CI-3 : P RÉVOIR ET VÉRIFIER LES PERFORMANCES DYNAMIQUES ET ÉNERGÉTIQUES DES SYSTÈMES .
CI-3-2 A PPLIQUER LES
THÉORÈMES DE LA D YNAMIQUE
S1
S2
S3 O1
O2
O3
C#»e #»
Cs
#»yg
#»y0
#»x0 = #»xg
Objectifs MODELISER-SIMULER-MODIFIER-VALIDER
A la fin de la séquence, un modèle de système de solides en liaisons isostatiques étant fourni, l’élève doit être capable de :
• déterminer la matrice d’inertie d’un solide aux formes géométriques "simples"
• équilibrer un solide
• déterminer les puissances des actions extérieurs et intérieurs d’un mécanisme
• déterminer l’inertie équivalente d’un système ramené sur l’arbre moteur
Table des matières
1 Équilibrage dynamique 2
1.1 Solide en rotation autour d’un axe fixe . . . 2
1.2 Équilibrage . . . 3
2 Application du théorème de l’énergie cinétique 5 2.1 Présentation d’un réducteur à train d’engrenages simples . . . 5
2.2 Bilan des actions mécaniques extérieures àΣ . . . 5
2.3 Bilan des actions mécaniques intérieures àΣ . . . 6
2.4 Calcul de l’énergie cinétique deΣ . . . 6
2.5 Inertie équivalente . . . 6
2.6 Calcul des puissances dues aux actions extérieures àΣ . . . 6
2.7 Calcul des puissances dues aux actions intérieures àΣ. . . 7
2.8 Théorème de l’énergie cinétique . . . 7
1. ÉQUILIBRAGE DYNAMIQUE 2/7
1 Équilibrage dynamique
1.1 Solide en rotation autour d’un axe fixe
1.1.1 Paramétrage du problème
Soit un solide S de forme quelconque, de masse m et de centre d’inertie G en liaison pivot supposée parfaite avec un bâti S0 auquel est lié le repère galiléen R0=(O,#»x0,#»y0,#»z0).
La liaison pivot est d’axe (O,#»z0). Le repèreR = (O,#»x,#»y,#»z), lié à S, est choisi, pour simplifier les calculs, tel que le plan (O,#»z0,#»x) contienne le pointG.
(#»x0,#»x)=θ et # »
OG=a.#»x +c.#»z0
Le solideS étant quelconque, sa matrice d’inertie dans le baseB=(#»x,#»y,#»z0) est :
I(O,S)=
A −F −E
−F B −D
−E −D C
B
−
→x0
−
→y0
−
→z →−z0
−
→x
−
→y
θ
1.1.2 Bilan des actions mécaniques exercées sur le solideS
• Les actions de la liaison pivot sont représentées, enO, par le torseur :
FS
0→S
=
O
X L Y M Z 0
B
• Sur S s’exerce également d’autres actions mécaniques, supposées connues, re- présentée au pointO, par le torseur :
FE xt→S
=
O
XE LE YE ME
ZE NE
B
LorsqueS est la roue d’un véhicule
FE xt→S
est constitué par la route, la pesanteur, l’arbre de transmission. . . 1.1.3 Torseurs cinématique et dynamique
Le mouvement deS par rapport àS0est décrit par letorseur cinématiquesuivant :
VS/S0 =
O
( θ.˙ #»z0
#»0 )
=
G
( θ.˙ #»z0 V#»(O,S/S0)+ # »
GO∧Ω#»(S/S0)
)
=
G
( θ.˙ #»z0 a.θ.˙ #»y
)
Larésultante dynamiqueest obtenue par dérivation de #»
V(G,S/S0)dansR0:
#»γ(S/R0)=m.
"
d dt
V#»(G,S/S0)
#
R0
=m.
"
d dta.θ.˙ #»y
#
R0
=m.a.
θ.¨ #»y −θ˙2.#»x
Le calcul dumoment dynamiqueest calculé au pointO(matrice d’inertie enOet#»V(O,S/S0)= #»
0 . Ainsi:
#»δ(O,S/S0) =
"
d dt
#»σ(O,S/S0)
#
R0
=
"
d
dtI(O,S)hΩ#»(S/S0)
i
#
R0
=
"
d
dtθ.˙ (−E.#»x −D.#»y +C.#»z0)
#
R0
= θ.¨ (−E.#»x −D.#»y +C.#»z0)+θ˙2.(D.#»x −E.#»y)
LYCÉECARNOT(DIJON) ETABLIR LES ÉQUATIONS DYNAMIQUES ET ÉNERGÉTIQUES MP
1. ÉQUILIBRAGE DYNAMIQUE 3/7
d’où
D(S/R0)
=
O
m.a.
θ.¨ #»y −θ˙2.#»x
θ.¨ (−E.#»x −D.#»y +C.#»z0)+θ˙2.(D.#»x −E.#»y)
1.1.4 Principe fondamental de la dynamique
On applique le principe fondamental de la dynamique au solideS, au pointOdans le repère galiléenR0:
D(S/R0)
=
FS0→S +
FE xt→S
O
m.a.
θ.¨ #»y −θ˙2.#»x
θ.¨ (−E.#»x −D.#»y +C.#»z0)+θ˙2.(D.#»x −E.#»y)
=
O
X L Y M Z 0
B
+
O
XE LE
YE ME
ZE NE
B
ce qui nous conduit aux 6 équations scalaires:
X+XE = −m.a.θ˙2 (1) Y+YE = m.a.θ¨ (2) Z+ZE = 0 (3) L+LE = θ˙2.D−θ.E¨ (4) M+ME = −θ˙2.E−θ.D¨ (5) NE = C.θ¨ (6)
d’où l’on peut extraire les inconnues de liaisons:
X = −m.a.θ˙2−XE (10) Y = m.a.θ¨−YE (20) Z = −ZE (30) L = θ˙2.D−θ.E¨ −LE (40) M = −θ˙2.E−θ.D¨ −ME (50) et l’équation de mouvement: ¨θ= NE
C (60) 1.2 Équilibrage
1.2.1 Problématique
Un des problèmes essentiels en fabrication est l’équilibrage des solides tournant autour d’un axe fixe. En effet, la naissance de vibrations mécaniques peut engendrer une détérioration rapide des paliers, un manque de précision pour l’usinage ou plus simplement créer une gêne sonore.
Dans le cas de la roue d’un véhicule que l’on cherche à équilibrer, les actions méca- niques exercées surS autres que les actions mécaniques de la liaisons pivot, se résument à l’action gravitationnelle:
FE xt→S
=
G
( −m.g.#»y0
#»0 )
=
O
( −m.g.#»y0
(a.#»x +c.#»z0)∧ −m.g.#»y0 )
=
O
( −m.g.#»y0
−m.g.(a.cos(θ).#»z0−c.#»x0) )
ce qui donne pour l’équation de mouvement (6’): ¨θ=−m.g.a
C .cos(θ).
1.2.2 Conditions d’équilibrage
Pour éviter les vibrations, il faut rendre l’action mécanique dans la liaison entreS etS0 aussi constante que possible. En particulier, indépendante du mouvement deS par rapport àS0, c’est à dire de ˙θet ¨θ.
D’après les équations précédentes, ces conditions d’équilibrage nous donnent :
1. ÉQUILIBRAGE DYNAMIQUE 4/7
• a=0 : le centre d’inertieGest sur l’axe de rotation (O,#»z0) (équilibrage statique, car (60)⇒θ¨=0) ;
• D= E=0 : l’axe de rotation (O,#»z0) est axe principal d’inertie deS (équilibrage dynamique).
1.2.3 Réalisation pratique de l’équilibrage
On remplaceS par un solideS0 constitué deS et de deux solidesS1 etS2, assimi- lables à des points matérielsPi de coordonnées (xi,yi,zi) dansR et de massesm1et m2positives (ajout de matière) ou négative (perçage, enlèvement de matière).
Dans le cas de l’équilibrage d’un vilebrequin, on effectue des perçages.
Dans le cas des roues de voitures, on ajoute deux masselottes fixées à la jante de chaque côté de la roue de rayonr.
Pour permettre à S0 d’être équilibré statiquement (G0 sur l’axe (O,#»z0)) et dynamiquement (D0 = E0 = 0), il convient de déterminer les inconnues (m1,x1,y1,z1,m2,x2,y2,z2). La traduction des conditions d’équilibre mène à:
#»z
#»y
2l P1
P2
#»x
#»y
P1 P2
θ1 θ2
# »
OG0.#»x = 0 # »
OG0.#»y = 0 m.a+m1.x1+m2.x2 = 0 (1) m1.y1+m2.y2 = 0 (2)
D0 = 0 E0 = 0
D+m1.y1.z1+m2.y2.z2 = 0 (3) E+m1.x1.z1+m2.x2.z2 = 0 (4)
On obtient 4 équations à 8 inconnues (mi,xi,yi,zi), donc une infinité de solutions.
REMARQUE: Dans le cas général, une seule masselotte (ou un seul perçage) ne suffit pas: sim2= 0 alors (2)⇒y1 =0 et (3)⇒D=0 d’où contradiction. . . .
L’examen de ces conditions dans le cas de l’équilibrage dynamique d’une roue de véhicule conduit à passer en coordonnées cylindriques. Les huit inconnues sont alors : (ri, θi,zi,mi).
Dans ce type d’équilibrage, les masses sont fixées sur le bord de la jante, de chaque côté de la roue. Les quatre conditions imposées sont les valeurs des paramètres (z1,z2,r1,r2) avec généralement r1 = r2 = r. Les quatre dernières inconnues sont (m1,m2, θ1, θ2).
La résolution des équations (1) à (4) donne:
tan(θ1) = D E−m.a.z2
m1 = D
r1.sin(θ1).(z2−z1) tan(θ2) = D
E−m.a.z1
m2 = m.a.z1−E r2.cos(θ2).(z2−z1)
LYCÉECARNOT(DIJON) ETABLIR LES ÉQUATIONS DYNAMIQUES ET ÉNERGÉTIQUES MP
2. APPLICATION DU THÉORÈME DE L’ÉNERGIE CINÉTIQUE 5/7
2 Application du théorème de l’énergie cinétique
2.1 Présentation d’un réducteur à train d’engrenages simples
S1
S2
S3
O1
O2
O3
C#»e #»
Cs
#»yg
#»y0
#»x0 =#»xg
−
→y0
−
→z0
−
→x1 →− x0
−
→y1
−
→z1
θ10 →−y0
−
→z0
−
→x2 →− x0
−
→y2
−
→z2
θ20 →−y0
−
→z0
−
→x3 →− x0
−
→y3
−
→z3
θ30
2.1.1 Présentation d’un réducteur à train d’engrenages simples
Le schéma ci contre représente un réducteur à train d’engrenage simple avecZ1,Z2,Z3,Z4 le nombre de dents respective- ment des engrenagesS1,S2,S3.
On nommek1le rapport de réduction deS1etS2etk2celui deS2etS3 k1 = −Z1
Z2 =−r1 r2 = ω20
ω10 et k2=−Z3 Z4 =−r3
r4 = ω30 ω20
Les vitesses de rotation deS1, S2,S3, autour des axes (O1,#»x0), (O2,#»x0), (O3,#»x0) sont respectivement notée ω10,ω20 etω30. Le repère R0est lié àS0. Les liaisons pivots entreS0 etS1,S2,S3 sont considérées comme parfaite.
Les matrices d’inertie, définies aux centres de masseG1= O1,G2= O2etG3 =O3, associées aux solidesS1, S2,S3sont toutes de la forme :
I(Oi,Si)=
Ai 0 0 0 Bi 0 0 0 Ci
R0
On cherche alors à trouver une relation entreCeetCsen appliquant lesméthodes énergétiques.
On isoleΣ =S1∪S2∪S3 ={S1;S2;S3} 2.2 Bilan des actions mécaniques extérieures àΣ
• Les efforts mécaniques sur l’arbre d’entréeS1du ré- ducteur sont modélisés par un torseur couple:
FMe→S1
=
O1
( #»
0 Ce.#»x0
)
• Les efforts mécaniques sur l’arbre de sortieS3du ré- ducteur sont modélisés par un torseur couple:
FMs→S3
=
O3
( #»
0 Cs.#»x0
)
• L’action mécanique de pesanteur est modélisée par les torseurs :
Fg→S
1
=
G1
( −m1.g.#»y0
#»0 )
Fg→S
2
=
G2
( −m2.g.#»y0
#»0 )
Fg→S3
=
G3
( −m3.g.#»y0
#»0 )
2. APPLICATION DU THÉORÈME DE L’ÉNERGIE CINÉTIQUE 6/7
• Les efforts appliqués aux solidesS1,S2,S3parS0sont modélisés par les torseurs:
FS0→S1
=
O1
( #»
R(S07→S1)
M#»(O1,S07→S1)
)
avec #»
M(O1,S07→S1).#»x0=0
FS0→S2 =
O2
( #»
R(S07→S2)
M#»(O2,S07→S2)
)
avec #»
M(O2,S07→S2).#»x0=0
FS0→S3 =
O3
( #»
R(S07→S3)
M#»(O3,S07→S3)
)
avec #»
M(O3,S07→S3).#»x0=0
2.3 Bilan des actions mécaniques intérieures àΣ
• Les actions mécaniques entre les dents des engrenages sont modélisables par:
FS
1→S2
=
M12
( H12.#»z12
#»0
)
FS
2→S3
=
M23
( H23.#»z23
#»0 )
• CommeO1etG1sont confondus et sont fixes, nous pouvons écrire:
2.Ec(S1/R0) = Ω#»(S1/R0).
I(O1,S1)hΩ#»(S1/R0)
i= A1.ω210
• De la même manière nous avons 2.Ec(S2/R0)=A2.ω220et 2.Ec(S3/R0)=A3.ω230. 2.4 Calcul de l’énergie cinétique deΣ
Pour le systèmeΣ =(S1,S2,S3) nous avons:
2.Ec(Σ/R0)=2.Ec(S1/R0)+2.Ec(S2/R0)+2.Ec(S3/R0)=A1.ω210+A2.ω220+A3.ω230 2.5 Inertie équivalente
Les relations sur les vitesses de rotationk1= ω20
ω10 etk2= ω30
ω20 conduisent à:
2.Ec(Σ/R0) = A1.ω102 +A2.ω220+A3.ω230
= A1.ω210+A2.k21.ω210+A3.k21.k22.ω210 Ec(Σ/R0)= 1
2.Jeq.ω210 Jeq= A1+A2.k12+A3.(k1.k2)2 Ainsi,Jeqest l’inertie équivalente ramenée à l’arbre moteur. Cette relation esttrès utilisée en asservissementafin de réduire à un seul bloc, dans un schéma bloc, l’influence du réducteur sur la fonction de transfert.
2.6 Calcul des puissances dues aux actions extérieures àΣ 2.6.1 Puissance développée par le poids
Le torseur cinématique au centre de masse étant
VS
i/R0
=
Gi
( ωi0.#»x0
#»0 )
et puisque
Fg→Si =
Gi
( −mi.g.#»y0
#»0 )
, la puis- sance développée par le poids estP(g7→Si/R0)=
Fg→S
i
⊗
VS1/R0 =0
2.6.2 Puissance développée par les liaisons pivots avecS0
Les liaisons étant parfaites la puissance dissipée par celle-ci est nulle.
P(S07→Si) =
Oi
Xi 0 Yi Mi Zi Ni
R0
⊗
Oi
ωi0 0
0 0
0 0
R0
=0
LYCÉECARNOT(DIJON) ETABLIR LES ÉQUATIONS DYNAMIQUES ET ÉNERGÉTIQUES MP
2. APPLICATION DU THÉORÈME DE L’ÉNERGIE CINÉTIQUE 7/7
2.6.3 Puissance développée sur les arbres d’entréeS1et de sortieS2du réducteur
P(Me7→S1) =
O1
0 Ce
0 0
0 0
R0
⊗
O1
ω10 0
0 0
0 0
R0
=Ce.ω10
P(Me7→S1) =
O3
0 Cs
0 0
0 0
R0
⊗
O3
ω30 0
0 0
0 0
R0
=Cs.ω30
etCs.ω30=k1.k2.Cs.ω10
2.7 Calcul des puissances dues aux actions intérieures àΣ
Puissance développée par le contact entre les engrenagesS1etS2est nulle en absence de frottement. La liaison est ponctuelle au pointMi j et la vitesse #»
V(Mi j,i/j).#»zi j =0 P(S17→S2) =
M12
0 0
0 0
H12 0
B12
⊗
M12
− u12
− v12
− 0
R0
=0 Il en est de même pourP(S27→S3)=0
2.8 Théorème de l’énergie cinétique
d
dtEc(Σ/R0)=Pint(Σ)+Pext
Σ¯ 7→Σ/R0
, ce qui se traduit par: d dt
1
2.Jeq.ω210=Ce.ω10+Cs.k1.k2.ω10
!
d’où Jeq.ω˙10 =Ce+k1.k2.Cs
Nous avons ici la relation qui lie les différents paramètres d’un réducteur à axe parallèle et liaisons parfaites.
REMARQUE: La relation Jeq.ω˙10 =Ce+k1.k2.Cspermet de remplacer le réducteur par un modèle équivalent. Ce modèle est très utilisé lors de l’étude des réducteurs et de leur influence sur les asservissements.
Avec Jeq =A1+A2.k21+A3.(k1.k2)2
#»x
#» y
#»z C# »s
C# »e
T D 4 - CI-3 : P RÉVOIR ET VÉRIFIER LES PERFOR -
MANCES DYNAMIQUES ET ÉNERGÉTIQUES DES SYSTÈMES .
Exercice 1 : Dispositif de mesure d’un moment d’inertie
Un solide (S2) de révolution d’axe (G,#»z0) roule sans glisser sur un solide (S0) possédant deux pistes de roulements cylin- driques de rayon (R). Le solide (S2) est constitué de trois cylindres de révolution coaxiaux homogènes et de masse volumique ρ. Les dimensions des différents cylindres sont indiquées sur le dessin ci-dessus.
Q - 1 :En supposant qu’il y a roulement sans glissement en (I) entre(S0)et(S2), donnez la relation liantθ,˙ ϕ, r,˙ et R.
Q - 2 :Appliquez le principe fondamental de la dynamique au solide(S2)en G. La pesanteur est donnée par le vecteur#»g =g#»x0. Il y a du frottement(f)entre les deux pièces et on suppose qu’il n’y a pas de glissement.
Dans un premier temps, vous noterez la résultante dynamique #»γS2/R/0 = M#»
A(G,S2/R0)(avec M la masse totale) et le moment dynamique en G :δG,S2/R0 et vous ne détaillerez pas ces termes.
Q - 3 :Donnez la matrice d’inertie d’un cylindre de révolution de longueur(l)et de rayon (R). La matrice est écrite au centre d’inertie du solide(G), dans la base principale d’inertie (l’axe de révolution est(G,#»z0)).
Q - 4 :Donnez la forme puis les différents termes de la matrice d’inerte (en(G)) du solide(S2)décrit ci-dessus.
La masse volumique constante de la pièce sera notée(µ).
Q - 5 :Déterminer les torseurs cinétique et dynamique du solide(S2)dans son mouvement par rapport à(S0).
Q - 6 :Donnez l’équation de mouvement (équation qui permet de connaître la loi d’évolution de(ϕ)en fonction du temps).
Q - 7 :Donnez la condition que doit vérifier la valeur du coefficient de frottement(f)pour qu’il n’y ait pas de glissement entre les deux solides.
LYCÉECARNOT(DIJON) 1/7 MP - TD4 - CI-3
Exercice 2 : Cabrage d’une moto
2.1 Présentation
On étudie le comportement dynamique en phase d’accélération. On adopte une modélisation simplifiée, dans laquelle la moto est constituée de trois solides :
• cadre de la moto
• roue avant
• roue arrière
On noteM1 la masse du cadre seul,G1 son centre de masse. Le pilote, noté 4, est considéré comme un solide de masse M4, solidaire du cadre. On pourra noter 14 le solide constitué du cadre et du pilote. On notemla masse d’une roue, et I le moment d’inertie d’une roue par rapport à l’axe de la liaison pivot roue/châssis. On noteAetDles centres d’inertie des roues. On noteRle rayon d’une roue.
Les deux roues sont supposées identiques. On noteR= AC=BDle rayon des roues. Le mouvement est plan. Les hypothèses de calcul sont les suivantes:
• chaque roue est en contact ponctuel avec la route, considérée comme galiléenne
• on note 0 le référentiel de la route. Dans les conditions normales de conduite, les roues restent en contact avec le sol, sans glissement au niveau des points de contact. Bien entendu, il y a adhérence entre chaque roue et le sol. On noteµ0le coefficient d’adhérence, identique pour les deux points de contact. On le suppose égal au coefficient de frottement.
• on note#»z la verticale ascendante etgl’accélération de la pesanteur.
• la moto se déplace en ligne droite
On note #»v =V#»x le vecteur vitesse #»
V(G,1/0), où 0 représente la route, supposée galiléenne.
2.2 Questions
Chacune des deux roues est munie d’un frein à disque. On noteCav etCar la valeur algébrique des couples de freinage exercés par le châssis sur roues avant et arrière respectivement.
Q - 1 :On suppose qu’il y a roulement sans glissement entre les pneus et la route. Déterminer V en fonction˙ de Cavet Car, et des autres paramètres utiles. Pour chaque application du PFD, on précisera le système isolé, et on fera un bilan des actions extérieures.
Q - 2 :Déterminer le torseur des actions mécaniques exercées par le châssis sur chaque roue par l’intermédiaire des liaisons pivot, en fonction de Cavet Car, des paramètres de masse et de la géométrie.
Pour toute la suite, on néglige l’inertie des roues (m=0 etI =0).
Q - 3 :Déterminer la valeur de Cav et Carà partir de laquelle il y a perte d’adhérence pour une roue au moins.
On pose Car Cav =k
Q - 4 :Déterminer l’expression de V˙
en fonction de Cav et Car et des caractéristiques de la moto, pour Cav
variant de0à l’infini. Tracer l’allure de la courbe V˙
en fonction de Cav. On précisera les points remar- quables.
Q - 5 :Déterminer la distance minimale de freinage, à partir d’un vitesse initiale V0.
APPLICATIONNUMÉRIQUE:
M = 200 kg µ0 = 0,8 par temps sec V0 = 90 km/h
g = 9,81 m.s−2 µ0 = 0,6 par temps de pluie puisV0 = 130 km.h-1
Exercice 3 : Véhicule EXEL
L’étude porte sur un prototype de véhicule utilitaire électrique de petite dimension, proposé par la société EXEL. Le but du jeu est de déterminer les capacités du véhicule et en particulier la capacité d’accélération en côte.
Masse totale en charge M 1322 kg
Diamètres des roues d 0.542 m
Coefficient de frottement sur route sèche f 0.75 Coefficient de résistance au roulement µ 0.004 m Rendement de la transmission η 0.95 Entraxe des essieux (empattement) D 1.87 m Position du centre de gravité en charge a 1.2 m
b 0.7 m
Rayon de braquage L 4 m
Distance entre roues droite et gauche e 1.2 m Pour nommer les pièces, on leur associe des indices. Ainsi, la route sera notée0, la roue avant3, la roue arrière2et la caisse de la voiture1.
LYCÉECARNOT(DIJON) 3/7 MP - TD4 - CI-3
On considère le véhicule en charge, en démarrage en côte.
On recherche l’accélération maximale dans ces conditions extrêmes. Seules les roues avant sont motrices. Le couple moteur est supposé constant au cours du démarrage et conduit à un couple à la roue deCm= -700 N.m (le signe est tel que le couple soit effectivement moteur).
On néglige dans cette partie la résistance au roulement (µ= 0 m) ainsi que l’inertie et la masse des roues.
Q - 1 :Donner le torseur cinématique en fonction de la vitesse V (
V#»(G,1/0)
= V) du véhicule. En déduire le torseur cinétique.
Q - 2 :On noteγ = V (˙
#»A(G,1/0)
= γ = V) l’accélération du véhicule recherchée. Déterminer le torseur dy-˙ namique du véhicule par rapport au sol en fonction de γ et des caractéristiques techniques et de la géométrie.
Q - 3 :On isole le véhicule et ses roues. Donner les torseurs d’actions mécaniques s’exerçant sur le système.
Q - 4 :En isolant une roue arrière, montrer que l’effort du sol sur la roue arrière est parallèle à #»y .
Q - 5 :En isolant une roue avant, déterminer la composante tangentielle de frottement en fonction du couple moteur Cm.
Q - 6 :En isolant le véhicule et ses roues, déterminer l’accélération maximale permise par le couple moteur.
Effectuer l’application numérique avecα=10◦. Q - 7 :Vérifier que les roues avant ne patinent pas sur le sol.
Q - 8 :Dans le cas d’un démarrage au couple maximal, en côte, lorsque le véhicule est vide (masse totale avec conducteur de M = 1000 kg), y a-t-il patinage des roues avant ?
Q - 9 :Déterminer la pente maximale que le véhicule puisse gravir.
Exercice 4 : Matrice d’inertie
#»x
#»y
#»z
R S
h
O
Soit un cône de révolution, de masse volumique ρ, de hauteurh et de rayon de baseR.
Q - 1 :Déterminer la masse m du cylindre.
Q - 2 :Déterminer la position du centre de gravité G.
Q - 3 :Calculer la matrice d’inertie au point O.
Q - 4 :En déduire la matrice d’inertie au centre de gravitation.
Exercice 5 : Eolienne (d’après Ecole de l’air 1997)
Une schématisation simplifiée d’une éolienne peut être donnée par l’ensemble constitué:
• d’un bâti0
• d’un solide1(bloc oscillant) en liaison pivot d’axe (A,#»z0) avec le bâti0: (#»x0,#»x1)=α(t)
• d’un solide2(hélice et rotor de génératrice) en liaison pivot d’axe (A,#»x1) avec le solide1: (#»y1,#»y2)=β(t)
Le solide1, de massem1, de centre d’inertieA, admet le plan (A,#»x1,#»z1) comme plan de symétrie. Le solide2, de masse m2 =m02+m002, de centre d’inertieG2(avec# »
AG2=L#»x2) est constitué:
• d’un cylindre plein2’d’axe (A,#»x2) de masse m20, de centre d’inertieG02, de hauteurHet de rayonRavec # » G02G2 = µ.#»x2(µ >0)
• d’une plaque rectangulaire2”de massem02, de centre d’inertieG02, de côtésa(suivant #»y2) etb(suivant#»z2) , d’épais- seur négligeable avec # »
G2G002 =λ.#»x2(λ >0) 0).
Q - 1:Donner l’allure de la matrice d’inertieI(A,1)du solide1en A sur le repèreR1(A,#»x1,#»y1,#»z1): on notera A1, B1. . . les termes de cette matrice d’inertie.
Q - 2:Déterminer:
2.1 la relation entreλ,µ, m02et m002.
2.2 la matrice d’inertieI(G02,20)du solide2’en G02dans le repèreR2en fonction de H, R et m02 2.3 la matrice d’inertieI(G002,2”)du solide 2" en G002 dans le repèreR2en fonction de a, b et m002. 2.4 la matrice d’inertieI(G002,2)du solide2en G2dans le repèreR2.
On noteraA2,B2. . . les termes de la matrice d’inertieI(G2,2) dans la suite du problème.
Q - 3:Déterminer le moment cinétique #»σ(A,1/0)et la projection du moment dynamique#»δ(A,1/0).#»z1. Q - 4:Déterminer le moment cinétique #»σ(G2,2/0)et la projection du moment dynamique#»δ(G2,2/0).#»x1. Q - 5:Déterminer l’énergie cinétique de l’ensemble1+2par rapport à0.
LYCÉECARNOT(DIJON) 5/7 MP - TD4 - CI-3
Exercice 6 : Inertie équivalente
A
B C
D E
#»x0
#» y0
#»x3
#»
y3
x#»4
#»y4
#»x2 y#»2
#»x1
#» y1
−
→x0
−
→y0
−
→z1 →−z0
−
→x1
−
→y1
θ10 →−x0
−
→y0
−
→z2 →−z0
−
→x2
−
→y2
θ20 →−x0
−
→y0
−
→z3 →−z0
−
→x3
−
→y3
θ30 →−x0
−
→y0
−
→z4 →−z0
−
→x4
−
→y4
θ40
Les piècesiont une massemi. Les opérateurs d’inertie des solidesSjpour j∈2,3,4 sont tels qu’en
Pipoint de leur axe de rotation par rapport à 0 : I(Pi,Bi)=
− 0 0
0 − 0
0 0 Ii
Bi
Q - 1:Déterminer l’inertie équivalente de l’ensemble autour de l’axe(C,#»z0)
Exercice 7 : Robot ABB
Le robot ABB IRB 7600 est un robot 6 axes utilisé dans l’industrie pour réaliser différentes opérations (palettisation, montage, ...) sur des chaînes de production.
On souhaite déterminer les couples moteur à exercer sur l’axe 1 et 2 ainsi que les efforts encaissés par les articulations pour une configuration particulière où les axes 3, 4, 5 et 6 sont verrouillés (blo- qués). Configuration pour laquelle on suppose donc que le robot peut se réduire cinématiquement à deux solides dont on suppose connus les centres de gravité et les opérateurs d’inertie respectifs.
OBJECTIF :Déterminer les couples moteur à exercer sur l’axe 1 et 2
Données et hypothèses :
# »
OA = a.#»z0
# »
AG2 = b.#»y2 b = 940 mm (#»x0,#»x1) = (#»y0,#»y1)=α (#»y1,#»y2) = (#»z1,#»z2)=θ
• Masse du solideS2de centre de gravitéG2:M2=1064 kg
• Masse du solideS1de centre de gravitéO:M1
• Matrice d’inertie du solide 2 enAexprimée dans la base 2 :
I(A,S2)=
A2 0 0
0 B2 −D2 0 −D2 C2
(#»x2,#»y2,#»z2)
avec A2 = 105 kg.m2 B2 = 37 kg.m2 C2 = 81 kg.m2 D2 = 28 kg.m2
• Matrice d’inertie du solide 1 enOexprimée dans la base 1 :
I(O,S1)=
A1 0 0
0 B1 0
0 0 C1
(#»x1,#»y1,#»z1)
avec A1 = kg.m2 B2 = kg.m2 C1 = kg.m2
• Caractéristiques cinématiques souhaitées :
α˙maxi=75◦/s ; θ˙maxi=60◦/s ; α¨maxi =10◦/s2 ; θ¨maxi=10◦/s2
Q - 1:Appliquer le principe fondamental de la dynamique au solide S2 de manière à déterminer le couple moteur à exercer sur l’axe 2(A,#»x1)et les actions dans la liaison entre S1et S2. Calculer Cmpour? =10◦et pour les caractéristiques cinématiques maximales.
Q - 2:Proposer une démarche pour calculer le couple moteur à exercer sur l’axe 1(O,#»z0).
LYCÉECARNOT(DIJON) 7/7 MP - TD4 - CI-3
