CI-3 : Prévoir et vériﬁer les performances cinématiques des systèmes.

(1)

CI-3 :

Prévoir et vérifier les performances cinématiques des systèmes.

CI-3-2 Déterminer les trajectoire, vitesse et accélération d’un point de l’espace ou appartenant à un solide.

L

YCÉE

C

ARNOT

(D

IJON

), 2020 - 2021

Germain Gondor

(2)

Sommaire

1 Introduction

2 Définition

3 Dérivation vectorielle et vecteur instantané de rotation

4 Cinématique du point

5 Cinématique du solide indéformable

6 Composition de mouvement

7 Mouvements particuliers

8 Mouvement plan sur plan

Sciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-3-2 Cinématique du point et du solide Année 2020 - 2021 2 / 97

(3)

Introduction

Sommaire

1 Introduction

Des sensations pour Mémée !

2 Définition

3 Dérivation vectorielle et vecteur instantané de rotation

4 Cinématique du point

5 Cinématique du solide indéformable

6 Composition de mouvement

7 Mouvements particuliers

(4)

Introduction Des sensations pour Mémée !

Manège de l’extrême

(5)

Le principe de ces manèges est procurer aux passagers des sensations de vitesse, d’envol et de lui faire tourner la tête !

Bien que la vitesse, pour des raisons de sécurité, ne soit pas très élevée dans l’absolu, les sensations de vitesse sont obtenues en alternant les passages en hauteur et les passages au raz du sol. L’impression d’envol est obtenue par la combinaison d’une accélération en translation et d’une prise de hauteur.

Enfin on fait "tourner la tête" du passager en le désorientant par des

rotations multiples qui lui font perdre le sens de la verticale.

(6)

Le principe de ces manèges est procurer aux passagers des sensations de vitesse, d’envol et de lui faire tourner la tête !

Bien que la vitesse, pour des raisons de sécurité, ne soit pas très élevée dans l’absolu, les sensations de vitesse sont obtenues en alternant les passages en hauteur et les passages au raz du sol.

L’impression d’envol est obtenue par la combinaison d’une accélération en translation et d’une prise de hauteur.

Enfin on fait "tourner la tête" du passager en le désorientant par des rotations multiples qui lui font perdre le sens de la verticale.

(7)

Le principe de ces manèges est procurer aux passagers des sensations de vitesse, d’envol et de lui faire tourner la tête !

Bien que la vitesse, pour des raisons de sécurité, ne soit pas très élevée dans l’absolu, les sensations de vitesse sont obtenues en alternant les passages en hauteur et les passages au raz du sol.

L’impression d’envol est obtenue par la combinaison d’une accélération en translation et d’une prise de hauteur.

Enfin on fait "tourner la tête" du passager en le désorientant par des

rotations multiples qui lui font perdre le sens de la verticale.

(8)

«system context»

Manège

Forains Passagers

Badauds

«block»

Sécurité

«block»

Environnement

«block»

Energie bdd [Paquetage] Manège

(9)

«exigence»

Fonction globale

Id = "1"

Text = "Donner aux passagers des sensations"

«exigence»

Fonctions techniques

Id = "2"

Text = "Assurer les fonctions techniques"

«exigence»

Energie

Id = "2.1"

Text = "S’adapter à l’énergie disponible"

«exigence»

Environnement

Id = "2.2"

Text = "S’adapter à l’environnement"

«exigence»

Sécurité

Id = "3"

Text = "Respecter les normes en vigueur"

req Exigences du manèges

(10)

Le tableau ci-dessous donne quelques critères du cahier des charges, relatifs à l’exigence Id-1, et les niveaux associés :

Critères Niveaux

FS1

Vitesse maximale Accélération maximale

Nombre de rotations du passager Hauteur maximale atteinte

30 km/h< V

_max

< 50 km/h 1, 2.g < A

_max

< 1, 8.g A déterminer

8 m< H

max

< 10 m

(11)

Le tableau ci-dessous donne quelques critères du cahier des charges, relatifs à l’exigence Id-1, et les niveaux associés :

Critères Niveaux

FS1

Vitesse maximale Accélération maximale

Nombre de rotations du passager Hauteur maximale atteinte

30 km/h< V

_max

< 50 km/h 1, 2.g < A

_max

< 1, 8.g A déterminer

8 m< H

max

< 10 m

(12)

On veut être capable d’évaluer les performances atteintes pour la fonction FS1, à travers une étude du mouvement du mécanisme.

Pour déterminer ces performances, l’ingénieur doit modéliser le mouvement du manège puis calculer les positions, les vitesses et les accélérations, non seulement celles du passagers, mais aussi celles des bras et des moteurs du manège.

(13)

Définition

Sommaire

1 Introduction

2 Définition

Système de référence Le point

Trajectoire d’un point

3 Dérivation vectorielle et vecteur instantané de rotation

4 Cinématique du point

5 Cinématique du solide indéformable

6 Composition de mouvement

7 Mouvements particuliers

(14)

Définition Système de référence

Système de référence

Pour lever toute ambiguïté dans l’études des systèmes matériels, il convient d’exprimer les grandeurs par rapport à des références.

(15)

Nécessité de définir une base de temps t

Pour A, la voiture bouge. Pour B la voiture est immobile. Il est donc

nécessaire de définir celui qui observe. A est muni de t (une base de

temps) pour quantifier le déplacement.

(16)

Nécessité de définir un repère R (O, B)

A voit la maison petite et loin. B voit la maison grande et proche. Il est nécessaire de définir un repère, qui caractérise la taille et la position.

(17)

Nécessité de définir un référentiel noté E

Si la référence est le mur, le caoutchouc se déforme. Si la référence est le caoutchouc, le mur se déforme. Il est nécessaire de définir le référentiel qui ne se déforme pas, correspondant à un solide indéfor- mable.

Un solide S est indéformable si et seulement si ∀M, N ∈ S,

−−→ MN

= cte

(18)

D ^ÉFINITION : Système de référence

Système composé d’une base de temps et d’un repère dans l’espace E(t, R )

H YPOTHÈSE : t est le même quelque soit le référentiel E.

Changer de système de référence revient donc à changer de référentiel E .

Comme E est repéré par sa Base OrthoNormée Directe (BOND) B , l’étude de du point M par rapport à E est identique à l’étude de M par rapport à R .

(19)

Définition Le point

Le point

D ÉFINITION : Point

Entité géométrique de dimension nulle dans l’espace affine et repré- sentable par ses coordonnées dans un repère R (O, B)

Soit M un point de l’espace et B = ( #» x , #» y , #» z ) une base de l’espace affine ε:

# »

OM(t ) = x (t ). #» x + y (t). #» y + z (t). #» z =

B

x (t) y (t) z(t )

(x (t), y (t ), z(t)) sont appelées coordonnées de M dans le repère R .

H YPOTHÈSE Ces coordonnées sont souvent supposées deux fois continues,

et deux fois dérivables.

(20)

Définition Trajectoire d’un point

Trajectoire d’un point

D ^ÉFINITION : Position

La fonction vectorielle t 7→ # »

OM(t ) est appelée position de M

D ÉFINITION : Trajectoire

La trajectoire de M entre les instant t

₁

et t

₂

est l’ensemble des positions occupées par M pendant ce temps

(21)

Définition Trajectoire d’un point

Exemple

Roue de bicyclette

La roue d’une bicyclette roule sans glisser sur le sol et reste toujours dans le plan (O ₁ , #» x , #» y ).

Soient :

• le repère R 1 (O ₁ , #» x , #» y , #» z ) lié à l’espace de référence E ₁ auquel est lié le sol

• le repère R 2 (O ₂ , #» x , #» y , #» z ) lié à l’espace de référence E ₂ auquel est lié le cadre de la bicyclette.

Tracer approximativement la trajectoire de M dans R 1 et R 2 .

(22)

Dérivation vectorielle et vecteur instantané de rotation

Sommaire

1 Introduction

2 Définition

3 Dérivation vectorielle et vecteur instantané de rotation Existence d’un vecteur instantané de rotation Changement de repère de dérivation

Propriétés du vecteur rotation Formulation

4 Cinématique du point

5 Cinématique du solide indéformable

6 Composition de mouvement

7 Mouvements particuliers

8 Mouvement plan sur plan

(23)

Dérivation vectorielle et vecteur instantané de rotation

Nous cherchons à établir que



 

  d dt ( #» u )



 

 

R

0

=



 

  d dt ( #» u )



 

 

R

1

+ #»

Ω _(R

1

/R

0

) ∧ #» u

où #»

Ω (R

1

/R

0

) est appelé vecteur rotation de R 1 par rapport à R 0 ( R 1 / R 0 ).

On le note aussi simplement #»

Ω _(1/0)

(24)

Dérivation vectorielle et vecteur instantané de rotation Existence d’un vecteur instantané de rotation

Existence d’un vecteur instantané de rotation

Soit la BOND B = ( #» x ₁ , #» y ₁ , #» z ₁ ) associée au repère R 1 :

−

→ x ₁ =

−

→ y ₁ =

−

→ z ₁ = 1

#» x 1 . #» x 1 = #» y 1 . #» y 1 = #» z 1 . #» z 1 = 1

#» x ₁ . #» y ₁ = #» y ₁ . #» z ₁ = #» z ₁ . #» x ₁ = 0

(25)

Dérivons la deuxième ligne dans R 0 :



 



 



#» x

₁

. #» x

₁

= 1

#» y

₁

. #» y

₁

= 1

#» z

₁

. #» z

₁

= 1

⇒



 



 





 

  dt d ( #» x

1

)



 

 

R₀

. #» x

1

= 0



 

  d dt ( #» y

1

)



 

 

R0

. #» y

1

= 0



 

  d dt ( #» z

₁

)



 

 

R0

. #» z

₁

= 0

⇒ ∃(x

y

, x

z

, y

x

, y

z

, z

x

, z

y

) ∈ R

⁶



 



 





 

  d dt ( #» x

₁

)



 

 

R0

= x

y

. #» y

₁

+ x

z

. #» z

₁



 

  dt d ( #» y

1

)



 

 

R₀

= y

z

. #» z

1

+ y

x

. #» x

1



 

  d dt ( #» z

1

)



 

  = z

x

. #» x

1

+ z

y

. #» y

1

(26)



 

 

 

 

#» x ₁ . #» y ₁ = 0

#» y ₁ . #» z ₁ = 0

#» z ₁ . #» x ₁ = 0

(27)



 



 





 

  d dt ( #» x ₁ )



 

 

R

0

. #» y ₁ + #» x ₁ .



 

  d dt ( #» y ₁ )



 

 

R

0

= 0



 

  d dt ( #» y ₁ )



 

 

R

0

. #» z ₁ + #» y ₁ .



 

  d dt ( #» z ₁ )



 

 

R

0

= 0



 

  d dt ( #» z ₁ )



 

 

R

0

. #» x ₁ + #» z ₁ .



 

  d dt ( #» x ₁ )



 

 

R

0

= 0

⇒



 

 

 

 

x _y + y _x = 0

y _z + z _y = 0

z x + x z = 0

(28)

Ce qui nous conduit à:



 



 





 

  d dt ( #» x

1

)



 

 

R0

= x

y

. #» y

1

− z

x

. #» z

1



 

  d dt ( #» y

₁

)



 

 

R0

= y

_z

. #» z

₁

− x

_y

. #» x

₁



 

  d dt ( #» z

1

)



 

 

R0

= z

x

. #» x

1

− y

z

. #» y

1

(29)

En posant #»

Ω (R

1

/R

0

) = y z . #» x ₁ + z x . #» y ₁ + x y . #» z ₁



 



 





 

  d dt ( #» x ₁ )



 

 

R

0

= #»

Ω (R

1

/R

0

) ∧ #» x ₁



 

 

dt d ( #» y ₁ )



 

 

R

0

= #»

Ω _(R

1

/R

0

) ∧ #» y ₁



 

  d dt ( #» z ₁ )



 

 

R

0

= #»

Ω (R

1

/R

0

) ∧ #» z ₁ Ω #»

(R

1

/R

0

) est appelé vecteur rotation instantanée du repère R 1 par

rapport au repère R 0 .

(30)

Dérivation vectorielle et vecteur instantané de rotation Changement de repère de dérivation

Changement de repère de dérivation

Soit le vecteur #» u (t) = u

x

(t ). #» x

1

+ u

y

(t). #» y

1

+ u

z

(t). #» z

1

:





 d dt(#»u(t))





 R0

= du_x dt .#»x₁+du_y

dt.#»y₁+du_z dt .#»z₁

| {z }





 d dt⁽^#»^u^(t))





 R1

+u_x(t).





 d dt(#»x₁)





 R0

+u_y(t)





 d dt(#»y₁)





 R0

+u_z(t).





 d dt(#»z₁)





 R0

=





 d dt(#»u(t))





 R1

+u_x(t).#»

Ω_(R

1/R0)∧#»x₁+u_y(t).#»Ω_(R

1/R0)∧#»y₁+u_z(t).#»Ω_(R 1/R0)∧#»z₁

=





 d dt(#»u(t))





 R1

+#»

Ω_(R 1/R0)∧h

u_x(t).#»x₁+u_y(t).#»y₁+u_z(t).#»z₁i

| {z }

#»u(t)

d’où

La formule du changement de repère de dérivation se résume alors par:





 d dt(#»u)





 R0

=





 d dt(#»u)





 R1

+#»Ω (R1/R0)∧#»u

(31)

Dérivation vectorielle et vecteur instantané de rotation Propriétés du vecteur rotation

Antisymétrie

Soient les référentiels R

1

et R

2

. Alors la formule de changement de repère de dérivation permet d’écrire:



 

  d dt ( #» u )



 

 

R2

=



 

  d dt ( #» u )



 

 

R1

+ #» Ω

_(R

1/R₂)

∧ #» u et



 

  d dt ( #» u )



 

 

R1

=



 

  d dt ( #» u )



 

 

R2

+ #» Ω

_(R

2/R₁)

∧ #» u

La somme de ces deux équations se met sous la forme:

h #»

Ω _(R

2

/R

1

) + #»

Ω _(R

1

/R

2

)

i ∧ #» u = #»

0 Cette relation étant vrai ∀ #» u , il apparaît alors que #»

Ω (R

2

/R

1

) = − #»

Ω (R

1

/R

2

) . Ainsi ∀ R i , R j , #»

Ω _(R

2

/R

₁

) = − #»

Ω _(R

1

/R

₂

)

(32)

Composition des vecteurs instantanés de rotation

Soient les référentiels R 0 , R 1 et R 2 . Alors la formule de changement de repère de dérivation permet d’écrire:



 

  d dt ( #» u )



 

 

R

0

=



 

  d dt ( #» u )



 

 

R

1

+ #»

Ω _(R

1

/R

₀

) ∧ #» u (1)



 

  d dt ( #» u )



 

 

R

1

=



 

  d dt ( #» u )



 

 

R

2

+ #»

Ω _(R

2

/R

1

) ∧ #» u (2)



 

  d dt ( #» u )



 

 

R

0

=



 

  d dt ( #» u )



 

 

R

2

+ #»

Ω _(R

2

/R

0

) ∧ #» u (3)

(33)

En effectuant (1)+(2)-(3), il vient:

h #»

Ω _(R

1

/R

₀

) + #»

Ω _(R

2

/R

₁

) − #»

Ω _(R

2

/R

₀

)

i ∧ #» u = #»

0 Cette relation étant vrai ∀ #» u , la composition des vitesses se traduit par

∀ R i , R j , R k #»

Ω _(R

i

/R

k

) = #»

Ω _(R

i

/R

j

) + #»

Ω _(R

j

/R

k

)

(34)

Dérivation vectorielle et vecteur instantané de rotation Formulation

Formulation

Soient deux repères R 0 et R 1 ayant un axe commun. Prenons par exemple #» z ₁ = #» z ₀ . R 1 peut alors être repéré dans R 0 par l’angle θ(t):

( #» x ₀ , #» x ₁ ) = θ(t) ( #» y ₀ , #» y ₁ ) = θ(t)

(35)

−

→ x 0

−

→ y ₀

−

→ z ₁ − → z ₀

−

→ x ₁

−

→ y ₁

θ(t) θ(t)

#» x ₁ = cos θ(t). #» x ₀ + sin θ(t). #» y ₀

#» y ₁ = − sin θ(t). #» x ₀ + cos θ(t). #» y ₀

#» z ₁ = #» z ₀

(36)

Sous forme matricielle, la matrice de changement de base de R

1

à R

0

M

_R₁_7→R₀

est:

M

_R₁7→R0

=



 

 

cos θ(t) sin θ(t) 0

−sin θ(t) cos θ(t) 0

0 0 1



 

 

M

_R⁻¹

17→R0

= M

_R₀7→R1

=



 

 

cos θ(t) −sin θ(t) 0 sin θ(t) cos θ(t) 0

0 0 1



 

 

Or, les dérivées des vecteurs #» x

₁

et #» y

₁

valent:



 

  d dt ( #» x

1

)



 

 

R0

= #»

Ω

_(R

1/R0)

∧ #» x

1



 

  d dt ( #» y

1

)



 

 

R0

= #»

Ω

_(R

1/R₀)

∧ #» y

1

(37)

En reprenant les expressions de #» x ₁ et #» y ₁ dans R 0 , il vient que:



 

  d dt ( #» x ₁ )



 

 

R

0

= d

dt (cos θ(t)) . #» x ₀ + d

dt (sin θ(t)) . #» y ₀

= − θ. ˙ sin θ(t). #» x ₀ + ˙ θ. cos θ(t). #» y ₀

= θ. ˙ [− sin θ(t). #» x ₀ + cos θ(t). #» y ₀ ] = ˙ θ. #» y ₁ Ainsi θ. ˙ #» y ₁ = #»

Ω _(R

1

/R

₀

) ∧ #» x ₁ , ce qui implique que #»

Ω _(R

1

/R

₀

) n’a pas de com-

posantes sur #» y ₁ .

(38)



 

  d dt ( #» y ₁ )



 

 

R

0

= d

dt (− sin θ(t)) #» x ₀ + d

dt (cos θ(t)) #» y ₀

= − θ. ˙ cos θ(t). #» x ₀ − θ. ˙ sin θ(t). #» y ₀

= − θ. ˙ [cos θ(t). #» x ₀ + sin θ(t). #» y ₀ ] = − θ. ˙ #» x ₁ Ainsi − θ. ˙ #» x ₁ = #»

Ω _(R

1

/R

0

) ∧ #» y ₁ , ce qui implique que #»

Ω _(R

1

/R

0

) n’a pas de composantes sur #» x ₁ .

Il en résulte que #»

Ω _(R

1

/R

₀

) = λ. #» z ₁ . Or:

θ. ˙ #» y ₁ = #»

Ω (R

1

/R

0

) ∧ #» x ₁ = λ. #» z ₁ ∧ #» x ₁ = λ. #» y ₁

− θ. ˙ #» x ₁ = #»

Ω (R

1

/R

0

) ∧ #» y ₁ = λ. #» z ₁ ∧ #» y ₁ = −λ. #» x ₁

donc Ω #» _(R

1

/R

0

) = ˙ θ(t). #» z ₁

(39)

En conclusion, lorsque deux repères R 0 et R 1 ont un axe confondu, le vecteur rotation instantanée #»

Ω (R

1

/R

0

) est porté par cet axe et sa composante est la dérivée de l’angle (positive dans le sens direct) qui repère la position de R 1 par rapport à R 0 ( R 1 / R 0 ).

En mécanique, on compose très souvent ce type de repérage (mouve-

ment de rotation autour d’un axe). Il suffira alors pour formuler le vecteur

rotation d’utiliser la propriété précédente et la composition des vecteurs

rotation.

(40)

Cinématique du point

Sommaire

1 Introduction

2 Définition

3 Dérivation vectorielle et vecteur instantané de rotation

4 Cinématique du point Vecteur vitesse d’un point Vecteur accélération d’un point

5 Cinématique du solide indéformable

6 Composition de mouvement

7 Mouvements particuliers

8 Mouvement plan sur plan

(41)

Cinématique du point Vecteur vitesse d’un point

Vecteur vitesse d’un point

D ÉFINITION : Vecteur vitesse

On appelle vitesse de M à l’instant t dans le repère R V #»

(M/R)

=



 

  d dt

# » OM (t )



 

 

B

R EMARQUES :

• L’origine O du repère R est importante.

• La vitesse s’exprime en "m/s".

• 

 

  dt d

# » OM (t)



 

 

B

=



 

 

dt d (x (t). #» x + y (t). #» y + z(t). #» z )



 

 

B

= dx

dt . #» x + dy

dt . #» y + dz dt . #» z

.

(42)

Exemple

#» y

O

#» x

R ( t ) •

θ(t)

B = ( #» x , #» y , #» z ) B

mob

= ( #» e

r

, #» e

θ

, #» e

z

)

#» x

#» y

#» z

#» e

_r

#» e

θ

θ θ

# »

OM = R. #» e _r = R. cos θ. #» x + R. sin θ. #» y et Ω #» _(B

mob

/B ) = ˙ θ. #» e _z

(43)

• Si R est constant

V #» _(M/R ₎ = −R. θ. ˙ sin θ. #» x + R. θ. ˙ cos θ. #» y = R. θ. ˙ #» e _θ

=



 

  d

dt (R. #» e r )



 

 

B

=



 

  d

dt (R. #» e r )



 

 

B

mob

+ #»

Ω _(B

mob

/B) ∧ R. #» e r

= θ. ˙ #» e z ∧ R. e #» r = R. θ. ˙ #» e θ

• Si R n’est pas constant V #» _(M/R ₎ =



 

  d

dt (R(t). #» e r )



 

 

B

mob

+ #» Ω _(B

mob

/B) ∧ R(t). #» e r

= R. ˙ #» e _r + ˙ θ. #» e _z ∧ R. #» e _r

= R. ˙ #» e _r + R. θ. ˙ #» e _θ

(44)

• Si R est constant

V #» _(M/R ₎ = −R. θ. ˙ sin θ. #» x + R. θ. ˙ cos θ. #» y = R. θ. ˙ #» e _θ

=



 

  d

dt (R. #» e r )



 

 

B

=



 

  d

dt (R. #» e r )



 

 

B

mob

+ #»

Ω _(B

mob

/B) ∧ R. #» e r

= θ. ˙ #» e z ∧ R. e #» r = R. θ. ˙ #» e θ

• Si R n’est pas constant V #» _(M/R ₎ =



 

  d

dt (R(t). #» e r )



 

 

B

mob

+ #»

Ω _(B

mob

/B) ∧ R(t). #» e r

= R. ˙ #» e _r + ˙ θ. #» e _z ∧ R. #» e _r

= R. ˙ #» e _r + R. θ. ˙ #» e _θ

(45)

P ROPRIÉTÉ : Le vecteur vitesse est tangent à la trajectoire.

D ÉMONSTRATION : V #» _(M/R ₎ = lim _dt7→0

# »

OM (t + dt) − # » OM(t)

dt = lim _dt7→0

# » M(t)M(t + dt)

dt

Le dernier vecteur limite est tangent à la trajectoire

(46)

Cinématique du point Vecteur accélération d’un point

Vecteur accélération d’un point

D ÉFINITION : Accélération

On appelle accélération de M par rapport à R

#» a

M/R

=



 

  d dt

#»

V

(M/R)



 

 

R

=



 

  d

²

dt

²

# » OM



 

 

R

R EMARQUE :

• L’origine du repère O est importante.

• L’accélération s’exprime de m/s ² .

(47)

Exemple

#» y

O

#» x

R ( t ) • θ(t)

B = ( #» x , #» y , #» z ) B

mob

= ( #» e

r

, #» e

θ

, #» e

z

)

#» x

#» y

#» z

#» e

_r

#» e

θ

θ θ

• Si R est constant

#» a _(M/R ₎ =



 

  d dt

R. θ. ˙ #» e _θ



 

 

B

=



 

  d dt

R. θ. ˙ #» e _θ



 

 

B

mob

+

θ. ˙ #» e

z

z }| #» { Ω _(B

mob

/B) ∧

R. θ. ˙ #» e _θ

= R. ¨ θ. #» e θ − R. θ ˙ ² . #» e r

(48)

• Si R n’est pas constant

#» a

_(M/R₎

=



 

  d dt

R(t ˙ ). #» e

r

+ R(t ). θ. ˙ #» e

θ



 

 

B

=



 

  d dt

R(t ˙ ). #» e

r

+ R(t ). θ. ˙ #» e

θ



 

 

Bmob

+ #» Ω

_(B

mob/B)

∧ R(t). ˙ #» e

r

+ R(t). θ. ˙ #» e

θ

= d R(t) ˙

dt . #» e

r

+ d(R(t ). θ) ˙

dt . #» e

θ

+ ˙ θ. #» e

z

∧ R(t ˙ ). #» e

r

+ R(t ). θ. ˙ #» e

θ

= R(t). ¨ #» e

r

+ h R(t). ˙ θ ˙ + R(t ). ¨ θ i

. #» e

θ

+ ˙ θ. R(t ˙ ). #» e

θ

− R(t ). θ. ˙ #» e

r

⇒

#» a

_(M/R₎

= R ¨ − R. θ ˙

²

. #» e

r

+

R. ¨ θ + 2. R. ˙ θ ˙ . #» e

θ

(49)

• Si R n’est pas constant

#» a

_(M/R₎

=



 

  d dt

R(t ˙ ). #» e

r

+ R(t ). θ. ˙ #» e

θ



 

 

B

=



 

  d dt

R(t ˙ ). #» e

r

+ R(t ). θ. ˙ #» e

θ



 

 

Bmob

+ #» Ω

_(B

mob/B)

∧ R(t). ˙ #» e

r

+ R(t). θ. ˙ #» e

θ

= d R(t) ˙

dt . #» e

r

+ d(R(t ). θ) ˙

dt . #» e

θ

+ ˙ θ. #» e

z

∧ R(t ˙ ). #» e

r

+ R(t ). θ. ˙ #» e

θ

= R(t). ¨ #» e

r

+ h R(t). ˙ θ ˙ + R(t ). ¨ θ i

. #» e

θ

+ ˙ θ. R(t ˙ ). #» e

θ

− R(t ). θ. ˙ #» e

r

⇒

#» a

_(M/R₎

= R ¨ − R. θ ˙

²

. #» e

r

+

R. ¨ θ + 2. R. ˙ θ ˙

. #» e

θ

(50)

• Si R n’est pas constant

#» a

_(M/R₎

=



 

  d dt

R(t ˙ ). #» e

r

+ R(t ). θ. ˙ #» e

θ



 

 

B

=



 

  d dt

R(t ˙ ). #» e

r

+ R(t ). θ. ˙ #» e

θ



 

 

Bmob

+ #» Ω

_(B

mob/B)

∧ R(t). ˙ #» e

r

+ R(t). θ. ˙ #» e

θ

= d R(t) ˙

dt . #» e

r

+ d(R(t ). θ) ˙

dt . #» e

θ

+ ˙ θ. #» e

z

∧ R(t ˙ ). #» e

r

+ R(t ). θ. ˙ #» e

θ

= R(t). ¨ #» e

r

+ h R(t). ˙ θ ˙ + R(t ). ¨ θ i

. #» e

θ

+ ˙ θ. R(t ˙ ). #» e

θ

− R(t ). θ. ˙ #» e

r

⇒

#» a

_(M/R₎

= R ¨ − R. θ ˙

²

. #» e

r

+

R. ¨ θ + 2. R. ˙ θ ˙ . #» e

θ

(51)

• Si R n’est pas constant

#» a

_(M/R₎

=



 

  d dt

R(t ˙ ). #» e

r

+ R(t ). θ. ˙ #» e

θ



 

 

B

=



 

  d dt

R(t ˙ ). #» e

r

+ R(t ). θ. ˙ #» e

θ



 

 

Bmob

+ #» Ω

_(B

mob/B)

∧ R(t). ˙ #» e

r

+ R(t). θ. ˙ #» e

θ

= d R(t) ˙

dt . #» e

r

+ d(R(t ). θ) ˙

dt . #» e

θ

+ ˙ θ. #» e

z

∧ R(t ˙ ). #» e

r

+ R(t ). θ. ˙ #» e

θ

= R(t). ¨ #» e

r

+ h R(t). ˙ θ ˙ + R(t ). ¨ θ i

. #» e

θ

+ ˙ θ. R(t ˙ ). #» e

θ

− R(t ). θ. ˙ #» e

r

⇒

#» a

_(M/R₎

= R ¨ − R. θ ˙

²

. #» e

r

+

R. ¨ θ + 2. R. ˙ θ ˙

. #» e

θ

(52)

Cinématique du solide indéformable

Sommaire

1 Introduction

2 Définition

3 Dérivation vectorielle et vecteur instantané de rotation

4 Cinématique du point

5 Cinématique du solide indéformable Définition

Point lié à un solide

Equiprojectivité du champ de vitesse d’un solide Torseur cinématique

Champ de vecteurs accélérations d’un solide

6 Composition de mouvement

7 Mouvements particuliers

8 Mouvement plan sur plan

(53)

Cinématique du solide indéformable Définition

Définition

D ÉFINITION : Solide indéformable

Un solide indéformable est un ensemble de points animés d’un mouvement de corps rigide.

R APPEL A tout solide indéformable on peut associer un référentiel.

Dans la suite, nous désignerons par solide, un solide indéformable,

l’étude des déformations étant hors programme en CPGE.

(54)

Cinématique du solide indéformable Point lié à un solide

Point lié à un solide

Soit un solide S de repère associé R (O, #» x , #» y , #» z ) . Soit A un point tel que # »

OA = x _A . #» x + y _A . y #» + z _A . #» z . On dit que A est lié à S si et seulement si (x _A , y _A , z _A ) sont constantes. On le note A ∈ S (A appartenant à S).

R EMARQUE : Il faut faire attention à cette notion de point attaché à un solide.

Les deux solides S ₁ et S ₂ sont en contact en I. I ₁ ∈ S ₁ et I ₂ ∈ S ₂ . S ₁ et S ₂ tournent tous les deux autour de l’axe x . A t = 0, I, I ₁ et I ₂ sont confondus. A t > 0, I ne bouge pas, I ₁ et I ₂ bougent.

Avec cette définition, un point peut matérialiser la matière. C’est le "

point matériel ".

(55)

Cinématique du solide indéformable Point lié à un solide

#» x

#» y

#» z

I x

#» x ¹

y #» ₁

#» z 1

I ₁

#» x ²

y #» ₂

#» z 2

I ₂

(56)

Cinématique du solide indéformable Equiprojectivité du champ de vitesse d’un solide

Equiprojectivité du champ de vitesse d’un solide

P ROPRIÉTÉ : Soient A et B deux points liés à un solide S de repère associé R (O, #» x , #» y , #» z ). On a alors

V #» _(B,S/R ₎ . # » AB = #»

V _(A,S/R ₎ . # » AB

Le champ de vitesse des points d’un solide est équiprojectif.

D ÉMONSTRATION :Le solide S étant indéformable, ∀ A, B ∈ S, les co- ordonnées de A et celle de B sont constante au cours du temps dans R .

(57)

− − → AB

= cte

AB. # » AB # » = cte

²

⇒ 2



 

  d dt

AB # »



 

 

R

. AB # » = 0

⇒



 

 



 

  d dt

AO # »



 

 

R

+



 

  d dt

OB # »



 

 

R



 

 

. AB # » = 0

⇒

− V #»

_(A,S/R₎

+ #» V

_(B,S/R₎

. AB # » = 0

(58)

Interprétation géométrique

A

B

#» V ( A , S / R )

#» V

( B , S / R )

(59)

Interprétation géométrique

A

#» V ( A , S / R ) B

#» V

( B , S / R

)

(60)

Interprétation géométrique

A

#» V ( A , S / R ) B

#» V

( B , S / R )

(61)

Interprétation géométrique

A

#» V ( A , S / R ) B

#» V

( B , S / R

)

(62)

Interprétation géométrique

A

#» V ( A , S / R ) B

#» V

( B , S / R )

(63)

Interprétation géométrique

A

#» V ( A , S / R ) B

#» V

( B , S / R

)

(64)

Interprétation géométrique

A

#» V ( A , S / R ) B

#»

V

( B , S / R )

(65)

Cinématique du solide indéformable Torseur cinématique

Torseur cinématique

P ROPRIÉTÉ :

Comme le champ des vitesses d’un solide est équiprojectif, c’est éga- lement un champ de moment. Ainsi, il existe un vecteur qui dépend de S et de R , noté #»

Ω _(S/R ₎ , tel que V #» _(B,S/R ₎ = #»

V _(A,S/R ₎ + # » BA ∧ #»

Ω _(S/R ₎

Ce vecteur est appelé vecteur instantané de rotation de S par rapport à R .

Comme le champ des vitesses d’un solide est un champ de moment, il

est représentable en un point par un torseur.

(66)

Cinématique du solide indéformable Torseur cinématique

D ÉFINITION : Torseur cinématique

Le champ des vecteurs vitesse des points du solide S dans son mouvement par rapport au repère R est représentable, au point A, par le torseur cinématique de S/ R :

R EMARQUES :

• Le torseur cinématique est défini à tout instant

• #»

Ω _(S/R ₎ est appelé la résultante du torseur

• #»

V _(M,S/R ₎ est appelé le moment du torseur en M

(67)

Cinématique du solide indéformable Champ de vecteurs accélérations d’un solide

Champ de vecteurs accélérations d’un solide

P

ROPRIÉTÉ

:

Soient A et B deux points d’un solide S.

A #»

_(B,S/R)

= #»

A

_(A,S/R)

+ # » BA ∧



 

  d dt

#»

Ω

_(S/_R₎



 

 

R

+ #»

Ω

_(S/_R₎

∧ #»

Ω

_(S/_R₎

∧ # » AB

D ÉMONSTRATION : A #»

_(B,S/R)

=



 

  d dt

#»

V

_(B,S/_R₎



 

 

R

=



 

  d dt

#»

V

_(A,S/_R₎

+ # » BA ∧ #»

Ω

_(S/R)



 

 

R

=



 

  d dt

#»

V

_(A,S/_R₎



 

 

R

+



 

  d dt

# » BA



 

 

R

∧ #»

Ω

_(S/R₎

+ # » BA ∧



 

  d dt

#»

Ω

_(S/_R₎



 

 

R

= #»

A

(A,S/R)

+ #»

Ω

_(S/_R₎

∧ # » BA

∧ #»

Ω

_(S/_R₎

+ # » BA ∧



 

  d dt

#»

Ω

_(S/_R₎



 

 

R

C ONSÉQUENCE

(68)

Composition de mouvement

Sommaire

1 Introduction

2 Définition

3 Dérivation vectorielle et vecteur instantané de rotation

4 Cinématique du point

5 Cinématique du solide indéformable

6 Composition de mouvement

Composition des vitesses pour le point Composition des vitesses pour le solide Vitesse de glissement

Définition d’un repère par rapport à un autre repère

7 Mouvements particuliers

8 Mouvement plan sur plan

(69)

Composition de mouvement

#» z ₀

#» y ₀ O ₀

#» x 0

R 0

#» z 1 #» y 1

O ₁

#» x 1

R 1

x M

(70)

Composition de mouvement Composition des vitesses pour le point

Composition des vitesses pour le point

P ROPRIÉTÉ :Soient R 0 et R 1 deux référentiels et A un point. Alors V #» _(A/R