On considère la suite {u(n)} définie par la relation de récurrence u(n) = u(n-1)2 - u(n-1) + 1 et dont le premier terme u(1) est un entier > 0.
Q1 Prouver qu’il existe une valeur de u(1) = a telle que pour tout n > 1, chacun des termes de la suite {u(n)} divise le produit des n – 1 termes précédents incrémenté d’une unité.
En déduire :
- lorsqueu(1) = a, une relation entre la somme et le produit des fractions égyptiennes associées aux u(i) pour i = 1,2,3,..,n
- une suite de sept entiers naturels distincts < 1013 tels que chacun d’eux divise le produit des six autres incrémenté d’une unité.
Q2 Trouver une suite de cinq entiers naturels distincts ≤ 40 tels que chacun d’eux est un diviseur propre du produit des quatre autres incrémenté d’une unité. Avec l’aide d’un automate, même question portant respectivement sur deux suites de six et sept entiers naturels distincts.
Q1 : u(n)-1=u(n-1)(u(n-1)-1)=u(n-1)...u(1)(u(1)-1), donc
u(n)=(a-1)∏u(i)+1=(a-1)(∏u(i)+1)+2-a : u(n) ne peut diviser ∏u(i)+1 que pour a=2, et alors, u(n)=∏u(i)+1.
Notons Sn=1/u(1)+...+1/u(n), Pn=1/(u(1)...u(n)) : montrons par récurrence que Sn+Pn=1 : en effet, S1=P1=1/2, S1+P1=1; et si Sn-1+Pn-1=1, Sn=Sn-1+1/u(n), Pn=Pn-1/u(n)=(1-Sn-1)/u(n) , donc Sn+Pn=1: 1/u(1)+...+1/u(n)=1/(u(1)...u(n)).
u(n)=u(1)...u(n-1)+1, et pour tout k<n et tout i tel que k<i≤n, u(k)=u(1)...u(k-1)+1, donc u(1)...u(k-1)=-1 (mod u(k)), et comme par ailleurs u(i)=1 (mod u(k)),
u(1)...u(k-1)u(k+1)...u(n)=-1 (mod u(k)) : les nombres u(1),..., u(n) sont tels que chacun divise le produit des autres incrémenté d’une unité.
Remarquons que l’on peut faire commencer la suite par u(0)=1, puisque u(1)=u(0)+1.
Les sept premiers termes de la suite sont alors 1, 2, 3, 7, 43, 1807 et 3263443.
Q2 : Nous supposerons les entiers strictement supérieurs à 1 ; considérons la suite : 2, 3, 11, 23, 31 ; nous avons (3*11*23*31+1)/2=11765, (2*11*23*31+1)/3=5229,
(2*3*23*31+1)/11=389, (2*3*11*31+1)/23=89, et (2*3*11*23+1)/31=49. Elle possède donc la propriété demandée. Un calcul automatique simple permet de trouver une autre solution : 2, 3, 7, 47, 395.
En conjecturant que les suites commencent par 2 et 3, et ensuite 7 ou 11, on arrive à trouver sans temps de calcul excessif une solution pour une suite de 6 ou de 7 termes : 2, 3, 7, 47, 583, 1223 et 2, 3, 11, 17, 101, 149, 3109. Il y en a beaucoup d’autres...
Par contre le problème ne semble pas avoir de solution pour 4 termes ou moins (et donc pour une suite de 5 termes commençant par 1)
