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T D 5 : CI-3 P RÉVOIR ET VÉRIFIER LES PER -
FORMANCES CINÉMATIQUES DES SYSTÈMES .
Exercice 1 : Centrifugeuse de laboratoire de Chimie
On considère une centrifugeuse composée d’un bâti (S0), d’un bras (S1) et d’une éprouvette (S2) qui peut contenir deux liquides de masses volumiques différentes.
Sous l’effet centrifuge dû à la rotation du bras (S1), l’éprouvette (S2) s’incline pour se mettre pratiquement dans l’axe du bras et le liquide dont la masse volumique est la plus élevée va au fond de l’éprouvette. Ainsi la séparation des deux liquides est réalisée.
SoitR(0,#»x,#»y,#»z) un repère lié à (S0) (fixe). Les solide (S1) admet une rotation par rapport au solide (S0) d’axe (O,#»x).
R1(A,#»x1,#»y1,#»z1) un repère lié à (S1). Posonsα=(#»y,#»y1) avecα=ω.tetωétant une constante positive exprimée en radians par seconde. On pose# »
OA=a.#»y1.
Le solide (S2) admet une rotation par rapport à (S1) d’axe (A,#»z1) telle que R2(A,#»x2,#»y2,#»z1) soit lié à (S2). On pose β = (#»x1,#»x2),βétant une fonction du temps inconnue. SoitBle centre d’inertie de (S2) tel que # »
AB = b.#»x2 (b constante positive exprimée en mètre).
#»y2
#»z1
#»z2
#»y1
#»x2
#»x1
#»x0 #»x1
−
→y0
−
→z0
−
→x1 →− x0
−
→y1
−
→z1
α
−
→x1
−
→y1
−
→z2 →−z1
−
→x2
−
→y2
β
Q - 1 :Déterminer les vecteur taux de rotation du solide(S1)par rapport au solide(S0), S2/S1et S2/S0. Ω#»(1/0) =α.˙ #»x0=α.˙ #»x1 ; Ω#»(2/1)=β.˙ #»z1=β.˙ #»z2 et Ω#»(2/0) =Ω#»(2/1)+Ω#»(1/0)=α.˙ #»x1+β.˙ #»z1
Q - 2 :Donner la vitesse en O du solide S1par rapport au solide S0.
Le pointOest le point d’articulation de la liaison pivot entre les solidesS1etS0. Sa vitesse est donc nulle.
On peut aussi le justifier de la façon suivante :
#»V(O,1/0)= #»
V(O/0)− #»
V(O/1)=
"
d dt
# » OO
#
B0
−
"
d dt
# » AO
#
B1
=−
"
d
dt(−a.#»y1)
#
B1
= #»
0
LYCÉECARNOT(DIJON) 1/2 MPSI - PCSI - TD 5
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Q - 3 :Déterminer la vitesse en A du solide S1par rapport au solide S0.
Connaissant la vitesse deOdans le mouvement deS1par rapport àS0, la méthode la plus rapide consiste à utiliser la formule de Varignon :
#»V(A,1/0)=
#»
V(O,1/0)+ # »
AO∧Ω#»(1/0)=−a.#»y1.∧α.˙ #»x1=a.α.˙ #»z1
On aurait pu comme précédemment utiliser la composition des vitesses en cinématique du point mais c’est plus long (surtout si on s’y prend mal. . . ).
#»V(A,1/0)= #»
V(A/0)− #»
V(A/1)=
"
d dt
# » OA
#
B0
−
"
d dt
# »
AA
#
B1
=
"
d dt(a.#»y1)
#
B0
• avec une jolie méthode de dérivation vectorielle :
#»V(A,1/0)=
"
d dt(a.#»y1)
#
B0
=
"
d dt(a.#»y1)
#
B1
+Ω#»(1/0)∧a.#»y1=α.˙ #»x1∧a.#»y1=a.α.˙ #»z1
• si on ne connaît pas son cours :
#»V(A,1/0)=
"
d dt(a.#»y1)
#
B0
=
"
d
dt(a.(cos(α).#»y0+sin(α).#»z0))
#
B0
=a.α.˙ (−sin(α).#»y0+cos(α).#»z0)=a.α.˙ #»z1
Q - 4 :Donner la vitesse en A du solide S2par rapport au solide S1. En déduire #»
V(A,S2/S0). Comme pour la vitesse #»
V(O,1/0), nous pouvons dire queA est fixe dans le mouvement deS2 par rapport à S1 à cause de l’articulation entre ces solides. Sinon :
#»V(A,2/1)= #»
V(A/1)− #»
V(A/2)=
"
d dt
# »
AA
#
B1
−
"
d dt
# »
AA
#
B2
= #»
0 ⇒ #»
V(A,2/0)=
#»
V(A,2/1)+ #»
V(A,1/0)=a.α.˙ #»z1 Q - 5 :Déterminer la vitesse en B du solide S2par rapport au solide S1.
#»V(B,2/1)=
#»
V(A,2/1)+ # »
BA∧Ω#»(2/1)=−b.#»x2∧β.˙ #»z2=b.β.˙ #»y2
Q - 6 :Déterminer la vitesse en B du solide S1par rapport au solide S0.
#»V(B,1/0)=
#»
V(O,1/0)+ # »
BO∧Ω#»(1/0)=−(b.#»x2+a.#»y1)∧α.˙ #»x1=α.(b.˙ sin(β)+a).#»z1 Q - 7 :En déduire la vitesse en B du solide S2par rapport au solide S0.
#»V(B,2/0)= #»
V(B,2/1)+ #»
V(B,1/0)=b.β.˙ #»y2+α.(a˙ +b.sin(β)).#»z1 Si cette question avait été la première du sujet, on aurait écrit :
#»V(B,2/0)= #»
V(B,2/1)+ #»
V(B,1/0) =
#»
V(A,2/1)+ # »
BA∧Ω#»(2/1)+
#»
V(O,1/0)+ # »
BO∧Ω#»(1/0)
= −b.#»x2∧β.˙ #»z2−(b.#»x2+a.#»y1)∧α.˙ #»x1 =b.β.˙ #»y2+α.(a˙ +b.sin(β)).#»z1 Q - 8 :Déterminer finalement le vecteur accélération du point B du solide S2par rapport à S0.
#»A(B,2/0) =
"
d dt
V#»(B,2/0)
#
B0
=
"
d dt
V#»(B,2/0)
#
B0
=
"
d dt
b.β.˙ #»y2+α.(a˙ +b.sin(β)).#»z1
#
B0
=
"
d dt
b.β.˙ #»y2
#
B2
+Ω#»(2/0)∧b.β.˙ #»y2+
"
d
dt( ˙α.(a+b.sin(β)).#»z1)
#
B1
+Ω#»(1/0)∧α.(a˙ +b.sin(β)).#»z1
= b.β.¨ #»y2+
α.˙ #»x1+β.˙ #»z2
∧b.β.˙ #»y2+h
α.(a¨ +b.sin(β))+α.˙ β.b.˙ cos(β))i
.#»z1+α.˙ #»x1∧α.(a˙ +b.sin(β)).#»z1
= b.
β.¨ #»y2+β.˙ α.˙ cos(β).#»z1−β˙2.#»x2 +h
α.(a¨ +b.sin(β))+α.˙ β.b.˙ cos(β))i
.#»z1−α˙2.(a+b.sin(β)).#»y1
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