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A453 Variations diophantiennes pour un quatuor [**** à la main,* avec l’aide d’un

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Academic year: 2022

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A453 Variations diophantiennes pour un quatuor [**** à la main,* avec l’aide d’un ordinateur]

Solution de Daniel Collignon

1/ Partant de (2, 2, 2, 2) et en utilisant le fait que l’ensemble des solutions est invariant par une substitution d’une variable a par (b^2+c^2+d^2)/a ou (bcd-a), on aboutit à :

(2, 2, 2, 6) (2, 2, 6, 22) (2, 6, 22, 262)

2/ n=1, p=1

n=2, p*q = p^2 + q^2 > 2*p*q => pas de solution n=3 => (3, 6, 15)

n=4 => (2, 6, 22, 262) n=5 => (1, 3, 4, 9, 107) n=6 => pas de solution

n=7 => (1, 2, 3, 23, 551, 152074, 11563402810)

Pour les valeurs supérieures de n , se reporter à l’article d’Helmut Postl et Torsten Sillke qui donne les solutions basiques pour différentes valeurs de n et dans lesquelles un entier peut être utilisé plusieurs fois. On obtient des solutions avec des entiers tous distincts en opérant des substitutions du même type que celle qui a été opéré avec la séquence (2,2,2,2).

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