CI-3 :
Prévoir et vérifier les performances cinématiques des systèmes.
CI-3-1 Maîtriser les outils d’algèbre linéaire et ceux liés aux torseurs.
L
YCÉEC
ARNOT(D
IJON), 2020 - 2021
Germain Gondor
Sommaire
1 Rappels de géométrie
2 Systèmes de coordonnées
3 Opérations sur le vecteurs
4 Champ de vecteurs
Rappels de géométrie
Sommaire
1 Rappels de géométrie Relation dans un triangle Surfaces et volumes
Trigonométrie et nombres complexes
2 Systèmes de coordonnées
3 Opérations sur le vecteurs
4 Champ de vecteurs
Rappels de géométrie Relation dans un triangle
Relation dans un triangle
a b
β c α
γ
α + β + γ = π a 2 = b 2 + c 2 − 2.b.c. cos(α)
a
sin α = b
sin β = c
sin γ
Rappels de géométrie Surfaces et volumes
Surfaces et volumes
Triangle Trapèze Cercle Secteur angulaire Ellipse
a h
a b
h d
r
D d
A=a.h
2 A=a+b
2 .h A=π.d2
4 A=α.r2
2 A=π.D.d
4
c
b a
h d
s
d h
d
Rappels de géométrie Trigonométrie et nombres complexes
Nombres complexes
Soient (x, y , z) ∈ R 2 × C tels que z = x + j.y avec j 2 = −1. Le module de z est noté r = |z| et l’argument θ. Ainsi z = r .e j.θ avec r = p
x 2 + y 2 et θ = arctan
y x
. Nous avons alors x = r . cos θ et y = r . sin θ.
cos 2 θ + sin 2 θ = 1
Rappels de géométrie Trigonométrie et nombres complexes
Trigonométrie
#» x Re(z)
#» y Im(z)
r x
z
θ
r . sin( θ )
r . cos(θ) r . tan( θ )
cos(a + b) = cos a. cos b − sin a. sin b cos(a − b) = cos a. cos b + sin a. sin b 2. cos a. cos b = cos(a + b) + cos(a − b)
2. sin a. sin b = cos(a − b) − cos(a + b) sin(a + b) = sin a. cos b + cos a. sin b
sin(a − b) = sin a. cos b − cos a. sin b 2. sin a. cos b = sin(a + b) + sin(a − b) 2. cos a. sin b = sin(a + b) − sin(a − b)
tan(a + b) = tan a + tan b 1 − tan a. tan b
cos 2.a = cos
2a − sin
2a cos 2.a = 2. cos
2a − 1
2.a 2.
2sin 2.a = 2. cos a. sin a 1
cos
2a = 1 + tan
2a
Systèmes de coordonnées
Sommaire
1 Rappels de géométrie
2 Systèmes de coordonnées Coordonnées cartésiennes Coordonnées cylindriques Coordonnées sphériques
3 Opérations sur le vecteurs
4 Champ de vecteurs
Systèmes de coordonnées Coordonnées cartésiennes
Coordonnées cartésiennes
O
#» x
#» y
#» z
• P z
x
y dx dy
dz
• Vecteur position
# »
OP = x . #» x + y . #» y + z . #» z
• Surface élémentaire dS x = dy .dz dS y = dx .dz dS z = dx .dy
• Volume élémentaire
dV = dx .dy .dz
Systèmes de coordonnées Coordonnées cylindriques
Coordonnées cylindriques
O
#» x
#» y
#» z
• P z
r
#» e
r#» e
z#» e
θθ
#» e
r#» e
z#» e
θr.d θ
dr dz
• Vecteur position
# »
OP = r . #» e
r+ z. #» z
• Surface élémentaire
dS
r= r .dθ.dz dS
θ= dr .dz dS
z= r .dr .d θ
• Volume élémentaire dv = r .dr .d θ.dz
• Projections
Systèmes de coordonnées Coordonnées sphériques
Coordonnées sphériques
O
#» x
#» y
#» z
r
• P
r. sin θ ϕ
θ #» e
r#» e
ϕ#» e
θ• Vecteur position
# » OP = r . #» e
r• Surface élémentaire
dS
r= r
2.d θ. sin θ.d ϕ dS
θ= r .dr . sin θ.d ϕ dS
ϕ= r .dr .d θ
• Volume élémentaire dV = r
2.dr .dθ. sin θ.d ϕ
• Projections
Opérations sur le vecteurs
Sommaire
1 Rappels de géométrie
2 Systèmes de coordonnées
3 Opérations sur le vecteurs Produit scalaire
Produit vectoriel Produit mixte
Double produit vectoriel
4 Champ de vecteurs
Opérations sur le vecteurs
Espaces euclidiens
Les théories de la mécanique utilisent des grandeurs qui peuvent mathémati- quement être représentées par des vecteurs (vitesse, position, accélération, force,. . .). Ces vecteurs sont des éléments d’espaces vectoriels euclidiens sur R de dimension 3 noté (E). Ces espaces sont munis :
• D’une forme bilinéaire symétrique : le produit scalaire
(E) × (E) → R ( #» u , #» v ) → #» u . #» v
R EMARQUE : on définit alors la norme du vecteur #» u :
−
→ u
=
√ #» u . #» u
• D’une forme bilinéaire antisymétrique : le produit vectoriel
w #»
Opérations sur le vecteurs
R EMARQUE : w #» est un vecteur normal à #» u et #» v . Les vecteurs #» u , #» y et
#» z sont directes
L’association de trois vecteurs indépendant forme une base B de (E).
On utilisera en SI, généralement des bases orthonormées directes telles que :
#» x . #» y = #» y . z #» = #» z . #» x = 0 vecteurs orthogonaux
−
→ x =
−
→ y =
−
→ z
= 1 vecteurs normés
#» x ∧ #» y = #» z orientation directe
Opérations sur le vecteurs
Tout vecteur #»
V de (E) est alors une combinaison linéaire des vecteurs de base :
V #» = V x . #» x + V y . #» y + V z . #» z =
( #» x , #» y , #» z )
V x V y V z
V x , V y et V z sont les coordonnées de #»
V dans la base ( #» x , #» y , #» z ). Pour une base orthonormée :
V x = #»
V . #» x V y = #»
V . #» y V z = #»
V . #» z
On peut définir pour tout vecteur ( #» u , #» v ) ∈ (E) 2 un angle θ = ( [ #» u , #» v ) orienté par un vecteur #» z normal
#» #»
w #»
#»
Opérations sur le vecteurs Produit scalaire
Produit scalaire
Dans une base orthonormée ( #» x , #» y , #» z ), le produit scalaire est défini par la relation entre les coordonnées :
#» u . #» v = u x .v x + u y .v y + u z .v z R EMARQUES :
• Le produit scalaire est nul si
#» u = #»
0 ou #» v = #»
0 ou #» u ⊥ #» v
• Le produit scalaire permet de trouver la valeur de l’angle θ = ( #» u [ , #» v ) par la relation :
#» u . #» v =
−
→ u .
−
→ v . cos
( #» u [ , #» v )
Opérations sur le vecteurs Produit vectoriel
Produit vectoriel
Dans une base orthonormée directe B = ( #» x , #» y , #» z ), le produit vectoriel est défini par la relation entre les coordonnées :
#» u ∧ #» v =
B
u x u y
u z
∧
B
v x v y
v z
=
B
u y .v z − u z .v y u z .v x − u x .v z
u x .v y − u y .v x
Pour éviter de poser les calculs en colonne, on utilisera régulièrement les propriétés :
#» x ∧ #» x = #»
0 #» x ∧ #» y = #» z #» x ∧ #» z = − #» y
#» #» #» #» #» #» #» #» #»
Opérations sur le vecteurs Produit vectoriel
Produit vectoriel
Ces propriétés se retrouvent vite en observant le sens direct :
#» x , #» y , #» z , #» x , #» y
R EMARQUES :
• Le produit vectoriel est antisymétrique : #» u ∧ #» v = − #» v ∧ #» u
• Le produit vectoriel permet de définir l’orientation directe de l’angle ( #» u [ , #» v ) autour d’un vecteur unitaire #» n normal à #» u et #» v par la rela- tion :
w #» = #» u ∧ #» v =
−
→ u .
−
→ v . sin
( #» u [ , #» v )
#» n
Opérations sur le vecteurs Produit vectoriel
Produit vectoriel
• Le produit vectoriel est nul si
#» u = #»
0 ou #» v = #»
0
ou #» u et #» v sont colinéaires
• d’un point de vu matriciel:
B
p q r
∧
B
u x u y u z
=
0 −r q
r 0 −p
−q p 0
B
u x u y u z
B
Opérations sur le vecteurs Produit mixte
Produit mixte
Le produit mixte est une forme trilinéaire. Il définit un nombre réel que l’on note ( #» x , #» y , #» z ):
(E ) × (E ) × (E ) → R
( #» u , #» v , w #» ) → #» u .( #» v ∧ w #» )
Dans une base orthonormée directe ( #» x , #» y , #» z ) , le produit mixte ( #» u , #» v , w) #» peut s’obtenir par le calcul du déterminant suivant :
( #» u , #» v , w #» ) = #» u .( #» v ∧ w) = #»
u x v x w x
u y v y w y u z v z w z
Opérations sur le vecteurs Produit mixte
Produit mixte
R EMARQUES :
• Le produit mixte est invariant par permutation circulaire des vecteurs :
#» u .( #» v ∧ w) = #» w #» .( #» u ∧ #» v ) = #» v .( w #» ∧ #» u )
Le produit mixte est nul si deux vecteurs sont colinéaires ou si les
trois vecteurs sont coplanaires
Opérations sur le vecteurs Double produit vectoriel
Double produit vectoriel
Le double produit vectoriel de trois vecteurs #» a , #»
b et #» c définit un vecteur #»
d et se calcule par la formule suivante (à retenir comme on peut) :
#» d = #» a ∧ ( #»
b ∧ #» c ) = ( #» a . #» c ) #»
b − ( #» a . #»
b ) #» c
Champ de vecteurs
Sommaire
1 Rappels de géométrie
2 Systèmes de coordonnées
3 Opérations sur le vecteurs
4 Champ de vecteurs
Définitions
Torseur
Champ de vecteurs Définitions
Définitions
D ÉFINITION : Champ de vecteurs
Application de (ε) dans (E) qui à tout point M de l’espace affine asso- cie un vecteur unique dans l’espace euclidien noté #»
V
(M)Champ de vecteurs Définitions
Définitions
D ÉFINITION : Champ uniforme
Champ de vecteurs tels que ∀M , ∀N ∈ (ε)
2, #»
V
(M)= #»
V
(N)D ÉFINITION : Champ central
Champ de vecteurs tels que ∃C ∈ (ε) tel que ∀M ∈ (ε), ∃λ
M∈ R / tels que #»
V
(M)= λ
M. # » MC.
Tous les vecteurs sont dirigés vers un même point C de l’espace affine.
Champ de vecteurs Définitions
Définitions
D ÉFINITION : Champ équiprojectif
Un champ de vecteurs est équiprojectif ssi ∀(M , N) ∈ (ε)
2, la relation suivante est vérifiée: #»
V
(M). # » MN = #»
V
(N). # » MN
D ÉFINITION : Champ de moments
Un champ de moments est un champ de vecteurs tel qu’il existe un vecteur #»
U ∈ (E) tel que ∀M , N ∈ (ε) V #»
(M)= #»
V
(N)+ #»
U ∧ # » NM = #»
V
(N)+ # » MN ∧ #»
U
Champ de vecteurs Définitions
Théorème de Delassus
R EMARQUE : Théorème de Delassus:
Il est possible de démontrer que:
Champ équiprojectif ⇔ Champ de moments D ÉMONSTRATION :
• Champ de moments ⇒ Champ équiprojectif
Le champ étant un champ de moments ∀(M, N) ∈ (ε) 2 , ∃ #»
U ∈ (E)/
V #»
(M)= #»
V
(N)+ #»
U ∧ # » NM
⇒ #»
V
(M). # »
NM = #»
V
(N)+ #»
U ∧ # » NM
. # » NM
⇒ #»
V
(M). # »
NM = #»
V
(N). # »
NM + NM. # » #»
U ∧ # » NM
#» # » #» # »
Champ de vecteurs Torseur
Définition d’un torseur
Un torseur (
T )
, représente un champ de vecteurs équiprojectif. Il est représenté par l’association de :
• Un vecteur résultant #»
R (identique en tout point de l’espace)
• Un champ de moments #»
M (dépendant du point où on le calcule) Il vérifie ∀(A, B) ∈ (ε) 2 l’équation
M #» (B)
|{z}
B
= #»
M (A)
|{z}
A
+ # » BA
|{z}
BA
∧ #»
R
|{z}
R
équation BABAR pour ne pas se tromper. . . R #» est appelé la résultante et # »
M le moment en A. Ces deux vecteurs
Champ de vecteurs Torseur
Définition d’un torseur
on note le torseur (
T )
comme suit :
( T
)
=
A
( #»
#» R M
(A))
=
A
( R
x#» x + R
y#» y + R
z#» z M
(A)x#» x + M
(A)y#» y + M
(A)z#» z
)
=
A
R
xM
(A)xR
yM
(A)yR
zM
(A)z
(#»x,#»y,#»z)Les coordonnées de #»
R et #»
M (A) dans la base ( #» x , #» y , #» z ) sont appelées les coordonnées pluckériennes du torseur
( T
)
.
Champ de vecteurs Torseur
Addition
Soient deux torseurs T
1et T
2tels que : T
1=
A
( #»
R
1M #»
(A)1) et T
2=
A
( #»
R
2M #»
(A)2) . Soit T
Sla somme des deux torseurs. Alors la résultante #»
R
Sest égale à la somme des résultantes #»
R
1et #»
R
2et le moment #»
M
(A)Sexprimé en A est égal à la somme des moments #»
M
(A)1et #»
M
(A)2exprimés en A.
T
S= T
1+ T
2=
A
( #»
R
1M #»
(A)1) +
A
( #»
R
2M #»
(A)2)
=
A
( #»
R
1+ #»
R
2M #»
(A)1+ #»
M
(A)2)
⇒
R #»
s= #»
R
1+ #»
R
2M #»
(A)S= #»
M
(A)1+ #»
M
(A)2A
TTENTION! Ajouter deux torseurs dont les éléments de réduction sont exprimés en
Champ de vecteurs Torseur
Multiplication par un scalaire
Soit T 1 un torseur et λ un réel, alors : λ. T 1 =
A
λ. #»
R 1 λ. #»
M (A)
Champ de vecteurs Torseur
Comoment de deux torseurs
On appelle comoment de deux torseurs T 1 et T 2 , la quantité scalaire :
T 1 ⊗ T 2 = #»
R 1 . #»
M (A)2 + #»
R 2 . #»
M (A)1
Comme pour la somme, les moments doivent être exprimés au même
point.
Champ de vecteurs Torseur
Comoment de deux torseurs
R EMARQUE : Le résultat ne dépend pas du point A choisi. C’est un invariant.
D ÉMONSTRATION :
T
1⊗ T
2=
B
( R #»
1M #»
(B)1)
⊗
B
( R #»
2M #»
(B)2)
= #» R
1. M #»
(B)2+ #» R
2. M #»
(B)1= #» R
1. M #»
(A)2+ BA # » ∧ #» R
2+ #» R
2. M #»
(A)1+ BA # » ∧ R #»
1= #» R
1. M #»
(A)2+ R #»
2. M #»
(A)1+
R #»
1. BA # » ∧ #» R
2+ R #»
2. BA # » ∧ R #»
1| {z }
− R #»
1
. BA # » ∧ #» R
2#» #» #» #» #» #»
Champ de vecteurs Torseur
Automoment d’un torseur
On appelle automoment A ( T ) du torseur T la moitié du comoment de ce torseur par lui-même.
A (T) = 1
2 .T ⊗ T = R. #» #»
M A
Champ de vecteurs Torseur
Axe central d’un torseur
On appelle axe central d’un torseur T l’ensemble des points I pour lesquels le champ #»
M est colinéaire à #»
R . Autrement dit, on cherche les points I ∈ (ε)/∃λ ∈ R / #»
M (I) = λ. #»
R (ou #»
M (I ) ∧ #»
R = #»
0 , avec #»
R , #»
0 I est alors appelé point central du torseur.
Soit T =
A
R #»
M #» (A)
, avec A un point quelconque de l’espace affine et H un point de l’axe central tel que #»
M (H) = λ. #»
R. Alors:
M #» (H) = #»
M (A) + # » HA ∧ #»
R = λ. #»
R
Champ de vecteurs Torseur
Axe central d’un torseur
En faisant le produit vectoriel par #»
R, on obtient:
R #» ∧ #»
M (H) = #»
R ∧ #»
M (A) + #»
R ∧ # » HA ∧ #»
R
= #»
0 R #» ∧ #»
M (A) + R. #» #»
R
| {z }
−
→ R
2
# »
HA − R. #» # » HA
| {z } µ
R #» = 0
Ainsi,
# » HA =
M #» (A) ∧ #»
R + µ. #»
R
−
→ R
2 (1)
Champ de vecteurs Torseur
Axe central d’un torseur
L’axe central est toujours une droite parallèle à #»
R.
Le moment d’un torseur est minimum pour tous les points de l’axe central.
L’ensemble cherché est une droite de direction #»
R. Il suffit de trouver un point de cette droite pour déterminer l’axe central. Or parmi les points H R. #» vérifiant la relation # » (1), il existe une solution particulière H 0 telle que AH 0 = 0. H 0 est le pied de la perpendiculaire à l’axe central passant par A. On obtient alors :
# » #»
M (A) ∧ #»
R
R #»
x #»
H
Champ de vecteurs Torseur
#» x
#» y
#» z
H
R #»
# » M(H)
A # » AH ∧ #» B R
# » BH ∧ #» C R
# » CH ∧ #» D R
# » DH ∧ #»
R
# » M(H)
# » M(H)
# » M(H)
# »
M(H)
Champ de vecteurs Torseur
#» x
#» y
#» z
H R #»
# » M(H)
A # » AH ∧ #» B R
# » BH ∧ #» C R
# » CH ∧ #» D R
# » DH ∧ #»
R
# » M(H)
# » M(H)
# » M(H)
# »
M(H)
Champ de vecteurs Torseur
#» x
#» y
#» z
H R #»
# » M(H)
A # » AH ∧ #» B R
# » BH ∧ #» C R
# » CH ∧ #» D R
# » DH ∧ #»
R
# » M(H)
# » M(H)
# » M(H)
# »
M(H)
Champ de vecteurs Torseur
#» x
#» y
#» z
H R #»
# » M(H)
A # » AH ∧ #» B R
# » BH ∧ #» C R
# » CH ∧ #» D R
# » DH ∧ #»
R
# » M(H)
# » M(H)
# » M(H)
# »
M(H)
Champ de vecteurs Torseur
#» x
#» y
#» z
H R #»
# » M(H)
A # » AH ∧ #»
R
B # »
BH ∧ #» C R
# » CH ∧ #» D R
# » DH ∧ #»
R
# » M(H)
# » M(H)
# » M(H)
# »
M(H)
Champ de vecteurs Torseur
#» x
#» y
#» z
H R #»
# » M(H)
A # » AH ∧ #»
B R
# » BH ∧ #»
R
C # »
CH ∧ #» D R
# » DH ∧ #»
R
# » M(H)
# » M(H)
# » M(H)
# »
M(H)
Champ de vecteurs Torseur
#» x
#» y
#» z
H R #»
# » M(H)
A # » AH ∧ #»
B R
# » BH ∧ #»
C R
# » CH ∧ #»
R
D
# » DH ∧ #»
R
# » M(H)
# » M(H)
# » M(H)
# »
M(H)
Champ de vecteurs Torseur
#» x
#» y
#» z
H R #»
# » M(H)
A # » AH ∧ #»
B R
# » BH ∧ #»
C R
# » #»
# » M(H)
# » M(H)
# » M(H)
# »
M(H)
Champ de vecteurs Torseur
#» x
#» y
#» z
H R #»
# » M(H)
A # » AH ∧ #»
B R
# » BH ∧ #»
C R
# » CH ∧ #»
D R
# » M(H)
# » M(H)
# » M(H)
# »
M(H)
Champ de vecteurs Torseur
#» x
#» y
#» z
H R #»
# » M(H)
A # » AH ∧ #»
B R
# » BH ∧ #»
C R
# » #»
# » M(H)
# » M(H)
# » M(H)
# »
M(H)
Champ de vecteurs Torseur
#» x
#» y
#» z
H R #»
# » M(H)
A # » AH ∧ #»
B R
# » BH ∧ #»
C R
# » CH ∧ #»
D R
# » M(H)
# » M(H)
# » M(H)
# »
M(H)
Champ de vecteurs Torseur
#» x
#» y
#» z
H R #»
# » M(H)
A # » AH ∧ #»
B R
# » BH ∧ #»
C R
# » #»
# » M(H)
# » M(H)
# » M(H)
# »
Champ de vecteurs Torseur
#» x
#» y
#» z
H R #»
# » M(H)
A # » AH ∧ #»
B R
# » BH ∧ #»
C R
# » CH ∧ #»
D R
# » M(H)
# » M(H)
# » M(H)
# »
Champ de vecteurs Torseur
#» x
#» y
#» z
H R #»
# » M(H)
A # » AH ∧ #»
B R
# » BH ∧ #»
C R
# » #»
# » M(H)
# » M(H)
# » M(H)
# »
Champ de vecteurs Torseur
#» x
#» y
#» z
H R #»
# » M(H)
A # » AH ∧ #»
B R
# » BH ∧ #»
C R
# » CH ∧ #»
D R
# » M(H)
# » M(H)
# » M(H)
# »
Champ de vecteurs Torseur
#» x
#» y
#» z
H R #»
# » M(H)
A # » AH ∧ #»
B R
# » BH ∧ #»
C R
# » #»
# » M(H)
# » M(H)
# » M(H)
# »
Champ de vecteurs Torseur
#» y
#» z
H R #»
# »
M(H)
Champ de vecteurs Torseur
#» y
#» z
H R #»
# »
M(H)
Champ de vecteurs Torseur
#» y
#» z
H R #»
# »
M(H)
Champ de vecteurs Torseur
#» y
#» z
H R #»
# »
M(H)
Champ de vecteurs Torseur
#» y
#» z
H R #»
# »
M(H)
Champ de vecteurs Torseur
#» y
#» z
H R #»
# »
M(H)
Champ de vecteurs Torseur
#» y
#» z
H R #»
# »
M(H)
Champ de vecteurs Torseur
#» y
#» z
H R #»
# »
M(H)
Champ de vecteurs Torseur
#» y
#» z
H R #»
# »
M(H)
Champ de vecteurs Torseur
#» y
#» z
H R #»
# »
M(H)
Champ de vecteurs Torseur
#» y
#» z
H R #»
# »
M(H)
Champ de vecteurs Torseur
#» x
#» y
#» z
H R #»
# »
M(H)
Champ de vecteurs Torseur
#» x
#» y
#» z
H R #»
# »
M(H)
Champ de vecteurs Torseur
#» x
#» y
#» z
H R #»
# »
M(H)
Champ de vecteurs Torseur
#» x
#» y
#» z
H R #»
# »
M(H)
Champ de vecteurs Torseur
#» x
#» y
#» z
H R #»
# »
M(H)
Champ de vecteurs Torseur
#» x
#» y
#» z
H R #»
# »
M(H)
Champ de vecteurs Torseur
#» x
#» y
#» z
H R #»
# »
M(H)
Champ de vecteurs Torseur
#» x
#» y
#» z
H R #»
# »
M(H)
Champ de vecteurs Torseur
#» x
#» y
#» z
H R #»
# »
M(H)
Champ de vecteurs Torseur
#» x
#» y
#» z
H R #»
# »
M(H)
Champ de vecteurs Torseur
#» x
#» y
#» z
H R #»
# »
M(H)
Champ de vecteurs Torseur
#» x
#» y
#» z
H R #»
# »
M(H)
Champ de vecteurs Torseur
#» x
#» y
#» z
H R #»
# »
M(H)
Champ de vecteurs Torseur
#» x
#» y
#» z
H R #»
# »
M(H)
Champ de vecteurs Torseur
#» x
#» y
#» z
H R #»
# »
M(H)
Champ de vecteurs Torseur
#» x
#» y
#» z
H R #»
# »
M(H)
Champ de vecteurs Torseur
#» x
#» y
#» z
H R #»
# »
M(H)
Champ de vecteurs Torseur
#» x
#» y
#» z
H R #»
# »
M(H)
Champ de vecteurs Torseur
Torseur nul
Un torseur nul
0
est un torseur dont la résultante et le moment sont nuls en au moins un point M de l’espace. Le moment est alors nul en
tout point de l’espace:
T =
∀M
#» 0
#» 0
=
0
Champ de vecteurs Torseur
Torseur couple
Un torseur couple est un torseur dont la résultante est nulle :
C
=
A
#» 0 M #» (A)
R EMARQUE : Le moment d’un torseur couple est le même en tout point
de l’espace et il n’y a pas d’axe central pour ce torseur.
Champ de vecteurs Torseur
