UFR Sciences et Techniques Année 2007-2008 Master 1 de Mathématiques L3 Statistiques Feuille de TD n

UFR Sciences et Techniques Année 2007-2008 Master 1 de Mathématiques L3 Statistiques

Feuille de TD n^o1

Simulation d’une loi de probabilité

Exercice 1

1) Démontrer que le 13-échantillon : 0 1 1 2 2 1 2 2 0 0 1 2 0, obtenu au paragraphe 2.6. du cours est bien un 13-échantillon observé de la loi discrète

i 0 1 2 3

P(X=i) 1/8 3/8 3/8 1/8

2) Même question concernant l’échantillon0 1 1 1 2 1 2 3 2 2 2 1 2 2 1obtenu par la deuxième méthode.

Exercice 2

1) Soit U une variable aléatoire de loi uniforme sur [0,1]. Trouver la loi de X =−lnU (on remarquera que X est à valeurs positives).

2) En déduire une procédure pour réaliser un n-échantillon de la loi exponentielle de para- mètre λ >0à partir d’un générateur de la loi uniforme sur [0,1].

Exercice 3

1) Soient E et Θ deux variables aléatoires indépendantes et de loi respectives la loi expo- nentielle de paramètre ¹₂ et la loi uniforme sur [0,2π]. Montrer que les variables aléatoires définies par

X =√

Ecos Θ et Y =√

Esin Θ,

sont deux variables aléatoires indépendantes et de même loi normale N(0,1). (indication : calculer la loi du couple (X, Y)).

2) En déduire comment à partir de 2 variables aléatoires indépendantesU etV de loi uniforme sur[0,1], on peut obtenir 2 variables aléatoires normalesN(0,1) indépendantes.

3) Utiliser une table de nombres au hasard pour simuler un 10-échantillon issu de la loi N(0,1).

Remarque : La méthode précédente (algorithme de Box et Müller) est utilisée dans les logiciels informatique comme générateur de la loiN(0,1).

Exercice 4

Dans un pile ou face on appelle «série», toute suite maximale de piles consécutifs ou de faces consécutifs. Par exemple si on joue 20 fois à pile ou face et qu’on obtient :

00011100110111001100,

on observe 9 séries c’est à dire 9 blocs formés d’un même chiffre (5 séries constituées de 0 (face) et 4 séries constituées de 1(pile)).

On effectue n lancers et soient X₁, X₂,...,X_n les résultats obtenus. On suppose les X_k i.i.d.

et de loi donnée telle que P(X_k = 1) =P(X_k = 0) = 1/2 (i.e. la pièce est équilibrée). SoitN la variable aléatoire nombre de séries dans la suiteX₁, X₂,...,X_n des n lancers.

Pour i= 2,3, . . . , n, on considère la variable indicatrice

Y_i =1_[Xi−16=X_i],

qui prend la valeur 1 siXi−1 6=X_i et 0 siXi−1 =X_i. 1) Vérifier que

N = 1 +Y₁+Y₂+· · ·+Y_n. 2) Démontrer que E(N) = 1 + ⁿ⁻¹₂ et V ar(N) = ⁿ⁻¹₄ .

3) 0n lance 20 fois une pièce supposée équilibrée et on obtient :

11111000001111100000.

En utilisant l’inégalité de Bienaymé-Tchebichev, montrer que ce résultat fait suspecter que la pièce est truquée. Monter qu’il en est de même si on obtient le résultat

10101010101010101010.

4) Si la pièce est telle que P(X_k = 1) = p et P(X_k = 0) = q = 1 − p, montrer que E(N) = 1 + 2(n−1)pq et V ar(N) = 2pq[2n−3−2pq(3n−5)].