Chapitre 5 : agrandissement, réduction ; Chapitre 5 : agrandissement, réduction ;
sections de solides sections de solides
I.
I. Rappels et sections de solides Rappels et sections de solides
1/ Parallélépipède rectangle
Description/Figure
Un parallélépipède rectangle ou un pavé droit est une figure de l'espace dont toutes les faces sont des rectangle.
Il y a 6 faces, 8 sommets et 12 arêtes.
Sections d'un pavé droit
• Par un plan parallèle à une face.
La tranche obtenue est un rectangle de même dimension que la face considérée.
• Par un plan passant par les diagonales
On obtient encore un rectangle...
Volume
Il faut faire le produit des trois dimensions du parallélépipède :
V=l×L×h
Un volume se mesure en m3, cm3...
Rappel
1 Litre=1 dm3
2/ Cylindre de révolution (5
ème)
Description/Figure
Un cylindre de révolution est formé de deux disques parallèles appelés les bases
Sections
• Section parallèle aux bases
On obtient une section qui a la même forme que les bases : un cercle.
• Section à l'axe de révolution
On obtient un rectangle
Rappels
• Aire d'un disque de rayon r : ×r2 (en cm2 ou en m2)
• Circonférence du cercle de rayon r : 2××r (cm ou en m)
Volume d'un cylindre
On suppose que la base est un disque de rayon r :
• aire la base multipliée par la hauteur : ×r2×h (ou h représente la hauteur)
Rappel sur le calcul en écriture fractionnaire
• Addition A=–1
25 8 A=–1×4
2×45 8 A=–4
85 8 A=1
8
B=2 3– 5
6 B=4
6
–56
B=–1 6
C=–5 8– 7
12
On écrit les multiples 8, 16, 24, 32, 40...
12, 24 C=–15
24– 14 24 C=– 29
24
D= 3 20– 5
12 D= 9
60– 25 60 D=–16
60 D=– 4
15
3/ Prisme droit (5
ème)
Description/Définition
Un prisme est un solide constitué de deux faces parallèles. Une face est un polygone.
• Figure de gauche : 7 faces, 15 arêtes et 10 sommets.
• Figure de droite : 6 faces, 12 arêtes et 8 sommets.
Section par un plan parallèle aux bases
• Si on « découpe » le prisme ci-contre parallèlement à ses bases, on obtient une figure identique aux bases.
Volume
On fait le produit de la base par la hauteur.
Exemple
On considère un prisme à base triangulaire.
On suppose que c'est un triangle rectangle.
VABC DEF=CA×CB÷2×AD
4/ Pyramide et cône de révolution (4
ème)
Description/définition (pyramide)
Une pyramide est constituée d'une base et d'un sommet.
La base est un polygone.
Il y a des faces : ce sont des triangles.
Section
Parallèlement à la base, on obtient une figure réduite de cette base.
Calcul du volume d'une pyramide V=aire de la base×hauteur
3
Rappels
Multiplication et division de fractions
A=–12 3 × 33
−18 A=6×2×11×3
3×3×6 A=22
3 A=22
3
B= –7 –15× 45
–49 B=– 7×3×15 15×7×7 B=–3
7
C=–5 8 ×32
15 C=–5×8×4
8×3×5 C=–4
3
5/ Cône
Description
Un cône est composé d'une base qui a la forme d'un disque et d'un sommet.
Section
Si on coupe le cône par un plan parallèle à la base, on obtient un cercle réduit.
Volume
V=aire de la base×hauteur 3
V=×r2×h
3 où r est le rayon du disque et h est la hauteur.
II.
II. Agrandissement, réduction Agrandissement, réduction
1/ Activités
Activité 1
• On considère la réduction du triangle SRT en un triangle GFH.
• L'objectif est de trouver un nombre, qu'on appellera coefficient de réduction, qui permet de calculer les longueurs du petit triangle en partant de celles du grand triangle.
• On notera k ce coefficient. Pour pouvoir réduire, ce nombre doit être compris entre 0 et 1 .
• Ce nombre k doit vérifier l'équation 6×k=4,5 ou encore k=4,5
6 =0,75 .
• Vérifions pour les autres longueurs : 9×0,75=6,75 et 12×0,75=9.
A retenir
Un coefficient de réduction est un nombre compris entre 0 et 1. Il permet de faire le lien entre les longueurs d'une figure que l'on a réduit. Il faut pour cela multiplier une grande longueur par ce coefficient pour obtenir une petite longueur.
Activité 1 bis (à l'oral)
Le dessin 2 est-il un agrandissement du dessin 1 ? Si oui, précise le rapport d'agrandissement. Si non, explique pourquoi.
Réponse : agrandissement de rapport k=3
R 9 S
T 6
12
4,5 F6,75 G
9 H
/
/ / /
Dessin 2 Dessin 1
Même question avec :
Réponse : agrandissement de rapport k=2
Et puis avec..
Réponse : agrandissement de rapport k=1,5
Activité 2
MATH est un trapèze de bases [TH] et [AM]. Construis-en une réduction de rapport
1 10 .
• On va construire un nouveau trapèze M ' A' T ' H ' en multipliant les longueurs par 1
10 : T ' H '=5dm× 1
10=5cm ; A' M '=3dm× 1
10=3cm etc.
• Construisons :
3 21°
4
21°
6
8
4,5 3
6 4
A 3 dm 4 dm
T H
M o o
1 dm
Cette figure n'est pas en vraie grandeur !
Activité 3
Le triangle SBA est une réduction du triangle SRT. On a ST=4cm ; SB=3cm ; AB=2cm et RT=5cm.
• Quel est le rapport (ou coefficient) de réduction ? k=BA
RT=2 5=0,4
• Calcule les longueurs SA et SR.
SA=ST×k=4×0,4=1,6 cm
• Que dire de BAS et RTS ?
BAS=RTS
A retenir
Lors d'un agrandissement ou d'une réduction, les angles ne changent pas. On dit qu'il y a conservation des angles.
Activité 4
Le cône C ' a pour sommet S et pour base le disque de centre H et de rayon [HB] .
Le cône C a pour sommet S et pour base le disque de centre O et de rayon [OA]. On a SH=2cm et SO=6cm
Le cône C ' est une réduction du cône C
• Calcule le rapport de réduction (ou coefficient de réduction).
Ce coefficient est compris entre 0 et 1, c'est k=2 6=1
3 .
• Déduis-en le rayon de la base du cône C ' sachant que OA=12 cm. Il suffit de multiplier OA par le coefficient :
OA×k=12×1
3=4 cm
• Calcule l'aire de la base de C :
×OA2≈3,14×12²
×OA2≈452,16cm2
Calcule l'aire de la base de C ' :
×HB2≈3,14×42
×HB2≈50,24 cm²
B
R
T S A
S
B
O A H
4 cm
3 cm 2 cm
5 cm
• On remarque que 452,16×
13
2=50,24 . En multipliant le grand disque par le coefficient au carré, on obtient l'aire du petit disque.A retenir
Dans un agrandissement ou une réduction de rapport k, les longueurs sont multipliées par k mais les aires sont multipliées par k2.
De même, on peut supposer que les volumes sont multipliés par k3.
Pour jeudi 6 janvier 2011 Contrôle sur ce chapitre
