Déterminer tous les entiersn, 1<n62021, tels que la moyenne arithmétique et l’écart-type de toute suite denentiers consécutifs positifs sont des entiers

A4930. Des écarts-types en Diophantie **

Déterminer tous les entiersn, 1<n62021, tels que la moyenne arithmétique et l’écart-type de toute suite denentiers consécutifs positifs sont des entiers.

Solution de Claude Felloneau

Les entiersnqui conviennent sont 7, 97 et 1351.

Pourn>2, la somme denentiers consécutifs dont le premieraestna+n(n+1)

2 et leur moyenne est donca+n+1

2 . C’est un entier si et seulement sinest impair.

Pourn=2p+1 avecp>1, la suite denentiers consécutifs de moyennem∈Nest m−p,m−(p−1), ...,m−1,m,m+1, ...,m+p.

Son écart typeσest tel queσ²=2 n

p

X

k=1

k²= 2 n

p(p+1)(2p+1)

6 =p(p+1)

3 soit 3σ²=p(p+1).

Commepetp+1 sont premier entre eux,σest un entier si et seulement s’il existe deux entiers naturels aetbtels que

(1)

½ p=3a²

p+1=b² ou (2)

½ p=a² p+1=3b²

(2) impliquea²≡p≡2 [3], ce qui est impossible car 2 n’est pas un résidu quadratique modulo 3.

(1) équivaut àp=3a²etb²−3a²=1, équation de Pell-Fermat de solution positive minimale (2, 1).

Les solutions deb²−3a²=1 sont donc les couples (b_k,a_k) définis par

(b0,a0)=(2, 1) et pourk>^{1, (b}k,a_k)=(2b_k−1+3a_k−1,b_k−1+2a_k−1)

Les entierspvérifiant (1) sont donc les entiers 3a_k²et les entiersncorrespondants sont les entiers 6a_k²+1 aveck∈N.

(b0,a0)=(2, 1) donnen=7.

(b1,a1)=(7, 4) donnen=97.

(b2,a2)=(26, 15) donnen=1351.

Pourk>3, on aak>30 doncn>2021.

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