Enoncé G121 (Diophante)
Un dé – six dés : à vous de décider
Je dispose d’une belle collection de dés à 6 faces.
1) Ai-je plus de chance d’obtenir l’as à l’issue du lancer d’un dé que six as en lançant simultanément 6 dés ?
2) Ai-je plus de chance d’obtenir successivement les chiffres de 1 à 6 (pas nécessairement dans cet ordre) à l’issue de 6 lancers consécutifs d’un dé que d’obtenir simultanément les chiffres de 1 à 6 à l’issue d’un lancer de 6 dés.
3) Quelle configuration est la plus probable : obtenir au moins un as en lançant six dés simultanément ou obtenir au moins deux as avec douze dés ou obtenir au moins trois as avec dix-huit dés ou au moins 2012 as avec 12072 dés ?
A vous de dé. . .ci. . .der.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
1) Chaque lancer de dé constitue une épreuve indépendante. Les proba- bilités d’obtenir l’as sont 1/6 pour chacun des lancers, soit 1/6 avec un dé et 1/66 = 1/46656 pour 6 as avec 6 dés. C’est un seul dé qui donne la meilleure chance.
2) Il n’y a pas de différence entre lancer une fois 6 dés différents, dont je regarde ensuite les résultats un à un, et lancer le même dé 6 fois de suite : selon la formule classique, le dé n’a ni conscience, ni mémoire.
La probabilité de réussir est le rapport entre les 6! = 720 ordres possibles de sortie de 6 chiffres différents et les 66 = 46656 résultats possibles du lancer de 6 dés ; donc 6!/66 = 1/64,8.
Autre raisonnement : la probabilité que le second dé évite le chiffre donné par le premier dé est 5/6 ; celle que le 3e dé évite les chiffres donnés par les deux premiers est 4/6, etc. 5/6)(4/6)(3/6)(2/6)(1/6) = 5!/65 = 1/64,8.
3) Il s’agit d’obtenir (pourk= 1, 2, 3, 2012) au moinskas en lançant 6k fois un dé, ou une fois 6k dés. Cela représente 6k épreuves suivant la loi binômiale de probabilité 1/6.
La probabilité est
6k
X
i=k
C6ki 56k−i 66k = 1−
k−1
X
i=0
C6ki 56k−i 66k . Cette dernière expression donne,
pourk= 1 (6 dés) la probabilité 1−1/1,26= 0,6651021 ; pourk= 2 (12 dés) la probabilité 1−3,4/1,212= 0,6186674 ; pourk= 3 (18 dés) la probabilité 1−10,72/1,218= 0,5973457.
Pour 6k= 12072 dés, je recours à l’approximation par la loi normale. Le nombre d’asx a pour espérance 6k(1/6) =k, pour variance 6k(1/6)(5/6), la variable centrée réduite est (x−k)p1,2/k. Les valeurs dexcorrespon- dant à la réussite sont l’ensemble d’entiers k, k+ 1, . . . ,6k; je l’assimile à l’intervalle (k−1/2,+∞) d’une variable continue, donnant pour une variable centrée réduite l’intervalle (−p0,3/k,+∞).
La loi normale attribue à cet intervalle une probabilité>1/2, mais d’au- tant plus proche de 1/2 quek est grand. Pourk= 1, 2, 3, 2012, ces pro- babilités sont respectivement 0,7080 ; 0,6507 ; 0,6214 et 0,5049. L’approxi- mation normale, qui donne pourk grand la probabilité 1/2 +p0,15/πk, surestime quelque peu les probabilités, mais confirme le sens d’évolution : la meilleure probabilité est obtenue en se limitant à six dés.
