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.+xn n! 2) Pour obtenir les 6 premières décimales de e = f(1), on a besoin que Rn(1) &lt

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

7.10 1) En reprenant les calculs de l’exercice 7.5, on obtient aussitôt le polynôme de Taylor de degrén au voisinage de a= 0 :

Pn(x) = 1 +x+x2 2! +x3

3! + x4

4! +. . .+xn n!

2) Pour obtenir les 6 premières décimales de e = f(1), on a besoin que Rn(1)

<0,5·10−7 = 20 000 0001 .

Rn(1)

=

f(n+1)(c)

(n+ 1)!(1−0)n+1

= ec

(n+ 1)! avec c∈[0 ; 1]

Vu que la fonctionf(x) =ex est croissante, on aec 6e1 <3.

Donc Rn(1)

< (n+1)!3 .

Il reste finalement à résoudre l’inéquation suivante :

3

(n+1)! < 20 000 0001 60 000 000<(n+ 1)!

On constate que (10 + 1)! = 11! = 39 916 800<60 000 000 mais que(11 + 1)! = 12! = 479 001 600>60 000 000

On conclut que pour calculer les 6 premières décimales de e, on doit recourir à un polynôme de Taylor de degré>11.

e≈P11(1) = 1 + 1 + 2!1 + 3!1 + 4!1 +5!1 +6!1 +7!1 +8!1 +9!1 + 10!1 + 11!1

= 13 563 1394 989 600 ≈2,718 281

Analyse : développement en série d’une fonction Corrigé 7.10

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