A482. Les suites de James et de Stefan
On considère la suite {u(n)} définie par la relation de récurrence u(n) = u(n-1)² - u(n-1) + 1 et dont le premier terme u(1) est un entier > 0.
Q1 Prouver qu’il existe une valeur de u(1) = a telle que pour tout n > 1, chacun des termes de la suite {u(n)} divise le produit des n – 1 termes précédents incrémenté d’une unité.
En déduire :
- lorsque u(1) = a, une relation entre la somme et le produit des fractions égyptiennes associées aux u(i) pour i = 1,2,3,..,n
- une suite de sept entiers naturels distincts < 10^13 tels que chacun d’eux divise le produit des six autres incrémenté d’une unité.
Q2 Trouver une suite de cinq entiers naturels distincts ≤ 40 tels que chacun d’eux est un diviseur propre du produit des quatre autres incrémenté d’une unité.
Avec l’aide d’un automate, même question portant respectivement sur deux suites de six et sept entiers naturels distincts.
Nota : un diviseur propre d’un entier naturel k est un diviseur de k à l’exclusion de k lui- même. Par exemple 3 est un diviseur propre de 15 tandis que 15 ne l’est pas.
Solution proposée par Paul Voyer Q1
Q1-1
(un-1) = un-1(un-1-1) donne par récurrence un = u1*u2*…*un-1 + 1.
La suite peut être définie par
1 1 1
1 1
1
1
n n
n u u
u .
Pour u1=2, il s'agit de la suite de Sylvester (OEIS 000058).
On a toujours la relation un = u1*u2*…*un-1 + 1.
Les premiers termes sont :
2, 3, 7, 43, 1807, 3263443, 10650056950807, 113423713055421844361000443, 12864938683278671740537145998360961546653259485195807
1 = 1/2 + 1/2 1 = 1/2 + 1/3 + 1/6
1 = 1/2 + 1/3 + 1/7 + 1/42
1 = 1/2 + 1/3 + 1/7 + 1/43 + 1/1806 1 = 1/2 + 1/3 + 1/7 + 1/43 + 1/1807 + ...
1 = 1
1 1
1
1
n
n
i ui u quelque soit n.
C'est la "greedy Egyptian representation" de 1, basée sur l'identité :
1
1 1 1 1
a a a
a .
Q1-2
La suite 1, 2, 3, 7, 43, 1807, 3263443 ci-dessus répond à la question.
Q2 Q2-1
La seule suite de 5 entiers naturels distincts < 40 répondant aux conditions est : 2, 3, 11, 23, 31 , diviseurs propres respectifs de 23530, 15687, 4279, 2047 et 1519.
Q2-2
Il existe 2 suites de 6 entiers naturels distincts qui conviennent :
1, 2, 3, 11, 23, 31 , diviseurs propres respectifs de 47059, 23530, 15687, 4279, 2047 et 1519.
et
1, 2, 3, 7, 47, 395 , diviseurs propres respectifs de 779731, 289866, 259911, 111391, 16591, 1975.
On trouve dans OEIS A075461 5 suites convenables de 7 entiers, par exemple : 1, 2, 3, 7, 47, 583, 1223
Ce sont les suites de Stefan Znam.
http://mathworld.wolfram.com/ZnamsProblem.html Pour 8 entiers, il existe 15 solutions, dont :
1, 2, 3, 11, 25, 29, 1097, 2753 1, 2, 3, 11, 17, 101, 149, 3109
La plus grande solution connue a 14 termes (en comptant le "1" initial), dont les 3 derniers ont 45, 87 et 172 chiffres.
