H159 – L’album de famille [**** à la main]
Dans cet album de familles, il y a 31 photos. Sur chacune d’elles il y a :
- trois femmes, celle de droite et celle de gauche sont respectivement sœur et fille de celle qui se tient au milieu
ou bien
- trois hommes, celui de droite et celui de gauche sont respectivement frère et fils de celui qui se tient au milieu.
Sachant que les femmes et les hommes qui se tiennent au milieu sont tous différents et qu’il y a un homme de plus que de femmes, déterminer le plus petit nombre possible d’hommes et de femmes photographiés dans l’album.
Solution proposée par Marie-Christine Piquet
Au départ , dans un village , 4 frères épousent 4 sœurs . Un des 4 couples va avoir un enfant unique : un garçon .
Chacun des 3 autres couples , par la suite , aura 4 enfants ; 2 garçons et 2 filles . Chacun des 6 aïeux va se faire prendre en photo avec une sœur à sa gauche et une de ses filles à sa droite pour les femmes et idem pour les hommes .
6 photos ont été prises . Chacun des 6 aïeux apparaît sur 2 photos : une en tant que mère ou père , l'autre en tant que sœur ou frère .
Par la suite , les trois fratries de 4 enfants , 2 frères et 2 sœurs vont sans doute épouser respectivement chacune 2 sœurs et 2 frères issus d'autres familles .
Cela générera 12 couples . Chaque couple aura 2 enfants : un garçon et une fille . Les femmes prendront au total 12 photos , et les hommes feront de même . 15 photos de femmes + 15 photos d'hommes ont été prises . Tout le monde apparaît sur au moins une photo . Et au total , nous en sommesà un total de 6 + 24 = 30 photos sur lesquelles apparaissent au total 6 grands parents + 24 enfants , brus & gendres + 2 x 12 petits enfants = 54 personnes . ( 27 garçons et 27 filles ) . Il manque une photo et un garçon .
On revient maintenant sur le premier couple qui ne sera que parents puisque leur unique enfant ne s'est pas marié . Le père a pris une photo de lui , son fils et un de ses 3 frères .C'est la 31ième photo . Sa femme apparaît sur une unique photo avec une sœur et une nièce . Sur l'album apparaît :
a) Les 8 aïeux : 4 hommes et 4 femmes
b) Les 13 enfants : le garçon unique + les 12 enfants qui vont se marier : 7 hommes et 6 femmes . c) Les rapportés : 6 gendres et 6 brus .
d) Les 24 petits enfants : 12 garçons et 12 filles .
Au total il y a 4a + 7g + 6r + 12pg = 29 hommes et 4a + 6f + 6r + 12pf = 28 femmes . ( a , g , f , r , pg &
pf signifient : aieux , garçon , fille , rapporté(e) , petit garçon et petite fille .) Et k = 57 avec ce cas de figure .
Détail des 93 visages : 48 visages d'homme et 45 visages de femme .
1) Les hommes : l'aïeul non grand père : A , son fils "a" et les 3 grands-pères B , C , D ainsi qu'un de leurs 2 garçons : b , c & d .
les 4 photos : aAB , bBC , cCD & dDA .
2) Les femmes : l'aïeule non grand-mère s'appelle E (femme de A) et les 3 grand-mères F , G & H avec une de leurs deux filles respectives : f , g & h .
les 3 photos : f FE , gGH & hHF ( E & G ) n'apparaissant que sur une photo . Par la suite , f , g & h (enfants sur ces photos ) apparaitront de nouveau
en tant que mère et soeur. Idem pour les garçons b , c & d qui réapparaitront en tant que père et frère . Les 6 autres enfants ainsi que les 12 rapportés apparaitront
2 fois en tant que parent et frère ou sœur : 2 x 18 = 36 visages .
Avec les 24 petits enfants , c'est plus simple . Chacun n'apparaitra qu'une fois à la droite de sa mère ou de son père .
On récapitule : 1 fois "a , E , G " , 2 fois ( A , B , C , D , F & H ) : 3 + 12 = 15 visages .
3 fois ( b , c , d , f , g , h ) = 18 visages . Chacun des 6 occupe les trois positions sur les photos .
2 fois 6 autres enfants ( 3 garçons + 3 filles ) + 2 fois les 12 rapportés = 36 visages qui n'apparaissent pas en tant qu'enfant .
1 seule fois chacun des 24 petits enfants = 24 visages d'enfant . 15 + 18 + 36 + 24 = 93 visages . Le compte est bon .
