A470. Autres variations diophantiennes pour un quatuor
Soient 4 entiers naturels , , et qui vérifient l’équation ² ² ² ² 4.
Montrer qu’il existe une infinité de quatuors , , , tels que les 4 nombres se terminent par le chiffre 1 et qu’à l’inverse il n’existe aucun quatuor non nul dans lequel l’un quelconque des nombres est divisible par 5.
Etude générale
Considérons dans l'équation diophantienne ² ² ² ² 4.
Re marques préliminaires
On constate que , , , 0, 0, 0, 0 et , , , 1, 1, 1, 1 sont solutions triviales, et que , , , solution et 0 4 0 ² ² ² ² 0 0 On remarque également que si , , , est solution, toute permutation de , , , est également solution.
On pourra donc, en particulier, se restreindre à l'étude des solutions ordonnées , , , telles que 0 , et se munir si besoin d'un ordre lexicographique pour les comparer.
Lemme fondamental
Si , , , est solution alors , , , est aussi solution.
En effet, la somme des racines de l'équation ² ² ² ² 4, de degré 2 en , est 4.
Donc si est l'une des racines, 4 est la seconde.
On vérifie que 4 est bien un entier naturel, par une simple étude de signe des membres de
² ² ² 4 ² 4 4
Par permutations, on peut construire (à l’ordre près) les solutions suivantes dont on dira qu’elles sont générées par , , , :
, , , 4 , , , 4 , , , 4 , , , 4 , , ,
Si la solution initiale est non nulle, une solution générée l'est également.
L’application , , , , , , 4 étant symétrique, une solution générée à partir d’une autre peut réciproquement la générer à son tour (à l’ordre près).
Théorè me fo ndamental
Toute solution non nulle est issue de générations successives à partir de la solution , , , .
Supposons , , , solution telle que 0 .
• Premier cas : 4
La solution , , , 4 non-nulle est alors strictement plus petite (au sens lexicographique) que la solution , , , . On la réordonne par ordre croissant de ses composantes. La solution ainsi obtenue n'en est qu'encore plus petite, et toujours non nulle.
Tant qu’on se trouve dans le premier cas, on répète le processus jusqu’à sa nécessaire convergence. On obtient alors une solution qui vérifie nécessairement le second cas, discuté ci-après. D’après la symétrie mentionnée dans le lemme, elle est capable de générer , , , par itérations successives.
• Second cas : 4 Il découle de cette inégalité que
4 2 4 2 4
² ² ² ² 3² ² ² ² ² 6²
Puis 4² 4 ² ² ² ² 6² 4 6 1
D’où ² ² ² ² ² ² 2 ² ² ² 2
Après substitutions, l'équation initiale devient 2 2² 4² qui admet l'unique solution positive 1.
Ce qui permet de conclure que , , , 1, 1, 1, 1.
Retour à l’énoncé
Les questions posées dans l’énoncé du problème découlent alors très simplement de cette étude générale.
Question 1
Si 1,1, , est solution, alors 1,1, , 4 est solution, d'après le lemme fondamental.
Lorsque 0 , alors 3 4 . La solution 1,1, , 4 obtenue est donc strictement plus grande que 1,1, , .
En partant du terme initial 1, 1, 1, 1 et en appliquant cette opération pour passer d’un terme au suivant, on obtient donc une séquence strictement croissante.
On constate ensuite que, considérée modulo 10, cette séquence présente une période 3 : 1!, 1!, 1!, 1! " 1!, 1!, 1!, 3! " 1!, 1!, 3!, 1! " 1!, 1!, 1!, 1! " #
On peut donc en extraire une séquence strictement croissante, exhibant une infinité de solutions dont chacune les composantes se termine par le chiffre 1.
Question 2
On considère, modulo 10, l’ensemble des solutions issues par générations successives à partir de 1, 1, 1, 1 : 1!, 1!, 1!, 1! génère, à l’ordre près, l’unique solution 1!, 1!, 1!, 3!,
1!, 1!, 1!, 3! génère, à l’ordre près, 1!, 1!, 1!, 1!!! et 1!, 1!, 1!, 3!, déjà traités.
D’après le théorème fondamental, on conclut qu’une solution non-nulle quelconque possède nécessairement trois composantes congrues à 1 modulo 10, et une composante congrue à 1 ou 3 modulo 10.
En particulier, il n’existe aucune solution non nulle possédant une composante divisible par 5.
