MATH PLUS - PREMIÈRE S
F.HUMBERT
Table des matières
Chapitre A - Révisions 2
Chapitre B - Généralités sur les fonctions 2
Chapitre C - Second degré 3
Chapitre D - Dérivée 5
Chapitre F - Suites 6
Chapitre G - Statistiques 8
Chapitre H - Probas 8
Chapitre I - Loi binomiale 9
Chapitre I - Géométrie vectorielle plane 9
Chapitre K - Angles orientés 9
Chapitre M - Trigonométrie 9
Chapitre N - Produit Scalaire 11
Chapitre V - Ensembles 12
1
2
Généralités sur les fonctions
Chapitre A - Révisions
Exercice 1. Résolvez graphiquement (x−2)(y+1)3x−2y <0.
Exercice 2. Retrouver la démonstration historique du théorème de Pythagore basée sur cette figure.
Exercice 3. Combien de chiffres faut-il pour écrireA= 21996 etB= 51996?
Exercice 4. Montrer que pour tous les triangles b+ca +c+ab +a+bc <2et que cette inégalité est optimale.
Exercice 5. Quelles sont les fonctions numériques définies surRtelles que,∀x, y∈Rf(x)f(y)−f(xy) =x+y. Exercice 6. Quelles sont les fonctions numériques définies surRtelles que,∀x, y∈Rf(x−f(y)) = 1−x−y.
Exercice 7. 3 Trois propriétaires disposent de propriétés carrées jouxtant un lac triangulaireABCrectangle enA. Ils décident de délimiter leurs "eaux territoriales" en plaçant une bouéeM telle que les aires deM AB, M BC,M CAsoient proportionnelles aux parcelles adjacentes. Où faut-il placer la bouée M?
Exercice 8. SoitABCD un carré de côtéa. SoitΓun cercle intérieur au carré, tangent à[AB]et[AD]. Soit Γ0 un cercle intérieur au carré, tangent à[BC],[CD]et Γ. Quelles sont les valeurs maximale et minimale de la somme de leurs aires ?
Exercice 9. Peut-on recouvrir une table carrée de 90cm de côté par 2 nappes rondes de 1m de diamètre ?
Chapitre B - Généralités sur les fonctions
Exercice 10. Les coordonnées des points d’un écran d’ordinateur sont exprimées en pixels. Écrire un algo- rithme puis un programmes donnant la liste des coordonnées des pixels à allumer pour représenter le segment [AB]. Ce programme demande les coordonnées de A et B.
Exercice 11. Résoudre√
2x−3−√
x+ 7 = 2. Exercice 12. Résoudrex−√
x+ 10 = 0. Exercice 13. Résoudre√
4−x−√
6 +x=√
14 + 2x.
Exercice 14. Pour tous nombres réelsaet bon définit f parf(x) =a−√
x+b. Deux entiers metnsont dits échangeables ssi il existe deux réelsaetb tels quef(m) =netf(n) =m.
(1) Montrer que 2 et 3 sont échangeables.
Second degré
3(2) Peut-on en dire autant de 4 et 7 ?
(3) A quelle condition deux entiers sont-ils échangeables ?
Exercice 15. Soit x et y tels que |x|<1 et |y|<1. Montrer que|1+xyx+y|<1.
Exercice 16. Démontrer que pour tous nombres x et y,||x| − |y|| ≤ |x−y| ≤ |x|+|y|. (On suppose connue l’inégalité triangulaire).
Exercice 17. On considère n nombresa1< a2 < ... < an. Soitf :x7→ |x−a1|+...+|x−an|.Déterminer les points en lesquels f a un minimum.
Exercice 18. On note E l’ensemble des triplets de réels (x;y;z) tels que x, y,z soient deux à deux de somme non nulle. On définit une fonction f sur E parf((x;y;z)) = |x|+|y||x+y| +|y|+|z||y+z| +|z|+|x||z+x|. Déterminerf(E).
Chapitre C - Second degré
Exercice 19. Soit P un polynôme et a un réel. Montrer que pour tout réel x, P(x) est factorisable par (x−a)ssiP(a) = 0.
Exercice 20. Soit P un polynôme de degré supérieur ou égal à 2. Soit A et B des polynômes définis par A(x) = x−1 et B(x) = x+ 1. Montrer que si P(x) est factorisable par A(x)et par B(x)alors P(x) est factorisable parA(x)×B(x). Dans cet exercice on pourra utiliser si cela est nécessaire, la propriété suivante, démontrée dans un autre exercice : pour tout réelx,P(x)est factorisable par(x−a)ssiP(a) = 0.
Exercice 21.
(1) Montrer que pour tous réels, tetu,(s+t+u)2≤3 s2+t2+u2 .
(2) SoitP un polynôme du second degré. ComparerP(s+t+u3 )et P(s)+P(t)+P(u)
3 .
Exercice 22. Dans le 2. on pourra utiliser la propriété suivante, démontrée dans un autre exercice : pour tout réel x,P(x)est factorisable par(x−a)ssiP(a) = 0.
(1) Factoriser au maximumx4+ 24. (2) Factoriser au maximumx6+ 26.
Exercice 23. Un collier est composé de grosses et de petites perles (moins de 500 au total). Si on remplace 70% des grosses perles par des petites, le poids diminue de 60%. Si on remplace 60% des petites perles par des grosses, le poids augmente de 70%. Combien le collier a-t-il de perles ?
Exercice 24. Soit ABC un triangle. Si P est un point du plan du triangle, on note L, M et N les pro- jetés orthogonaux de P respectivement sur les droites(BC), (CA) et (AB). L’objectif de l’exercice est de déterminer les points P qui minimisentBL2+CM2+AN2.
1. Faire une figure où les segments[AN],[BL]et [CM]sont repassés en rouge et les segments[AM], [BN] et[CL]sont repassés en vert.
2. Pour quelles valeurs de x la quantitéx2+ (1−x)2 est-elle minimale ?
3. Pour quel(s) point(s) Q de la droite (AB) la quantitéAQ2+QB2 est-elle minimale ? 4. Montrer queBL2+CM2+AN2=CL2+AM2+BN2.
5. En cherchant l’inspiration dans les 2 questions précédentes répondre à la question faisant l’objet de l’exercice.
Exercice 25. Soient a, b et c trois réels tels quea < b < c. Pour tout réel x, P(x) = (b−c)(x−b)(x−c)(a−b)(a−c)+ (c−a)(x−c)(x−a)(b−c)(b−a) + (a−b)(x−a)(x−b)(c−a)(c−b). On n’hésitera pas à noter ainsi les sommes par permutation sura, b, c : P(x) =P(b−c)(x−b)(x−c)(a−b)(a−c)
(1) CalculerP(a),P(b)et P(c)et préciser le signe de ces nombres.
(2) Démontrer que l’équationP(x) = 0a deux solutionsx0 et x00 qui vérifienta < x0 < b < x00< c.
4
Dérivée
(3) Montrer que P(b−c)(b2−c2)2
>4 P(b−c)2bc P(b−c)2 .
(4) Montrer quex0 ≤a+b+c3 ≤x00. On admettra le résultat suivant, établi dans un autre exercice : "SiQ est un polynôme du second degré dont le coefficient dex2 est négatif, alors pour tous réels s, t et u, P s+t+u3
≥ P(s)+P(t)+P(u) 3 ".
Exercice 26. ABCDS est une pyramide équilatère (Base carrée ABCD, faces latérales isocèles). On la sectionne par un plan EFBC, tel que (EF)//(AD). Où faut-il placer [EF] pour découper la pyramide en deux morceaux de même volume ?
Exercice 27. Des fourmis se déplacent en ligne droite, à la queue leu leu, à vitesse constante, en formant une colonne de 50 cm de long. La dernière fourmi du groupe décide d’aller ravitailler la fourmi chef et pour cela rejoint la tête de la colonne puis, sa mission accomplie, retourne aussitôt à la queue de la colonne. Cette fourmi se déplace aussi à vitesse constante. Sachant que pendant ce déplacement la colonne a parcouru 50 cm, quelle est la distance parcourue par la fourmi ravitailleuse ?
Exercice 28. Résoudre l’équation (m−2)x2−2(m+ 2)x+ 2m−2 = 0d’inconnue x en discutant selon les valeurs de m. Déterminer le signe des racines lorsqu’elles existent.
Exercice 29. (Vraiment très difficile) a et b sont deux réels strictement positifs. Démontrer que√
b <1+√ a ssi pour tout réelx >1,ax2+ (1−a−b)x+b >0
Dérivée
5Chapitre D - Dérivée
Exercice 30. Soit f une fonction numérique définie sur R. Soitx0 ∈R. Soit la fonction r définie surR∗ parr(h) =f(x0+h)−f(x2h 0−h).
(1) Montrer que si f est dérivable enx0 alors lim
h→0r(h) =f0(x0). (2) Réciproquement, supposons qu’il existe un réel l tel que lim
h→0r(h) = l. Peut-on affirmer que f est dérivable en x0 et quef0(x0) =l ?
Exercice 31. Déterminer l’ensemble des fonctions f d’un intervalle I dansRtelles que∀x, y∈I|f(x)−f(y)| ≤ (x−y)2.
Exercice 32. Soita >0. SoitHa:y=ax.
(1) Montrer la tangente en M à l’hyperbole coupe les axes en deux points dont M est le milieu. En déduire un procédé de construction de cette tangente.
(2) P étant un point donné du plan. Combien y a-t-il de tangentes àHa passant parP. Discuter selon la position de P.
(3) Peut-on mener deux tangentes àHa orthogonales entre elles ?
Exercice 33. Soit une famille de fonctions définies parfm(x) =−x2+ 4 +xm2 pourm∈R∗. Montrer que les extremums de toutes ces fonctions sont sur une parabole dont on donnera une équation.
Exercice 34. Un fabriquant de chocolat peut produire différentes qualités de chocolat. Chaque qualité de chocolat est stockées dans une cuve spécifique. La qualité "Super Amer" est stockée dans une cuve de 20 tonnes.
(1) Pour simplifier, on supposera que la demande des clients est stable et régulière et que la cuve se vide jour et nuit avec un débit d’une tonne par jour. On attend que la cuve soit vide pour produire à nouveau la qualité "Super Amer". Cette production démarre dès que la cuve est vide et la remplit avec un débit de 41 tonnes / jour. Elle cesse dès que la cuve est pleine. Soit f(t) la quantité de chocolat contenue dans la cuve au temps t (la cuve est vide à t=0).
(a) Tracer la courbe représentative def pouttcompris entre 0 et 41 jours. Echelles : 0,5 cm/jour 0,5 cm/tonne Format paysage.
(b) f possède une propriété remarquable. Laquelle ?
(c) Sur une longue période, combien la cuve contient-elle de chocolat en moyenne ?
(2) L’usine décide de remplacer la cuve "Super Amer" par une cuve neuve. L’objectif de cette partie est de déterminer la taille optimale Q (en tonnes) de cette nouvelle cuve. Pour cela on évalue les coûts de production en fonction de Q.
(a) Entre deux productions de qualités de chocolat différentes, il faut nettoyer toute la chaîne de production et la tuyauterie. Un tel nettoyage coûte 3000 euros. Exprimer en fonction deQle coût annuel moyeng(Q)de nettoyage après les productions de chocolat "Super Amer".
(b) Le prix de revient du chocolat stocké dans la cuve est en fait "de l’argent qui dort". En effet cet argent aurait pu rapporter 10% par an, en étant investi dans l’entreprise. sachant que le chocolat
"Super Amer" a un prix de revient de 8760 euros par tonne, exprimer en fonction deQle manque à gagner annuel moyenh(Q)lié au stockage du chocolat "Super Amer" dans la cuve. On s’inspirera du 1.c.
(c) Les coûts calculés aux deux questions précédentes sont les seuls qui dépendent de la taille de la cuve. Etudier les variations du coûtc(Q) =g(Q) +h(Q)en fonction deQet démontrer quec(Q) est minimum pour une certaine valeur deQqu’on noteraQE. Cette quantité est appelée quantité économique. Elle intervient dans la planification de production de toutes les usines.
(d) Tracer les courbes représentatives deg,hetcsur un même graphique. On ne représentera que les parties des courbes dont les abscisses sont comprises entre 40 et 60 tonnes, et les ordonnées entre 15000 et 45000 euros (l’origine du repère sera hors de la feuille).
6
Suites
(e) On étudie l’influence du coût d’un nettoyagensurQE. ExprimerQEen fonction den. QE=k(n) Etudier les variations de k.
(f) On étudie l’influence du prix de revient pdu chocolat "Super Amer" sur QE. Exprimer QE en fonction dep. QE=l(p). Etudier les variations del.
(g) En exploitant le d. indiquer si une erreur de 10 tonnes sur la taille de la cuve est grave.
Chapitre F - Suites
Exercice 35. On entasse des boulets de canon en une pyramide triangulaire. Montrer qu’une pyramide à n couches contient n(n+ 1)(n+ 2)
6 boulets.
Exercice 36. On fait la somme des numéros des pages d’un livre et on trouve 2003 mais 2 pages étaient collées ... Combien y avait-il de pages et lesquelles étaient collées ? Traiter cette question par un algorithme puis valider par une démonstration.
Exercice 37. On numérote de haut en bas et de gauche à droite les cases d’un tableau n x n. On choisit une case au hasard. On l’entoure et on raye les autres cases de la ligne et de la colonne. On choisit au hasard une case non rayée ni entourée et on procède de même. etc jusqu’à épuisement. Le magicien peut deviner la somme des cases entourées. Comment fait-il ?
Exercice 38. On apelle suite de Fibonacci une suite vérifiant un+2=un+1+un
(1) Montrer que si(un)est une suite de Fibonacci, une définition explicite est : un =aαn+bβn
aveca=u0β−u1
β−α b=u1−u0α
β−α α= 1 +√ 5
2 β =1−√ 5
2 .
(2) Donner une définition explicite de la suite de Fibonacci telle queu0= 1et u1=β. (3) A l’aide d’un tableur calculer les 100 premiers termes de la suite précédente
(a) En utilisant la définition par récurrence.
(b) En utilisant la définition par une formule explicite.
(4) Que remarque-t-on ? Quelle peut être l’origine de cette anomalie ? L’expliquer en détail.
Exercice 39. Soitϕ= 1+
√5
2 le nombre d’or. On rappelle queϕest une solution de l’équation (E)x2−x−1 = 0. Soit n∈ N∗. L’objectif de cet exercice est de montrer que E ϕ4n−2
−1 est un carré parfait où E(x) désigne la partie entière dex.
(1) Soit ϕ0 l’autre solution de (E). On définit la suite (Ln) par Ln = ϕn+ϕ0n. Définir (Ln) par une récurrence à "2 étages" (c’est-à-dire, exprimer chaque terme de la suite à l’aide des deux précédents).
En déduire queLn est un entier.
(2) Montrer queE ϕ4n−2
=L4n−2−1. (3) Montrer queL22n−1=L4n−2−2. (4) Conclure.
Exercice 40. Soit(un)définie par
u1= 100
∀n∈N∗un+1=unn + 1 . On admettra que(un)est strictement posi- tive. Montrer que(un)est décroissante à partir du rang 2.
Exercice 41. On constitue un hexagone régulier de côté n entier à l’aide de triangles équilatéraux. un est le nombre de sommets,vnle nombres d’arêtes de longueur 1 etwnle nombre de triangles. Donner une formule explicite pour chacune de ces suites.
Exercice 42. L’objectif est de calculerS=
n
P
k=1
k2. (1) Développer(1 +x)3.
Suites
7(2) En déduire une autre expression de Pn
k=1
(1 +k)3. (3) En déduireS.
Exercice 43. Soit a et b deux réels aveca6= 1. Soit la suite définie par définie par son premier termeu0 et par la relation de récurrence∀n∈Nun+1=aun+b.
(1) On posevn =un−c ; trouver un réel c tel quevn soit géométrique.
(2) Exprimerun en fonction de n, a, b et u0. Exercice 44. Flocon de Koch
Exercice 45.
1 = 1 = 13
3 + 5 = 8 = 23
7 + 9 + 11 = 27 = 33
13 + 15 + 17 + 19 = 64 = 43
21 + 23 + 25 + 27 + 29 = 125 = 53
31 + 33 + 35 + 37 + 39 + 41 = 216 = 63
43 + 45 + 47 + 49 + 51 + 53 + 55 = 343 = 73
L’objectif est de démontrer les propriétés illustrées ci-dessus.
1. Combien y a-t-il de nombres dans la nième lignes ?
2. La nième ligne commence au ième nombre impair. Exprimer i en fonction de n.
3. Quel est le premier et le dernier nombre de la nième ligne (en fonction de n) ? 4. Montrer que pour n impair le nombre au centre de la nième ligne estn2. 5. Montrer que la somme des termes de la nième ligne vautn3.
Exercice 46. Expliciter le terme général de la suite(un)oùun est le chiffre des unités de1789n−1515n. Exercice 47. On dit qu’une suite (un) tend vers un réel l lorsque : ∀ > 0∃N ∈N∀n≥ N|un−l| ≤ . Montrer qu’une suite ne peut pas avoir deux limites différentes.
Exercice 48. On dit qu’une suite(un)est convergente lorsque : ∃l∈R∀ >0∃N ∈N∀n≥N|un−l| ≤. On dit qu’une suite (un) est bornée lorsque : ∃m, M ∈ N∀n ∈ Nm ≤un ≤M. Montrer que toute suite convergente est bornée.
Exercice 49. On dit qu’une suite (un) tend vers 0 lorsque : ∀ >0∃N ∈N∀n≥N|un| ≤. Montrer que la somme de deux suites qui tendent vers 0 est une suite tendant vers 0.
Exercice 50. On dit qu’une suite(un)tend vers 0 lorsque : ∀ >0∃N ∈N∀n≥N|un| ≤. On dit qu’une suite(un)est bornée lorsque : ∃m, M ∈N∀n∈Nm≤un ≤M. Montrer que le produit d’une suite tendant vers 0 par une suite bornée est une suite tendant vers 0.
Exercice 51. On dit qu’une suite(un)est bornée lorsque : ∃m, M ∈N∀n∈Nm≤un≤M. Montrer que le produit de deux suites bornées est une suite bornée.
Exercice 52. On dit qu’une suite (un) tend vers 0 lorsque : ∀ >0∃N ∈N∀n≥N|un| ≤. Montrer que si une suite(un)tend vers 0, la suite(u2n)tend vers 0.
Exercice 53. On dit qu’une suite (un) tend vers 0 lorsque : ∀ >0∃N ∈N∀n≥N|un| ≤. Montrer que si une suite(un)tend vers 0 ssi la suite(|un|)tend vers 0.
Exercice 54. On dit qu’une suite (un) tend vers 0 lorsque : ∀ >0∃N ∈N∀n≥N|un| ≤. Montrer que si∀n∈Nun≥1alors la suite (un)ne converge pas vers 0.
Exercice 55. On considère les suites(un)définies par la relation de récurrenceun+1=aun+b. On étudie l’évolution deun lorsque n devient grand, et plus précisément l’influence de a, b etu0sur cette évolution.
A. Première approche à l’aide d’un tableur.
Créer un tableau qui lorsqu’on saisit les valeurs de a, b etu0calcule les 100 premières de la série. Conjecturer un maximum de choses sur l’évolution deun lorsque n devient grand, en fonction des valeurs de a, b etu0.
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Probas
B. Vérifier et affiner les conjectures en utilisant la construction graphique des termes successifs d’une suite récurrente.
C. Démonstrations
(1) Etude du cas a= 1.
(2) On suppose désormais quea6= 1.
(a) Comment choisiru0 pour que la suite soit constante ?
(b) Soit vn =un−1−ab . Démontrer que (vn)est une suite géométrique dont on précisera la raison.
Exprimer vn puis un en fonction de a, b, n et u0. En utilisant les résultats conjecturés dans l’exercice précédent, conclure sur le comportement deun lorsque n est grand.
Exercice 56. C est un cercle de rayon 1. On appellePn le polygône régulier à 3×2n côtés inscrit dans C (n≥1). On appellean la longueur de son côté,pn son périmètre. On poseun= p2n.
(1) Calculera1et p1.
(2) Déterminer par la géométrie une relation de récurrence entre an+1 et an (On appliquera deux fois le théorème de Pythagore).
(3) A l’aide d’un tableur, calculer les termes des suites (an), (pn)et (un)et étudier leur comportement lorsque n devient grand.
(4) Il se peut que les termes des 3 suites s’annulent lorsque n devient encore plus grand. Expliquer comment cela est dû aux limites des logiciels utilisés.
(5) Qui a déjà fait ce calcul et avec quel objectif dans l’Antiquité ?
Exercice 57. Soient (un) et(vn)deux suites prenant leurs valeurs dans [0;1] et telle que lim
n→+∞unvn = 1. Montrer que les deux suites tendent vers 1.
Chapitre G - Statistiques Chapitre H - Probas
Exercice 58. On coupe en 3 un spaghetti. Evaluer par simulation la probabilité qu’on puisse former un triangle avec les 3 morceaux. Vous aurez besoin de uniform(a,b), dans le module random, qui retourne un réel choisi au hasard dans[a;b[. Obtient-on des résultats différents selon le mode opératoire ?
Exercice 59. Un scarabé se déplace le long des arêtes d’un tétraèdre régulier ABCD. Pour parcourir une arête il lui faut 1 minute. A chaque sommet il choisit au hasard une des 3 arêtes. Il part du sommet A.
Quelle est la probabilité des événements suivants ? (1) Le scarabé est en A au bout de 3 minutes.
(2) Pendant les 3 premières minutes, le scarabé ne passe jamais au sommet C.
Exercice 60. Dans quelle situation a-t-on le plus de chances d’obtenir un as de pique ? (1) On tire 4 cartes au hasard dans un jeu de 52 cartes.
(2) 10 cartes sont retirées au hasard d’un jeu de 52 cartes ; On tire 4 cartes au hasard parmi les cartes restantes.
Exercice 61. On tire successivement et sans remise deux boules dans une urne en contenant 20 numérotées de 1 à 20. Calculer la probabilité que :
(1) Les deux boules portent un numéro pair.
(2) La première boule porte un numéro impair, la seconde un numéro pair.
(3) La seconde boule porte un numéro pair.
Exercice 62. Lors d’un vote pour deux candidats A et B, A l’emporte avec a voies contre b. Quelle est la probabilité que lors du dépouillement du scrutin les deux candidats se soient trouvés à un instant donné à égalité ?
Trigonométrie
9Exercice 63. Problème du chevalier de Méré. Qu’est-ce qui est le plus probable : obtenir au moins un 6 en lançant 4 fois un dé, ou obtenir au moins un "double 6" en lançant 24 fois 2 dés ?
Chapitre I - Loi binomiale
Exercice 64. Au rez de chaussée d’un immeuble de n étages k personnes rentrent dans un ascenseur vide.
On admet que chaque personne sort à un étage donné avec la probabilité 1
n et qu’aucune autre personne ne monte dans l’ascenceur. Calculer le nombre moyen d’arrêts.
Exercice 65. CalculerS1,n= P
0≤2p≤n
n 2p
et S2,n= P
0≤2p+1
n 2p+ 1
.
Exercice 66. CalculerAn= P
0≤3p≤n
n 3p
,Bn = P
0≤3p+1≤n
n 3p+ 1
,Cn= P
0≤3p+2≤n
n 3p+ 2
.
Chapitre I - Géométrie vectorielle plane
Exercice 67. Soit C : y = x3. Soient 3 points alignés de C. Montrer que les tangentes en ces points recoupentCen 3 points qui sont alignés. On pourra utiliser le fait que siP est un polynôme tel queP(a) = 0 alorsP est factorisable parx−a.
Exercice 68. SoitABCD un parallélogramme etIJ KL un trapèze de bases[IJ]et[KL]tel queI∈]AD[
,J ∈]AB[,K∈]BC[,L∈]CD[. Montrer que les droites(IK),(J L),(AC)sont concourantes.
Exercice 69. Soit OACB un parallélogramme. Soit E ∈ [OB] et G ∈[AC] tels que (EG)//(OA). Soit H ∈ [OA] et F ∈ [BC] tels que (F H)//(OB). Montrer que les droites (EF) , (GH) , (OC) sont soit concourantes soit parallèles.
Chapitre K - Angles orientés
Exercice 70. Il est environ 8h20. Les deux aiguilles de l’horloge sont symétriques par rapport à la verticale.
Quelle est l’heure exacte ?
Exercice 71. Sur le cercle trigonométrique A(π4) et B(2π3). Trouver tous les points M(α) du cercle trigonométrique tels queABM soit isocèle.
Chapitre M - Trigonométrie Exercice 72.
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Trigonométrie
1. Le plan est rapporté au repère orthonormé (O,−→
OA,−−→
OB). a = (−−→
OM ,−−−→
OM0)[2π] Exprimer x’ et y’ en fonction de x, y et a.
2. Soit−−−→
OM00= 1 cosa
−−−→
OM0. Exprimer les coordonnées (x”;y”) de M” en fonction de x, y et a.
3. Soitb= (−→
OA,−−−→
OM”)[2π]. Exprimer tan(b) en fonction de x” et y”.
4. Donner une approximation affine de tan(x) pour x proche de 0. Pour quelles valeurs de x cette approxi- mation est-elle correcte jusqu’à la 6° décimale ?
5. Inventer un algorithme de calcul permettant de calculer la tangente de n’importe quel angle avec n’importe quelle précision en utilisant :
a. la valeur approchée de l’anglea0 tel quetan(a0) = 1: a0≈0,785398164; b. la valeur approchée de l’anglea1 tel quetan(a1) = 1
10 : a1≈0,099668653; c. la valeur approchée de l’anglea2 tel quetan(a2) = 1
100 : a2≈0,009999667; d. des additions et des soustractions;
e. des divisions par des multiples de 10; une seule division par autre chose;
f. des comparaisons de nombres.
6. On testera cet algorithme en évaluant tan(0,8) et en comparant le résultat à celui trouvé par la calculette.
On n’utilisera pas d’angle au-delà dea2.
Cet algorithme s’appelle CORDIC (Coordinate Rotation Digital Computer) et les calculatrices de la marque HP utilisent cet algorithme transposé en base 2. La méthode a été décrite en 1624 par un certain Henri Briggs et a été utilisée pour fabriquer des tables numériques à la main.
Exercice 73. Montrer que pour touta6= π4[π2] cosa−sinacosa +cosa+sinasina = 1 +tan2a. Exercice 74. Montrer que pour tout réel x 1−tan1+tan22xx=cos2x.
Exercice 75. Montrer que pour toutϑ6= π2[π] sin2ϑ−cos2ϑ+1
sin2ϑ+cos2ϑ+1 =tanϑ.
Exercice 76. Soit FGH un triangle. La bissectrice deF GH\ coupe[F H]en J. On noteh=GF,f =GH, x=GJ,ϑ=F GJ[ =\J GH. Exprimer x en fonction de h, f etϑ.
Exercice 77. Avec les notations habituelles, quel sont les valeurs minimale et maximale du périmètre d’un triangle (éventuellement plat) tel queab+bc+ca= 12.
Ensembles
11Exercice 78. Un triangle est tel que c=10 et a=26. Quelle valeur donner à b pour que le plus petit angle du triangle soit le plus grand possible ?
Exercice 79. Un polygone articulé constitué de barres rigides se déforme en cherchant à rendre maximum son aire. L’objectif est de montrer qu’il est alors inscriptible dans un cercle.
(1) Commençons par le cas d’un quadrilatère. On note AB=a, BC=b, CD=c, DA=d.
(a) Ecrire une relation entre a, b, c, d,Bb et Db. (b) Exprimer l’aire S en fonction de a, b, c, d, Bb etDb.
(c) Déduire des deux relations précédentes, une relation entre S, a, b, c, d,cos(Bb+D)b . (d) En déduire que S est maximum lorsque A, B, C et D sont cocycliques.
(2) Généraliser à un polygone à un nombre quelconque de côtés.
Exercice 80. Parmi les triangles ABC d’aire donnée S et d’angle \BAC fixé, déterminer les triangles tels queBC soit minimum.
Exercice 81. Du sommet d’une montagne on voit A et B dans la plaine. Les directions suivant lesquelles on les observe forment un angleγ. La première est inclinée d’un angleαpar rapport à l’horizontale, la seconde d’un angleβ. On sait que les points A et B sont dans un même plan horizontal et que leur distance est c.
Exprimer la hauteur h du sommet au-dessus du plan horizontal contenant A et B en fonction deα,β,γet c.
Exercice 82. ABC est un triangle rectangle enA. R et S sont des points de l’hypothénuse qui partagent celle-ci en 3 segments de même longueur. AR= 7AS= 9 BC=?
Exercice 83. Soit a, b et c les longueurs des côtés d’un triangle, p son demi-périmètre et S son aire. Montrer queS=p
p(p−a)(p−b)(p−c)(formule de Héron) On pourra partir decos2Ab+sin2Ab= 1, puis exprimer cos2Abet sin2Aben fonction de a, b, c, et S.
Chapitre N - Produit Scalaire
Exercice 84. Le triangleABCest rectangle enA. Une droite variableDpassant parCrencontre la hauteur (AH)enM et le cercle de diamètre[BC]enN. Montrer que le produit scalaire−−→
CM .−−→
CN ne dépend pas de la droiteD.
Exercice 85. Montrer que si les 3 sommets d’un triangle sont sur une hyperbole H : y = ax, (a 6= 0) l’orthocentre est aussi sur l’hyperbole.
Exercice 86. SoitABCD un carré. SoitI, J, K, Lles milieux de[AB],[BC],[CD],[DA]. [AJ]coupe[ID]
et[BK] enP et Q. [CL]coupe[ID]et [BK]en S et R. Montrer que P QRS est un carré et exprimer son aire en fonction de celle deABCD.
Exercice 87. SoitABCun triangle etAGF C et BDEA des carrés extérieurs au triangle. Montrer que la médiane(AI)est orthogonale à(EG).
Exercice 88. SoitABC un triangle. Soit f :M 7−→M C2−M B2 , g:M 7−→M A2−M C2 , h:M 7−→
M B2−M A2.
(1) Quelles sont les lignes de niveau def, g, hpassant respectivement parA, B, C ?
(2) En déduire que les hauteurs sont concourantes en un pointH et que AH2+BC2 =BH2+CA2= CH2+AB2.
Exercice 89. Soit C un cercle de centre O, A un point intérieur au cercle. On fait tourner une équerre autour du pointA. Elle recoupe le cercle enP etQ. SoitI le milieu de[P Q]. Quel est le lieu deI ?
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Ensembles
Chapitre V - Ensembles
1. Ensembles 1.1. Cours.
Définition 1. (informelle) Un ensemble est une collection d’objets, non ordonnée, et sans doublon.
Notation 1. Les ensembles contenant un nombre fini d’éléments peuvent être notésen extension. Cette notation consiste à écrire la liste des éléments de l’ensemble entre accolades. Ex : {2 ; 9 ; 1}. L’ensemble videse note {} ou Ø. Tous les ensembles (contenant un nombre fini ou infini d’éléments) peuvent être notés en compréhensionc.a.d. sous la forme{x/P(x)}ou{x∈E/P(x)}. Un ensemble noté ainsi contient lesx (d’un ensemble)Etels queP(x)est vrai. Dans une expression de cette forme,xest une variable liée. Certains ensembles de nombres réels peuvent être notés sous la forme d’unintervalle. Ex : ]2; 3[={x∈R/2< x <3}.
"eest un élément deE" ou "eappartient àE" se notee∈E.
Remarque 1. Ne pas confondre ensemble et n-uplet. Un n-uplet est une collection finie d’objets, ordonnée, pouvant contenir des doublons. Les n-uplets se notent en écrivant la liste de leurs éléments entre parenthèses.
Ex : (2 ; 2 ; 1). Les coordonnées d’un point se notent à l’aide d’un n-uplet. Un ensemble à 2 éléments s’appelle unepaire, alors qu’un 2-uplet s’appelle uncouple.
(1; 2)6= (2; 1)mais{1; 2}={2; 1}. {1; 2; 1} est mal formé,(1; 2; 1)ne l’est pas.
Théorème 1. Pour tout prédicatP et tout objet mathématiquea,a∈ {x/P(x)} ⇔P(a).
Axiome 1. Pour tous ensemblesE et F,E=F ⇔(Pour tout objet mathématique x,x∈E⇔x∈F).
Définition 2. Pour tous ensemblesE et F, E⊂F ⇔ ∀x∈E, x∈F. E ⊂F se lit "E est inclus dansF"
ou "E est un sous-ensemble deF" ou "Eest une partie deF".
Exemple 1. {2; 4} ⊂ {4; 3; 2}ou{2} ⊂ {4; 3; 2}mais2∈ {4; 3; 2}. Les droites et les plans sont des ensembles
de points. Un point peut ____________________ une droite. Un point peut ______________________
un plan. Une droite peut _________________ un plan.
Théorème 2. Pour tous ensemblesE etF,E=F⇔E ⊂F et F ⊂E.
Théorème 3. Pour tout ensembleE et tous prédicatsP etQ, (∀x∈E,P(x)⇒Q(x))⇔ {x∈E/P(x)} ⊂ {x∈E/Q(x)}.
Théorème 4. Pour tout ensembleE et tous prédicatsP etQ, (∀x∈E,P(x)⇔Q(x))⇔ {x∈E/P(x)}= {x∈E/Q(x)}.
Définition 3. Pour tout ensembleE,P(E) ={F/F ⊂E}.P(E)est l’ensemble des parties deE. Exemple 2. P({1; 2}) =.
Définition 4. Le cardinal d’un ensemble fini E est le nombre de ses éléments. Il se noteCardE. Exemple 3. Card{1; 9; 8}=
Théorème 5. Pour tout ensembleE,CardP(E) = (CardE)2.
Proof. A l’aide d’un arbre.
Définition 5. Pour tous ensemblesE etF,E∩F ={x/x∈E et x∈F}. E∩F se lit "intersection deE et F" ou "E inter F".
Exemple 4. 2; 8; 9; 5∩ {5; 8; 6; 3}= . E∩ {}=
Définition 6. Pour tous ensemblesE etF,E∪F ={x/x∈E ou x∈F}. E∪F se lit "réunion deE etF"
ou "E unionF".
Exemple 5. {2; 8; 9; 5} ∪ {5; 8; 6; 3}= . E∪ {}=
Définition 7. Pour tous ensembles E etF,CFE={x/x∈E et x /∈F}. CFE se lit "complémentaire deE dansF".
Exemple 6. C{2;8;9;5}{5; 8; 6; 3}= . CE{}=
Ensembles
13Définition 8. Pour tous ensemblesEetF,E×F ={(x;y)/x∈E et x /∈F}. E×F se lit "produit cartésien deE et F".
Exemple 7. {2; 3} × {5; 6; 2}= . E× {}= Notation 2. E×E se noteE2 etc.
1.2. Exercices.
Exercice 90. Pour tous ensemblesE,F etA, montrer que : (1) (A∪B)∪C=A∪(B∪C)
(2) (A∩B)∩C=A∩(B∩C) (3) (E∪F)∩A= (E∩A)∪(F∩A) (4) (E∩F)∪A= (E∩A)∪(F∩A) (5) CE(CEA) =A
(6) CA(E∩F) = (CAE)∪(CAF) (7) CA(E∪F) = (CAE)∩(CAF) (8) E⊂F ⇒CAF⊂CAE Exercice 91. Montrer que
(A∩B)⊂(A∩C)
(A∪B)⊂(A∪C) ⇒B⊂C Exercice 92. (Vrai/Faux) à justifier
(1) B ⊂A⇔A⊂B
(2) A∩(B∪C) =A∩B⇒A∩C=∅ (3) A=B⇔A∪B=A∩B
