il faut multiplier 13,5 pour obtenir 24 ?
On multiplie par k2 : 13,5×k2=13,5×
43
2=24 (ça marche)/
/ / /
Dessin 2 Dessin 1
4,5
3 4
Pour jeudi 20 janvier
• Réviser le devoir commun de la semaine prochaine !!!!
