CI-3 : Prévoir et vériﬁer les performances dynamiques et énergétiques des systèmes.

(1)

CI-3 : Prévoir et vérifier les performances dynamiques et énergétiques des systèmes.

CI-3-1 Etablir les équations dynamiques et énergétiques

LYCÉECARNOT(DIJON), 2020 - 2021

Germain Gondor

(2)

Sommaire

1 Cinétique

Masses et centre de masse Théorèmes de Guldin

Opérateur d’inertie d’un solideS Torseur cinétique

Torseur dynamique Énergie cinétique

Éléments cinétiques d’un ensemble

2 Puissance

3 Principe fondamental de la dynamique

4 Notion de rendement

5 Équilibrage dynamique

(3)

Masses et centre de masse

DÉFINITION: Point matériel

Un point matériel M est un point de l’espace euclidien affecté d’une masse m

Masse d’un système matériel linéiqueΓ La massemd’un système matériel linéiqueΓest

m= Z

Γ

µ(M).dl

avecdl, l’abscisse curviligne élémentaire enM et µ(M), la masse linéique enM. Le centre de gravitéGest défini par

m# » AG=

Z

Γ

µ(M).AM.dl# »

(4)

Masse d’un système matériel surfaciqueA La massemd’un système matériel surfaciqueAest

m=

"

A

µ_S(M).dS

avecdS, la surface élémentaire enMetµ_S(M), la masse surfacique enM. Le centre de gravitéGest défini par

m.# » AG=

"

A

µ_S(M).AM.dS# »

Masse d’un système matériel volumiqueΣ

m_Σ=

$

M∈Σ

ρ(M).dV

avecdV, le volume élémentaire en M etρ(M), la masse volumique enM

(Σ) × M

(5)

Centre de gravité (de masse, d’inertie)

Le centre de gravitéGest défini par

$

M∈Σ

# »

GM.dm= #»

0 ainsi

$

M∈Σ

# »

GM.dm= #»

0 ⇒ m_Σ.# » OG=

$

M∈Σ

# » OM.dm

DÉMONSTRATION:

$

M∈Σ

# »

GM.dm=#»

0 ⇔

$

M∈Σ

# » GO+# »

OM

.dm = 0

$

M∈Σ

# »

OGρ(M)dV =

$

M∈Σ

# » OM.dm $

M∈Σ

ρ(M)dV

!# » OG =

$

M∈Σ

# » OM.dm m_Σ# »

OG =

$

M∈Σ

# » OM.dm

REMARQUE: siΣest un solide indéformableS, alorsGest fixe dans tout repère lié àS.

(6)

Principe de conservation de la masse

Σest à masse conservative⇔ ∀t₁et∀t₂,m(Σ,t₁) =m(Σ,t₂).

Conséquence: soient E un ensemble matériel fermé en mouvement par rapport à un repère R et #»

f(M,t) un champ de vecteurs défini en tout point M de Σ, continûment différentiable par rapport àt (vitesse, accélération...), le principe de conservation de la masse permet d’écrire:

"

d dt

$

M∈Σ

#»f (M,t).dm

#

R

=

$

M∈Σ

"

d dt

#»f(M,t)

#

R

.dm

(7)

Théorèmes de Guldin

Premier théorème

Supposons données, dans un plan de l’espace affine euclidien, une courbe paramétréeΓet une droite∆qui ne se coupent pas.

THÉORÈME

L’aire Ade la surface de révolution engendrée par la rotation deΓau- tour de ∆est égale au produit de la longueur Lde la courbeΓ et de la longueur du cercle engendré par la rotation autour de ∆ du centre d’inertieGde la courbeΓ.

A=2.π.y_g.L

Premier théorème de Guldin

(8)

Théorèmes de Guldin

Second théorème

Supposons donnés, dans un plan de l’espace affine euclidien, un domaineδlimité par une courbe paramétrée ferméeΓet une droite∆ qui ne coupe pas le domaine.

THÉORÈME

Le volumeV du domaine tridimen- sionnel de révolution engendrée par la rotation deΓautour de δest égal au produit de l’aire A du domaine plan δet de la longueur du cercle engendré par la rotation autour de∆ du centre d’inertieG du domaine planδ.

V =2.π.y_g.A

Deuxième théorème de Guldin

(9)

Moments d’inertie d’un solide S

∆

#»u

H d(M) M

.dm (S)

• par rapport à un axe∆

H= projection orthogonale deM ∈Ssur∆ = (O,#»u) I(S,∆) =

$

M∈S

# » MH².dm=

$

M∈S

d(M)².dm=I_O^#»_u(S) d = distance deM à l’axe∆. L’unité est alors le kg.m²

IA(S) =

$ # »

AM².dm

(10)

Moments d’inertie d’un solide S

Soit M de coordonnéesx,y,z dans le repère(O,#»x,#»y,#»z).

I_O(S) =

$

M∈S

(x²+y²+z²).dm I_Ox(S) =

$

M∈S

(y²+z²).dm

(11)

Cylindre de révolution de rayon R, de hauteur h et de masse m.

O

#»z

#»y

#»x

h r

R

I_Oz =

$

M∈S

(x²+y²).dm ⇒ coordonnées polaires

=

$

M∈S

r².dm

avec.dm(M) =ρ(M)dV(M) =ρ.r.dr.dθ.dz

= ρ.2.π.h.Z R

0

r³dr

IOz=π.h.R⁴

2 .ρ or m=ρ.π.R².h I_Oz =m.R²

2

(12)

O

#»z

#»y

#»x R

EXEMPLE : Sphère de rayon R, de masse m par rapport à son centreO puis par rapport à un diamètre∆quelconque.

IO =

$

M∈S

r².dmavec.dm(M) =ρ(M)dV(M) =ρ.4.π.r².dr

= ρ.4.π.Z

S

r⁴.dr=ρ.4.π.R⁵ 5 =3

5.m.R² IO=3 5.m.R² commeI_∆=I_Ox =I_Oy =I_Ozpar symétrie,

3.I∆=IOx+IOy+IOz =

$

M∈S

2.(x²+y²+z²).dm=2.IOd’où

I_∆=2 5.m.R²

(13)

Théorème de Huygens

Soit un axe(G,#»u)passant par le centre de gravitéGd’un solideS et un axe parallèle de distanced passant par le pointA.

I_Au(S) =I_Gu(S) +md²

∆

#»u

G× K H (S)

d #»v M×

×A

(14)

Théorème de Huygens

I_Au(S) =

$

M∈S

# » HM².dm=

$

M∈S

# » HK+# »

KM2

.dm

=

$

M∈S

# » HK².dm+

$

M∈S

# » KM².dm+

$

M∈S

2# » HK.# »

KM .dm

= m.d²+IGu(S) +

2.

$

M∈S

# » HK.# »

KG .dm+

$

M∈S

2.# » HK.# »

GM .dm

| {z } 2.d.#»v.

$

M∈S

# » GM.dm

| {z }

#»0

(15)

Tenseur d’inertie (Matrice d’inertie d’un solide S en O dans un repère R)

Construction de l’opérateur

Soit une application linéaireI(O,S)deR³7→R³qui à #»

U associe:

U#»7→I(O,S)#»

U=

$

M∈S

# » OM ∧#»

U∧# » OM

.dm

Soient le point#» M∈S de coordonnées(x,y,z)dansR et U=ux.#»x +uy.#»y +uz.#»z:

(16)

I(O,S)h#»

Ui

=

$

S

# » OM∧#»

U∧# » OM

.dm

=

$

S

x y z

∧







ux

uy

uz

∧

x y z





 .dm

=

$

S

x y z

∧

z.uy−y.uz

x.uz−z.ux

y.ux−x.uy

.dm

=

$

S

y(y.ux−x.uy)−z(x.uz−z.ux) z(z.uy−y.uz)−x(y.ux−z.uy) x(x.uz−z.ux)−y(z.uy−z.uz)

.dm

=

$

S







y²+z² −x.y −x.z

−y.x z²+x² −y.z

−z.x −z.y x²+y²





 .dm.

ux

uy

uz

(17)

alors

I(O,S)=







IOx −POxy −POxz

−POxy IOy −POyz

−POxz −POyz IOz







R

=







A −F −E

−F B −D

−E −D C







R

avec:

• le produit d’inertiepar rapport au planO_xy P_Oxy(S) =

$

S

x.y.dm

• le moment d’inertiepar rapport à l’axe(O,#»x) I_Ox(S) =

$

S

(y²+z²).dm

(18)

Cinétique Opérateur d’inertie d’un solideS

Trièdre principal d’inertie

On montre que le moment d’inertie du solideS par rapport à un axe (O,#»u)s’écrit :

I_Ou(S) = #»u.I(O,S) [#»u]

et P_Ouv(S) = #»u.I(O,S) [#»v]

un repère orthonorméR⁰. Ce repère est appelé repère principal d’inertie et les 3 axes, directions principales d’inertie. Les moments d’inertieA⁰, B⁰etC⁰ sont les moments principaux d’inertie deSenO.

(19)

Trièdre principal d’inertie

On montre que le moment d’inertie du solideS par rapport à un axe (O,#»u)s’écrit :

I_Ou(S) = #»u.I(O,S) [#»u]

et P_Ouv(S) = #»u.I(O,S) [#»v] Le tenseur d’inertie étant symétrique et réel, il est diagonalisable dans un repère orthonorméR⁰. Ce repère est appelé repère principal d’inertie et les 3 axes, directions principales d’inertie. Les moments d’inertieA⁰, B⁰etC⁰ sont les moments principaux d’inertie deSenO.

(20)

Propriétés de la matrice d’inertie

Un plan de symétrie

Si un solide possède un plan de symétrie (par exemple, le plan O_xy), alors les produits d’inertie P_Oxz etP_Oyz sont nuls La matrice a alors la forme suivante:

×

#»z

#»y

#»x

I(O,S)=







A −F 0

−F B 0

0 0 C







(O,#»x,#»y,#»z)

l’axe perpendiculaire à ce plan (iciz) est principal d’inertie.

(21)

Propriétés de la matrice d’inertie

Deux plans de symétrie

Si un solide possède deux plans de symétrie, ces plans sont néces- sairement orthogonaux. Dans le repère formé des axes associés à ces plans, la matrice associée à l’opérateur d’inertie est diagonale. Ce re- père est donc principal d’inertie.

I(O,S)=







A 0 0

0 B 0

0 0 C







(O,#»x,#»y,#»z)

(22)

Propriétés de la matrice d’inertie

Un axe de révolution

Si l’axe (O,#»z) est un axe de révolution (Attention: pas un axe de sy- métrie!), alors les moments d’inertie I_Ox etI_Oy sont égaux et les trois produits d’inertie sont nuls. la matrice d’inertie a l’allure ci-contre.

I(O,S)=







A 0 0

0 A 0

0 0 C







(O,−,−,#»z)

Par axisymétrie,x ety jouent le même rôle. ce qui donne:

$

S

x².dm=

$

S

y².dm

A=B= 1 2C+

$

S

z².dm

(23)

E

XEMPLE

:

#»z

#»y

#»x h

R

×O G×

Matrice d’inertie enG du cylindre de massem, de rayon R et hauteur h, d’axe(G,#»z):

I(G,S) =





 m.

R² 4 + h²

12

0 0

0 m.

R² 4 + h²

12

0

0 0 m.

R² 2







(G,−,−,#»z)

(24)

#»z

#»y

#»x b

a c

O

× G

Matrice d’inertie enGd’un parallélépipède de massem, de côtésasur x,bsury etc surz :

I(G,S) =







m.b²+c²

12 0 0

0 m.a²+c²

12 0

0 0 m.a²+b²

12







(G,#»x,#»y,#»z)

(25)

Théorème de Huygens

Ce théorème donne la relation entre I(G,S), matrice d’inertie du solide S au centre de gravité G, et I(P,S), matrice d’inertie en un point P quelconque tel que # »

PG=x.#»x +y.#»y +z.#»z:

I(P,S)=I(G,S)+







m.(y²+z²) −m.x.y −m.x.z

−m.x.y m.(x²+z²) −m.y.z

−m.x.z −m.y.z m.(x²+y²)







(#»x,#»y,#»z)

Donc, la matrice d’inertie en un point quelconque P est la somme de la matrice d’inertie exprimée en G et de la matrice d’inertie en G "du point P affecté de la masse totale".

(26)

exemple

#»z

#»y

#»x h

R

×O G×

Matrice d’inertie enO du cylindre de massem, de rayon R et hauteur h, d’axe(O,#»z)avec # »

OG= h 2#»z:

I(O,S)=





 m.

R² 4 +h²

3

0 0

0 m.

R² 4 +h²

3

0

0 0 m.

R² 2







(O,−,−,#»z)

(27)

#»z

#»y

#»x b

a

c

O

×G

Matrice d’inertie enOd’un parallélépipède de massem, de côtésasur x,bsury etc surz avec # »

OG =−a 2.#»x +b

2.#»y +c 2.#»z:

I(O,S)=







m.b²+c²

3 m.ab

4 m.ac

4 m.ab

4 m.a²+c²

3 −m.bc

4 m.ac

4 m.bc

4 m.a²+b² 3







(O,#»x,#»y,#»z)

(28)

Torseur cinétique

On appelle torseur cinétique (ou torseur des quantités de mouvement) d’un système matérielΣpar rapport au repèreR, le torseur défini par:

CΣ/R=

A

( #»p_(Σ/R) σ#»_(A,Σ/R)

)

avec pour:

• résultante cinétiqueou quantité de mouvement deΣpar rapport àR

#»p_(Σ/R)=

$

M∈Σ

V#»_(M/R).dm

• moment cinétique en AdeΣpar rapport àR σ#»_(A,Σ/R)=

$

M∈Σ

# » AM∧#»

V_(M/R).dm

(29)

Conservation de la masse et quantité de mouvement

D’après le principe de conservation de la masse

#»p_(Σ/R)=m.#»

V_(G/R)

DÉMONSTRATION :

#»p_(Σ/R) =

$

M∈Σ

V#»_(M/R).dm

=

$

M∈Σ

"

d dt

# » OM

#

R

.dm

=

"

d dt

$

M∈Σ

# » OM.dm

#

R

par conservation de la masse

=

"

d dtm.# »

OG

#

R

=m.#»

V_(G/R)

(30)

Moment cinétique et champs équiprojectifs

Relation entre les moments cinétiques en deux pointsAetBd’un même systèmeΣ:

#»σ_(B,Σ/R)= σ#»_(A,Σ/R)+# » BA∧m.#»

V_(G/R)

(31)

Cas du solide indéformable S

σ#»_(A,S/R) =

$

S

# » AM∧#»

V_(M,S/R).dm

=

$

S

# » AM∧#»

V_(A,S/R)+#»

Ω_(S/_R₎∧# » AM

.dm

= $

S

# » AM.dm!

∧#»

V_(A,S/R)+

$

S

# » AM∧#»

Ω_(S/R₎∧# » AM

.dm

= m.# » AG∧#»

V_(A,S/R)+I(A,S)h#»Ω_(S/R₎i

⇒

CS/R =

A











m.#»

V_(G,S/_R₎ m.# »

AG∧#»

V_(A,S/R)+I(A,S) #»

Ω_(S/

R)











(32)

CS/R =

A











m.#»

V_(G,S/R₎ m.# »

AG∧#»

V_(A,S/R)+I(A,S) #»

Ω_(S/R₎











Cas particuliers

• AenG

σ#»_(G,S/R)=I(G,S)h#»

Ω_(S/R₎i

• Afixe dansR

#»σ_(A,S/R)=I(A,S)h#»

Ω_(S/R₎i

(33)

Torseur dynamique

On appelle torseur dynamique (ou torseur des quantités

d’accélération) d’un système matérielΣpar rapport au repèreR, le torseur défini par:

DΣ/R =

A

( #»γ_(Σ/R₎

#»δ_(A,Σ/R₎ )

• résultante dynamiquedeΣpar rapport àR

#»γ_(Σ/R₎=

$

M∈Σ

#»A_(M/R).dm

• moment dynamiqueen A deΣpar rapport àR

#»δ_(A,Σ/R₎=

$

M∈Σ

# » AM∧#»

A_(M/R).dm

(34)

Conservation de la masse et résultante dynamique

D’après le principe de conservation de la masse

#»γ_(Σ/R) =m.#»

A_(G/R) DÉMONSTRATION:

#»γ_(Σ/R) =

$

M∈Σ

#»A(M/R).dm

=

$

M∈Σ

"

d dt

V#»(M/R)

#

R

.dm=

"

d dt

$

M∈Σ

V#»(M/R).dm

#

R

=





 d dt

$

M∈Σ

"

d dt

# » OM

#

R

.dm







R

= d² dt²

"$

M∈Σ

# » OM.dm

#

R

= d² dt²

hm.# » OGi

R=m.#»

A_(G/R)

#»γ(Σ/R)=

"

d dt

#»p(Σ/R)

#

R

La résultante dynamique est la dérivée par rapport au temps de le résultante cinétique

(35)

Moment dynamique et champs équiprojectifs

Relation entre les moments dynamiques en deux pointsAetB d’un même systèmeΣindéformable:

#»δ_(B,Σ/R)= #»δ_(A,Σ/R)+# » BA∧m.#»

A_(G/R)

DÉMONSTRATION :

#»δ_(B,Σ/R) =

$

M∈Σ

# » BM∧#»

A_(M/R).dm

=

$

M∈Σ

# » BA∧#»

A_(M/R).dm+

$

M∈Σ

# » AM∧#»

A_(M/R).dm

= # » BA∧

$

M∈Σ

#»A_(M/R).dm

| {z } m.#»

A_(G/R)

+#»δ_(A,Σ/R)

(36)

Relation entre moment cinétique et moment dynamique

#»δ_(A,Σ/R₎ =

"

d dt

σ#»_(A,Σ/R₎

#

R

+m.#»

V_(A/R₎∧ #»

V_(G/R₎

"

d dt

#»σ(A,Σ/R)

#

R

=

"

d dt

$

M∈Σ

# » AM∧#»

V(M/R).dm

#

R

=

$

M∈Σ

"

d dt

# » AM∧#»

V(M/R)

#

R

.dm

=

$

M∈Σ

"

d dt

# » AM

#

R

∧#»

V(M/R)+# » AM∧

"

d dt

V#»(M/R)

#

R

.dm

=

$

M∈Σ

(#»

V(M/R)−#»

V(A/R))∧#»

V(M/R).dm. . . . . .+

$

M∈Σ

# » AM∧#»

A(M/R).dm

= −#»

V(A/R)∧

$

M∈Σ

V#»(M/R).dm+#»δ(A,Σ/R)

= −#»

V(A/R)∧ m.#»

V(G/R)

+#»δ(A,Σ/R)

(37)

Cas particuliers

• AenG

#»δ_(G,Σ/R₎=

"

d dt

σ#»_(G,Σ/R₎

#

R

• SolideΣen translation

#»δ_(G,Σ/R₎= #»

0

• Afixe dansR

#»δ_(A,Σ/R₎=

"

d dt

σ#»_(A,Σ/R₎

#

R

(38)

Projection du moment dynamique sur un axe

Il arrive fréquemment dans les problèmes de mécanique que l’on n’ait pas besoin de l’expression complète du moment dynamique, mais seulement de sa projection sur un axe #»u:

#»δ_(A,Σ/R₎.#»u = d

dtσ#»_(A,Σ/R₎

R .#»u +#»u. m.#»

V_(A/R₎∧#»

V_(G/R₎

= dσ#»_(A,Σ/R₎.#»u

dt − #»σ_(A,Σ/R₎. d dt#»u

R . . . . . .+ #»u.

m.#»

V_(A/R₎∧#»

V_(G/R₎

(39)

Énergie cinétique

Définition

L’énergie cinétique d’un systèmeΣdans son mouvement par rapport à un repèreR est définie par:

E_c(Σ/R) = 1 2

$

M∈Σ

h#»

V_(M/R₎i2

.dm Son unité est le Joule (J).

L’unité est le Joule J.

(40)

Cas du solide indéformable S

2.Ec(S/R) =

$

M∈S

h#»

V_(G,S/R₎+# » MG∧#»

Ω(S/R)

i2

.dm

=

$

M∈S

h#»

V_(G,S/R₎i2

.dm+

$

M∈S

h# » MG∧#»

Ω(S/R)

i2

.dm. . . . . .+2

$

M∈S

V#»_(G,S/R₎.h# » MG∧#»

Ω(S/R)

i.dm

or # »

MG∧#»

Ω(S/R)

| {z }

#»a

.







# » MG

|{z}#»b

∧#»

Ω_(S/R₎

| {z }

#»c







=#»

Ω_(S/R₎

| {z }

#»c

.













# » MG∧#»

Ω(S/R)

| {z }

#»a







∧ # » MG

|{z}#»b







2.E_c(S/R) = m.h#»

V_(G,S/R₎i2

+#»

Ω_(S/R₎.

$

M∈S

# » GM∧#»

Ω(S/R)∧# » GM.dm. . . . . .+2.#»

V_(G,S/R₎.#»

Ω_(S/R₎∧

$

M∈S

# » GM.dm

E_c(S/R) = 1 2.m.h#»

V_(G,S/R₎i2

+1 2.#»

Ω_(S/R₎.I(G,S)h#»

Ω_(S/R₎i Formule vraie seulement enG

(41)

Cas particuliers:

• mouvement d’un solideS autour d’un point fixeAdeR: E_c(S/R) = 1

2.#»

Ω_(S/R₎.I(A,S)h#»

Ω_(S/R₎i

• mouvement d’un solideS autour d’un axe fixe(A,#»x)deR avec Ω#»_(S/R₎=ω.#»x:

E_c(S/R) = 1

2.IAx(S).ω²

(42)

Éléments cinétiques d’un ensemble

Les éléments cinétiques d’un ensembleΣdensolidesSi en mouvement par rapport àR sont:

CΣ/R = Pn i=1CSi/R

DΣ/R = Pn i=1DSi/R

E_c(Σ/R) = Pn

i=1E_c(Si/R)

Pour les torseurs, attention de calculer les moments au même point pour tous les solides.

(43)

Sommaire

1 Cinétique

2 Puissance

Puissance des efforts extérieurs Cas particulier du solide indéformable

Puissance des efforts intérieurs à un système de solides indéformables Liaison parfaite entre deux solides

3 Principe fondamental de la dynamique

(44)

Puissance des efforts extérieurs à un système

matériel Σ en mouvement par rapport à un repère R

Soit un champ de forces # »

dF(M)agissant sur chaque pointM d’un systèmeΣ.

EXEMPLE :

• pesanteur: # »

dF(M) =ρ(M).dV.#»g

• champ de pression dans un fluide: # »

dF(M) =−p(M).#»n(M).dS

• champ des forces de contact entre 2 solides:# » dF(M) =−p(M).#»n(M).dS+fp(M).#»

t(M).dS

La puissance développée, à l’instantt, par l’action des efforts extérieurs surΣ, dans le mouvement deΣ/R est:

P_(Ext→Σ/R₎=

$

M∈Σ

V#»_(M/R₎.# » dF(M)

(45)

Cas particulier du solide indéformable

V#»_(M,S/R₎ = #»

V_(A,S/R₎+# » MA∧#»

Ω_(S/R₎ P_(Ext→S/R₎ =

$

M∈S

dF# »(M).#»

V_(A,S/R₎+

$

M∈S

dF# »(M).h#»

Ω_(S/R₎∧# » AMi

= #»

V_(A,S/R₎.

$

M∈S

dF# »(M) +#»

Ω_(S/R₎.

$

M∈S

# » AM∧# »

dF(M) or le torseur associé aux efforts extérieurs àSenAs’écrit:

F_Ext→S =

A











$

M∈S

dF# »(M)

$

M∈S

# » AM∧ # »

dF(M)











=

A











R#»_(Ext→S) M#»_(A,Ext→S)











doncP_(Ext→S/R)= #»

V_(A,S/R₎.#»

R_(Ext→S)+#»

Ω_(S/R).#»

M_(A,Ext_→S)

(46)

La puissance développée par les actions mécaniques extérieures à un solide S en mouvement par rapport à un référentiel R est égale au produit (comoment) du torseur cinématique de S/R par le torseur des actions mécaniques extérieures.

P_(Ext_→S/R₎=F_Ext_→S⊗V_S/R

REMARQUE: Le comoment ne dépend pas du point choisi pour le calcul des deux torseurs (qui doit bien sûr être le même pour les deux !) mais du repèreR.

A









 X L Y M Z N









R

⊗

A











ω_x V_x ω_y V_y ω_z Vz









R

=X.V_x+Y.V_y +Z.V_z+L.ω_x+M.ω_y+N.ω_z

(47)

Puissance indéformables

Puissance des efforts intérieurs à un système de solides indéformables

Soient 2 solides S1 etS2 en liaison à l’intérieur d’un système. On parle aussi de la puissance(P(S₂↔S₁/R)) des inter-efforts de liaison pour la puissancePint(S2,S1)des efforts intérieurs .

La puissancePint(S2,S1)développée par les efforts de liaison entre les 2 solides est de la forme:

P_(S₂_↔S₁/R) = P_(S₂_→S₁/R)+P_(S₁_→S₂/R)

= F_S₂_→S₁⊗VS₁/R +F_S₁_→S₂⊗VS₂/R

= F_S₂_→S₁⊗h

VS₁/R −VS₂/R

i

d’où Pint(S2,S1) =P(S₂↔S₁/R)=−F_S

2→S₁⊗VS₂/S₁

Cette puissance est indépendante du repèreR par rapport auquel elle est calculée.

(48)

Liaison parfaite entre deux solides

Deux solides S₁etS₂ont une liaison parfaite si, quel que soit le mouvement autorisé par la liaison, la puissance développée par les actions mutuelles entreS₁etS₂est nulle (pas de frottement)

P_int(S₁,S₂) =0

APPLICATION:retrouver les torseurs des actions mécaniques pour les liaisons normalisées.

(49)

• pivot glissant d’axe(O,#»x): V_S₁_/S₂ =

O











ω V

0 0 0 0









R

F_S

1→S2 =

O









 X L Y M Z N









R

P_int(S₁,S₂) =0⇒ ∀ω,∀V,L.ω+X.V =0⇔X =L=0

d’où F_S

2→S1 =

O











0 0

Y M Z N









R

(50)

• glissière hélicoïdale d’axe(O,#»x): V_S

1/S2 =

O











ω p

0 2πω0

0 0











R

F_S₁_→S₂ =

O









 X L Y M Z N









R

P_int(S₁,S₂) =0⇒ ∀ω,L.ω+X. p

2π.ω=0

⇔L=− p

2π.X d’oùF_S₂_→S₁ =

O











X − p 2π.X

Y M

Z N











R

(51)

Sommaire

1 Cinétique

2 Puissance

3 Principe fondamental de la dynamique Référentiels galiléens

Énoncé

Équations de mouvement Théorème de l’énergie cinétique

(52)

Référentiels galiléens

Principe de l’inertie

Il existe un repère privilégié dans lequel un point matériel qui serait soustrait à toute influence (actions mécaniques) aurait une accélération nulle. Ce repère est ditgaliléenou absolu.

référentiel = repère à 3 dimensions (longueur en mètre) + chro- nologie (temps en seconde)

(53)

Référentiels galiléens

Relativité galiléenne

On remarque que s’il existe un repère galiléen, alors il en existe une infinité, qui se déduisent du premier par des mouvements d’accélé- ration nulle (mouvement de translation uniforme). Tous ces repères conviennent dont pour exprimer les lois de la mécanique classique.

(54)

Référentiels galiléens

Espaces galiléens approchés

• repère héliocentrique de Copernic:(centre d’inertie du système solaire + 3 directions stellaires)mapstoétude des fusées et satellites interplanétaires.

• repère géocentrique:lié au centre d’inertie de la terre + 3 directions stellaires7→étude du mouvement des corps restant au voisinage de la terre ou expériences de longue durée.

• repère terrestre:lié à la terre7→mécanismes étudiés en laboratoire

On montre que tout repèreR en translation rectiligne uniforme par rapport à un référentiel galiléenRg est aussi galiléen.

(55)

Énoncé du principe fondamental de la dynamique

Il existe au moins un référentiel galiléen tel que, pour tout ensemble matérielΣ, le torseur dynamique deΣdans cet espace est

constamment égal au torseur des efforts extérieurs appliqués àΣ:

DΣ/Rg =F_Ext→Σ

(56)

Principe fondamental de la dynamique Énoncé

Théorème de la résultante dynamique m_Σ.#»

A_(G/R_g₎= #»

R_(Ext→Σ)

Théorème du moment dynamique

δ_(A,Σ/R_g₎ =M_(A,Ext→Σ)

REMARQUE: En prenantAen un pointfixedeRg ou au centre d’inertieGdeΣ, le moment dynamique est égal à la dérivée du moment cinétique d’où les théorèmes du moment cinétique:

d dt

hσ#»_(A,Σ/R_g₎i

Rg = #»

M_(A,Ext_→Σ)

d dt

hσ#»_(G,Σ/R_g₎i

Rg = #»

M_(G,Ext_→Σ)

(57)

Principe fondamental de la dynamique Énoncé

A_(G/R_g₎= #»

R_(Ext→Σ)

#»δ_(A,Σ/R_g₎= #»

M_(A,Ext→Σ)

Rg

d’inertieGdeΣ, le moment dynamique est égal à la dérivée du moment cinétique d’où les théorèmes du moment cinétique:

d dt

hσ#»_(A,Σ/R_g₎i

Rg = #»

M_(A,Ext_→Σ)

d dt

hσ#»_(G,Σ/R_g₎i

Rg = #»

M_(G,Ext_→Σ)

(58)

A_(G/R_g₎= #»

R_(Ext→Σ)

#»δ_(A,Σ/R_g₎= #»

M_(A,Ext→Σ)

REMARQUE: En prenantAen un pointfixedeRg ou au centre d’inertieGdeΣ, le moment dynamique est égal à la dérivée du moment cinétique d’où les théorèmes du moment cinétique:

d dt

h#»σ_(A,Σ/R_g₎i

Rg = #»

M_(A,Ext→Σ)

d dt

h#»σ_(G,Σ/R_g₎i

Rg = #»

M_(G,Ext_→Σ)

(59)

Équations de mouvement

En appliquant ces théorèmes, on obtient des relations entre les paramètres de position du système, leurs dérivées 1ères et 2^ndeset les efforts s’exerçant surΣ.

DÉFINITION: Équation du mouvement

Équation différentielle du 2^ndordre traduisant les théorèmes généraux, dans laquelle ne figure aucune composante inconnue d’action méca- nique.

(60)

Théorème de l’énergie cinétique

Cas du solide uniqueS

Soit un unique solideSen mouvement par rapport à un référentiel galiléenRg:

DS/Rg =F_Ext_→S

En multipliant cette expression par le torseur cinématique, on obtient la puissance galiléenne des efforts extérieurs àS:

DS/Rg ⊗V_S/R_g =F_Ext_→S⊗V_S/R_g =P_(Ext_→S/R_g₎