A R K I V F O R M A T E M A T I K B a n d 6 n r 7 1 . 6 4 1 4 2 C o m m u n i q u 6 l e 1 1 N o v e m b r e 1 9 6 4 p a r O . F R O S T M A N e t A . P L E I J E L

(1)

ARKIV FOR MATEMATIK Band 6 nr 7

1.64 14 2 Communiqu6 le 11 Novembre 1964 par O. FROSTMAN et A. PLEIJEL

S u r u n s y s t ~ m e d ' ~ q u a t i o n s l i n ~ a i r e s h u n e infinit~ d ' i n c o n n u e s

Par KARL DAGERHOLM

O. Introduction P o u r rdsoudre un systbme d ' d q u a t i o n s lindaires

o0

q~lcpqxq = %, p = 1, 2, ... ^{( 1 )}

on cherche gdndralement les solutions x = (x 1, x 2 .. . . ) c o m m e dldments d ' u n espace lindaire normd (par exemple 1P avec ]Ix[[ ~ = ~ ] x~ I P) d a n s lequel la convergence absolue des sdries clans (1) est g a r a n t i p a r une indgalit6 de HSlder.

M ' i n s p i r a n t de T. C a r l e m a n [1], j ' a i dtudid d a n s [3] e t [4] c o m m e n t rdsoudre eer- rains syst6mes de la forme (1) sons la seule condition que les solutions rendent conver- genres les sdries du syst~me considerS. Ainsi j ' a i ddmontrd le tb_dorbme d ' u n i c i t d s u i v a n t p o u r un s y s t b m e de la f o r m e

(p --aq)-lxq = % , p = 1, 2, 3 . . . (2)

q = l

S i dans le plan complexe la constante a se trouve en dehors de l'intervaUe rdel 0 < a ~ 1 le syst~me homog~ne (% = O, p = 1, 2, 3, ...) n' admet p a z d' autres solutions que x = O.

S i a est rdel et 0 <~a < 1 il existe d'autres solutions.

Ici et d a n s des cas s e m b l a b l e s il est e n t e n d u q u ' o n r a y e les t e r m e s qui d e v i e n n e n t infinis.

D a n s le cas ou a n ' e s t p a s rdel positif j ' a i aussi examin6, d a n s [3], le s y s t d m e inhomo- 9~ne au m o y e n d ' u n e t r a n s f o r m a t i o n de Laplace. E n effet, ce syst~me se t r a n s f o r m e en l ' d q u a t i o n int~grale s u i v a n t e

f:(e ~

^- z)- l q)(s)d8 ⁼

t(2)

^{( 3 )}

or

off (p(s) = ~ xq exp (aqs),

q = l or

e t l(z) = ~. cvz v-1.

p = l

S i a n'est p a s rdel p o s i t i / o n p e u t ehoisir p o u r t h e r e i n d ' i n t ~ g r a t i o n une eourbe simple de 0 ~ ~ s a t i s f a i s a n t a u x conditions R e s > 0, R e ( a s ) < 0. Soit 7 l'image, d a n s le

(2)

K . D A G E R H O L M , U n syst$me d'gquations lin$aires

p l a n complexe de t, de c e t t e courbe p a r 1~ t r a n s f o r m a t i o n t = e s. Alors, la solution de (3) d o i t satisfaire s la r e l a t i o n

lim (/(z') - [(z")) = 27~ i e-t'q~(t'), (4) off z', z" t e n d e n t v e r s t', p o i n t de y, en a p p r o c h a n t t' des d e u x c6tds de y. P o u r la formule (4) voir p a r e x e m p l e [2], p. 267.

N o t r e b u t est ici la d 6 t e r m i n a t i o n d ' u n e formule analogue s (3) m a i s valable pour a rdel positi[. Si a > 1 nous allons voir que l'~quation int~grale q u ' o n t r o u v e , p e u t 6tre rdsolue s l ' a i d e d ' u n e f o r m u l e d ' i n v e r s i o n analogue s (4).

1. Th$or~me

Si d a n s (2) on r e m p l a c e a p a r b -1, a% p a r d~ ce syst~me d e v i e n t

(bp - q) lxq = dp, p = 1, 2, 3 . . . . (5)

q=l

Le probl~me qui se pose est de chercher p o u r b rdel p o s i t i f r o u t e s les solutions qui r e n d e n t les s~ries de (5) convergentes ou, ce qui est dquivalent, qui sont telles que

oo

q-lxq converge.

q 1

Soit d a n s le p l a n e o m p l e x e de s u n c o n t o u r Frq, 0 < r < a ~< 1, qui v a d e a + i - 0 s a - i - 0 e t qui se c o m p o s e d u cercle I s I = r, 0 < arg 8 < 2~, e t des d e u x eSt~s d ' u n e coupure s u i v a n t l ' i n t e r v a l l e rdel r ~< Q ~< o.

P o u r a = 1 nous dcrivons F t , = Ft.

N o u s nous p r o p o s o n s de d 6 m o n t r e r le

Th~or~me: Si b est rdel positi/, les conditions ndcessaires et su//isantes pour que (5) admette une solution sont

~. que /(z) = ~ d , z ~-1 soit holomorphe pour Izl < 1,

3=1

ft. que, si b e s t irrationnel, l'gquation intdgrale

~ ' ~ 1 x

ait une solution q~(s) = ~_q=, xcs q-1 telle que Z~=I q ~ converge,

y. ou, si b = m / n est rationnel, les entiers m, n dtant premiers entre eux, que f r (S~-Z)-~9~(s)ds-(~i)-lz"-~ f r ( S m - z ' ) - ' ~ ( s ) log sds

= I

(6')

p - 1 k ~ l

ait nne solution q~ du mgme caraet}re. Si les conditions du th6orbme sont remplies, les xq, coefficients de % nous donnent une solution du syst6me.

Observons que dans (6) et (6') nous supposons que pour chaque z, I zl < l, on choisit r de sorte que I zl < r b.

(3)

ARKIV FOR MATEMATIK. Bd 6 nr 7 2. Les c o n d i t i o n s d u t h ~ o r ~ m e s o n t n~cessaires

S o i t x u n e s o l u t i o n de (5) telle q u e ~ - 1

q-lxq

c o n v e r g e . ~ l ' a i d e d u t h ~ o r ~ m e d ' A b e l il s ' e n s u i t q u e l ' i n t ~ g r a l e

g(a) = (s)ds,

off ~(s) = ~o=~ xq s ~-~, e x i s t e c o m m e l i m i t e finie d e l ' i n t 6 g r a l e d e (r s z, I z] < 1, q u a n d z t e n d v e r s 1. D o n c g((r) a la l i m i t e 0 p o u r a t e n d a n t vers 1 e t g'(~) = - ~0(~). E n i n t 6 g r a n t p a r p a r t i e s e t en i n t r o d u i s a n t g on v o i t q u e

: (s b z)-lq~(s)ds

t e n d u n i f o r m 6 m e n t v e r s 0 l o r s q u e a, T t e n d e n t v e r s 1 e t I z [ < to" D o n c l i m f ~ ( s b - z ) ~ _ ~ , j ~

lqJ(s)ds=; (sb-z)-lqJ(s)ds

u n i f o r m d m e n t p o u r I zl < r b. D ' u n e m a n i ~ r e a n a l o g u e

lira

(sm-z~)-lq~(s)

log

sds= ( s ~ - z n) l~(s) log sds

u n i f o r m ~ m e n t p o u r I z I <

rm/n.

-~ l ' a i d e d e la f o r m u l e ~0(s)= ~ q=l ~ -~.~ o~ e t p a r u n d 6 v e l o p p e m e n t en sgrie d e (s b - z) 1 on t r o u v e q u e

f r , ( S b - z ) ~q~(s)ds= ~ z" 1l ~ L§ X~ ~ 8-bP+q-lds) (7)

~. Soit d'abord b irrationnel.

A l o r s

fr, 8-b'§

⁽¹

--e -2~'~) -q)-la ~+~ (bp

^(S)

et

fr,o(s~-z)~(8)ds=S,(1-e-~'~')z'-l.(,=~(bp-q)-~a-~'+~x~).

⁽⁹⁾

U t i l i s o n s m a i n t e n a n t u n l e m m e , qui est u n e c o n s d q u e n c e i m m d d i a t e de la f o r m u l e d e C a u c h y .

L e m m e .

Soit pour

0 < a < 1

une /onction w(z, a)= ~%oa~((r)z ~ holomorphe dans I z I< l, qui pour ~---> 1 tend uni/ormgment vers w(z) sur tout compact de I z I< 1. Alors w ( z ) - ~ - ~,=o , a z ~ est holomorphe dans

I z] < 1 et lim~_~l

a~(a) = a~.

L ' a p p l i c a t i o n s (9) d e ee l e m m e n o u s d o n n e l ' ~ q u a t i o n (6) ~ c a u s e d e la c o n v e r - g e n c e de

~q~l ( b p - q)-lxq

e t k 1'aide d u t h 4 o r ~ m e d ' A b e l .

ft. Dans le cas o~ b est rationnel,

l ' $ v a l u a t i o n d e (8) d o n n e le r ~ s u l t a t p r d c ~ d e n t s e u l e m e n t si -

bp

+ q - 1 n ' e s t p a s e n t i e r . Si -

bp

+ q - 1 est e n t i e r e t d i f f d r e n t d e - 1

(4)

K. DAGERHOLM,

Un syst~me d'dquations lin~aires

le r d s u l t a t d e v i e n t 0 et si -

bp

+ q - 1 = - 1 o n t r o u v e le r d s u l t a t 2~i. E n t e n a n t c o m p t e de cela, u n calcul n o u s d o n n e , si b =

m/n,

off m et n s o n t p r e m i e r s e n t r e e u x , e t si I z l < ro < ab < 1, q u e

fr~o

(8b -- - lct)(s)ds

^Z)

= (1--e-2mbv)z v-1. (bp--q)-l(~-bP+qXq

+ 2 : t i XmkZ nk-1 . (10)

p = l q k = l

D a n s la p r e m i b r e s o m m e , les t e r m e s off -

bp

+ q - 1 e s t e n t i e r s o n t r a y d s o u s'dva- n o u i s s e n t ~ cause d u f a c t e u r 1 - e 2=~bv. L a derni~re s o m m e c o m p r e n d les c o n t r i b u - t i o n s q u ' o n o b t i e n t p o u r -

bp

+ q - 1 = - 1, c ' e s t ~ dire p o u r p =

nk

et q =

ink.

Si a t e n d v e r s 1 o n t r o u v e

f r (sb--z)-lqp(s)ds= ~

( 1 - - e

2='bV)dvz" 1+ 2zti ~

XmkZ nk-1.

r p = I k = l

( l l )

C o n s i d d r o n s m a i n t e n a n t la f o n c t i o n

zn-l f (8 m

^-^-

z")-lq~(s)

log ads.

d r,~

P o u r

I z"l

< [8m[ c e t t e f o n c t i o n p o u t 6tre ddveloppde e n sdrie de la f o r m e

zrtk I f 8 mkq)(s) log sds

k=l d Fro

=29"~i ~ Z nk 1( ~ xq(m]gq)-l(Tq-mk q_3.~,Xm~

+ x m k l o g q ) .

k = l

q=l ⁽¹²⁾

Si ~ t e n d v e r s 1 o n t r o u v e

(•i)-lzn-l fF, (Sm

--zn)-l~9(8) log

sds= - 2 k=l ~ dnkznk l q- 2~i

^{k = t}~ Xmlc znk-l" (13) L a c o m b i n a i s o n de (11) et (13) n o u s d o n n e la r e l a t i o n (6').

3. Les c o n d i t i o n s d ~ t h ~ o r ~ m e s o n t sufllsantes

A d m e t t o n s ~ u e les c o n d i t i o n s d u t h d o r 6 m e s o i e n t r e m p l i e s . L a c o n v e r g e n c e de

~.q=iq xq

p r o u v e q u e l ' i n t d g r a l e

S~q~(s)ds

est finie. Ceci e t la c o n v e r g e n c e de

[(z)=

~ r ~ ,v-1 p o u r I z I < 1 n o u s d o n n e c o m m e c o n s d q u e n c e de (6) que, a v e c I z I < sb < 1,

l i m f (sb--z)-l~o(s)ds =

~(1--e-~'br)drz p-l,

a-->l ~ r ~ p=l

o h la convergence est uniforme sur ehaque compact de I z I < 1 (on choisit toujours r de sorte que I zl <

r b

dans le d o m a i n e considerd). D'apr~s le l e m m e dans le m o m e n t 2,

148

(5)

ARKIV FOR MATEMATIK. B d 6 n r 7 les limites des coefficients d u m e m b r e gauche, donnds d a n s (9), s o n t dgales a u x coefficients de z v 1 du m e m b r e droit. Done

(bp - q ) - ~xq = dr, p = l, 2, 3 . . . . q=l

D ' u n e mani~re analogue, m a i s un p e u p l u s compliqud, le m(~me r d s u l t a t ddcoule de (6'), (10) et (12) d a n s le cas oh b e s t rationnel.

4. l~tude d u cas b < 1

Si b < 1 nous posons t = s b off t sera rdel p o u r arg s = 0. Si nous supposons b irrationnel l ' 6 q u a t i o n (6) se t r a n s f o r m e en

f v ( t - Z) lqh(t)dt = F(z), (14)

off b 181 b(~(8)=(~l(t ) e t F ( z ) = ~ (1--e-2"*bV)dvz v-1.

p=l

Le chemin d ' i n t d g r a t i o n ~, v a de 1 h p = r b e n s u i v a n t l ' a x e rdel, s u i t le cercle I tl = Q j u s q u ' a u p o i n t t = ~ e 2"~ et v a enfin de ce p o i n t a u e 2~b en s u i v a n t le r a y o n arg t =- 2nib.

II est important que 7 soit simple si 0 < b < 1. Le m e m b r e g a u c h e de (14) est une fonction h o l o m o r p h e en dehors de ~,. Done (14) p r o u v e qu'il est ndcessaire que F , qui est h o l o m o r p h e d a n s ]z I < 1, p e u t dtre prolongude a n a l y t i q e m e n t et d ' u n e mani~re u n i q u e au t r a v e r s des d e u x arcs

2 z ~ b < a r g z < 2 7 t et 0 < a r g z < 2 ~ b du cercle [zl = 1.

De (14) il suit alors que (voir [2], p. 267)

2zti ~vl(t' ) = lim (F(z') - F(z")), (15)

si z' et z" t e n d e n t v e r s t ' = Q' exp (iv), 0 < v < 2rib de mani~re que

I z'l

^<

d

< I z ' l . D a n s (15) F(z") est le p r o l o n g e m e n t a n a l y t i q u e de F .

Si d v = 0, p = 1, 2, 3 . . . . , on v o i t que ~vl(t ) = 0, done ?(s) = 0, done xq = 0, q = 1,2, 3 . . . c'est it dire x = 0 est la seule solution du syst~me homog~ne. D ' u n e mani~re a n a l o g u e on t r o u v e que si les dp, sans 6tre tous 0 s o n t tels que F reprdsente p a r e x e m p l e une fonction uniforme, le s y s t b m e inhomog5ne n ' a u r a p a s de solutions.

Remarque. Si b < 1 est r a t i o n n e l on tire de l ' d q u a t i o n (6') des conclusions sembla- bles s celles qui l ' o n a tirdes de l ' 6 q u a t i o n (6). Mais cela exige plusieurs calculs.

L ' d q u a t i o n (6') p e u t 6tre 6erite sous la f o r m e

f r ( s b - - z ) - ' c f ( s ) d s - - ( z ~ i n ) - l n ~ 2 f r ( s ~ s b - z ) 'cf(s)logsds

= ~ ( 1 - - e 2mb')d~zV-l+2 ~ dnk Znk'l.

p=l k=l

(16)

(6)

K. DAGERHOLM, Un syst$me d'$quations lin$aires

e0 Q -.- ~n-1 d ~ s i g n e n t des r a c i n e s de l ' ~ q u a t i o n z ~ - 1 = O. P o s o n s s b = t. L ' a r g u m e n t d e t e s t c o m p r i s e n t r e 0 e t b. 2 g o h b < 1. D e plus, o n p o s e cf(s)s 1 b = (pi(t) ' 8~t = t~.

L ' a r g u m e n t de t~ est c o m p r i s e n t r e 2 ~ - n 1. v e t 2 ~ n -1" (v + m) off r = 0, 1 . . . (n - 1).

E n p o s a n t e~t = t~ la c o u r b e ~ " d a n s (14) se t r a n s f o r m e e n des c o u r b e s y~. Apr~s u n e m u l t i p l i c a t i o n p a r le f a c t e u r b, le m e m b r e g a u c h e d e l ' ~ q u a t i o n (16) se t r a n s f o r m e e n

Z)

(- ira) (t

n - 1 ?

8v -I)

O n c o n t i n u e d e la m a n i ~ r e p r d c d d e n t e .

B I B L I O G R A P H I E

1. CARLEMAN, T., Sur la th6orie des d q u a t i o n s intdgrales et ses applications. (Verh. des I n t e r . M a t h . K o n g r e s s e s Ztirich 1932. Bd. I. B e r i c h t u n d allg. Vortr/ige.)

2. GOURSAT, ~ . , Cours d ' a n a l y s e m a t h 6 m a t i q u e I I . Q u a t r i ~ m e ddition. P a r i s 1924.

3. PERSSOX (DAGERHOL~), K . , Sur u n e classe de s y s t b m e s d ' 6 q u a t i o n s lin6aires h u n e infinitd d ' i n - c o n n u e s . U p p s a l a 1938.

4. PERSSO~, K . , S u r u n s y s t b m e d ' ~ q u a t i o n s lindaires. (Arkiv fSr m a t . , astr. och fysik, U p p s a l a 1945.)

T r y c k t d e n 21 j u n i 1965

Uppsala 1965. Almqvist & Wiksells Boktryckeri AB

A R K I V F O R M A T E M A T I K B a n d 6 n r 7 1 . 6 4 1 4 2 C o m m u n i q u 6 l e 1 1 N o v e m b r e 1 9 6 4 p a r O . F R O S T M A N e t A . P L E I J E L