Modélisation des actions mécaniques

Modélisation des actions mécaniques

Mécanique ^Synthèse

1 Introduction mathématique :

1.1 L’outil vecteur : Un vecteur est caractérisé par : Son point d’application A, Sa direction (∆) (ou droite support), Son sens,

Sa norme

A

(ou intensité).

Ses composantes.

1.2 Le produit vectoriel

1.3 L’outil torseur :

Un torseur est un outil mathématique pouvant modéliser une action mécanique, en fonction du point d’observation :

Soit le torseur

{ } τ

_2/1 écrit en A :

On transporte le torseur

{ } τ

_2/1 de A en B (on change de point de réduction) :

{ } ⎪⎭

⎪ ⎬

⎫

⎪⎩

⎪ ⎨

⎧

× +

= =

1 / 2 1

/ 2 , 1 / 2 ,

1 / 2 1

/

2

BA R

R

A

B

M

B

M

τ

Moyen mnémotechnique : « BABAR » : (MB = MA + BA x R) Application :

On donne :

{ }

) , , ( 1

/ 2

600 0

0 200

0 55

z y x C

⎪ ⎭

⎪ ⎬

⎫

⎪ ⎩

⎪ ⎨

⎧−

τ =

^;

3 3

10 50

10 23

0

−

−

×

×

−

A ^et

3 3 3

10 200

10 10

10 55

−

−

−

×

×

×

C ^.

Déplacer

{ } τ

2/1 de C en A :

2 Définition d'une action mécanique :

On appelle action mécanique toute cause physique susceptible de :

• Maintenir un corps au repos ↔ Domaine de la STATIQUE

• Modifier un mouvement ↔ Domaine de la DYNAMIQUE

• Déformer un corps ↔ Domaine de la RESISTANCE DES MATERIAUX

3 Classification des actions mécaniques :

Les actions mécaniques sont de deux sortes :

• A distance (champ de pesanteur, champ électromagnétique),

• De contact (liaisons ponctuelles, linéiques, surfaciques).

4 Le torseur d’action mécanique :

Avant de parler du torseur, il apparaît comme absolument nécessaire de parler des éléments qui vont le composer :

• le vecteur résultante (aussi appelé force),

• le vecteur moment (aussi appelé couple).

4.1 La résultante :

En mécanique les résultantes sont utilisées pour modéliser ou schématiser des charges concentrées et des résultantes d’actions mécaniques très diverses (poids, attraction magnétique …). Une résultante ou force est toujours appliquée en un point.

4.2 Le moment :

On peut définir un moment comme un phénomène physique qui pourrait être en mesure de faire entrer les solides en rotation.

Ici, le moment de l’action mécanique de l’opérateur sur la clé en A tend à générer un mouvement de rotation autour de A.

4.2.1 Calcul avec le produit vectoriel :

Soit deux points A et B et un effort

A

appliqué en A :

A BA

B

, A = × M

Moyen mnémotechnique : « BABAA » : (MBA = BA x A)

M

A,op/clé

F

_op/clé

A F

M

A,op/clé

x y

1. Ecriture « lignes » du torseur en A : 2. Application du théorème de transport du moment (BABAR) :

1 / 2 1

/ 2 , 1 / 2

, _C AC R

A

=

M

+ ×

{ }

M

⎪⎭

⎪ ⎬

⎫

⎪⎩

⎪ ⎨

= ⎧

⎪⎭

⎪ ⎬

⎫

⎪⎩

⎪ ⎨

= ⎧

1 / 2 ,

1 / 2 1 / 2 ,

1 / 2 1 / 2

A A C C

R R

M

τ

M

A calculer 3. Calcul vecteur déplacement :

3 3

3

10 150

10 33

10 55

−

−

−

×

=

−

×

=

−

×

=

−

A C

A C

A C

Z Z

Y Y

X X AC

4. Calcul du moment en A :

=

−

×

×

×

× +

=

−

−

−

0 200

55 10 150

10 33

10 55 600

0 0

3 3 3

1 / 2 ,

MA

55x10^-3 -55

200 150x10^-3

600 25 . 19

25 . 8

30 +

−

−

!

5. Ecriture « colonnes » du torseur en A :

{ }

) , , ( 1

/ 2

25 . 619 0

25 . 8 200

30 55

z y x A

⎪ ⎭

⎪ ⎬

⎫

⎪ ⎩

⎪ ⎨

⎧

−

−

− τ =

x

y

z A

A YA

XA

ZA

α cos A X

_A

=

sin α A Y

_A

=

x y

A YA

XA

A α

=

× B A

B B B

Z Y X B =

A A A

Z Y X A

Soient les vecteurs :

et Leur produit vectoriel est :

A A A

Z Y X

B B B

Z Y X

x

XA XB

YA YB

=

B A B A

B A B A

B A B A

X Y Y X

Z X X Z

Y Z Z Y

×

−

×

×

−

×

×

−

×

On raye la première ligne

On réécrit les 2 premières lignes

{ }

) , , 21 ( 21

21 21

21 21

1 / 2 ,

1 / 2 1

/ 2

z y A x A

A A

A A

A

A A

Z N

M Y

L R X

⎪ ⎭

⎪ ⎬

⎫

⎪ ⎩

⎪ ⎨

⎧

⎪⎭ =

⎪ ⎬

⎫

⎪⎩

⎪ ⎨

= ⎧ τ M

Résultante (invariante quel que soit le point de réduction)

Composantes de la résultante (en Newtons)

Moment (varie en fonction du

point de réduction) Composantes du moment (en

Newtons.mètre) Point de

réduction

Repère de projection

Ecriture « lignes » Ecriture « colonnes »

A

A A A

Z Y X A

A

(∆)

Modélisation des actions mécaniques

Mécanique ^Synthèse

4.2.2 Calcul avec le bras de levier :

Soient les composantes du moment de l’action mécanique de l’opérateur sur la clé en A :

) z (A, axe l' de autour moment :

) y (A, axe l' de autour moment :

) x (A, axe l' de autour moment :

/ ), , (

/ ), , (

/ ), , ( / ,

clé op z A

clé op y A

clé op x A clé op A

M M M M

d F

_{op clé}

clé op z

A

= ±

_/

×

/ ), ,

M

(

Bras de levier d : distance normale entre une force et un axe (segment perpendiculaire à la droite d’action de la force passant par l’axe)

Signe du moment : dépend du mouvement éventuel que pourrait générer le moment.

• Moment rouge : Négatif

• Moment vert : Négatif

• Moment bleu : Positif

4.3 Le torseur d’action mécanique : Voir § 1.3

Torseurs particuliers :

• Torseur nul :

{ }

⎪⎭

⎪ ⎬

⎫

⎪⎩

⎪ ⎨

⎧

=

= =

0 0

1 / 2 ,

1 / 2 1

/ 2

A A

R τ M

• Torseur glisseur :

{ }

⎪⎭

⎪ ⎬

⎫

⎪⎩

⎪ ⎨

⎧

= =

1

0

/ 2 ,

1 / 2 1

/ 2

A A

R τ M

• Torseur couple :

{ }

⎪⎭

⎪ ⎬

⎫

⎪⎩

⎪ ⎨

⎧ =

=

1 / 2 , 1 / 2 1 / 2

0

A A

R τ M

5 Actions mécaniques remarquables :

5.1 Action de contact ponctuel :

5.2 Poids :

5.3 Pression fluide (hydraulique ou pneumatique) :

5.4 Ressort :

Est l’action mécanique de la ressort sur l’extérieur :

• Point d’application : centre du contact avec le ressort

• Direction : axe du ressort

• Sens : sens contraire à la déformation

• Norme :

F = − k × Δ

_L

= − k × ( L − L

₀

)

avec : - F :norme en Newtons

- k :raideur du ressort en N/m

- L0 : longueur libre du ressort = longueur à vide en m - L : longueur du ressort = longueur du ressort déformé en m x

z ⁺ y x

y

x z ⁺ y x

y

x z ⁺ y x

y

Fress/ext

Ressort à vide Ressort tendu

Ressort comprimé

∆L

L L0

L

∆L

Fress/ext

Fress/ext Est l’action mécanique de la fluide sur la pièce 1.

A

fluide/1

• Point d’application : centre géométrique A de la surface en contact avec le fluide

• Direction : normale au contact

• Sens : vers la matière isolée (pièce 1)

• Norme :

F = p × S

avec : - F :norme en N

- p :pression du fluide en pa - S : surface en contact avec le fluide Øpiston

A

Admission

Refoulement

1 0

Afluide/1

π.زpiston

S = 4

Est l’action mécanique de la fluide sur la pièce 1.

A

fluide/1

• Point d’application : centre géométrique A de la surface en contact avec le fluide

• Direction : normale au contact

• Sens : vers la matière isolée (pièce 1)

• Norme :

F = p × S

avec : - F :norme en N

- p :pression du fluide en pa - S : surface en contact avec le fluide

en m² Øpiston

A

Admission Refoulement

1 0

S = π.زpiston-زtige

4 Afluide/1

Øtige

x y

Est l’action mécanique de la Terre sur la pièce 1, c’est le poids de la pièce 1.

Terre 1

G

P

terre/1

• Point d’application : centre de gravité G de la pièce 1.

• Direction : verticale

• Sens : vers le centre de la Terre

• Norme :

F = m × g

avec : - P :norme du poids en N - m :masse en kg

- g pesanteur en m/s² (g=9.81 m/s²)

P

terre/1

Le poids est une action à distance.

x y

Est l’action mécanique de contact de la pièce sur 1 sur la pièce 2 :

A

_1/2

1 2

A

A

2/1

A

1/2

• Point d’application : centre A du contact entre 1 et 2

• Direction : normale au contact

• Sens : vers la matière isolée (pièce 2)

Est l’action mécanique de contact de la pièce sur 2 sur la pièce 1 :

A

2/1

• Point d’application : centre A du contact entre 1 et 2

• Direction : normale au contact

• Sens : vers la matière isolée (pièce 1)

Est l’action mécanique réciproque de donc

A

2/1

A

1/2

A

2/1 =

A

1/2

F

_op/clé

F A

x y

d d

F

op/clé

F

op/clé

d

3 exemples de bras de levier d en fonction de l’effort de l’opérateur sur la clé :

x z y

+