D1825. La saga des dichotomies (1er épisode)**
Soient un triangle ABC,M le milieu du côtéBC etD le point d’intersection de la bissectrice issue de Aavec le côtéBC. Le cercle circonscrit au triangle AD M coupe les côtés AB et AC aux pointsP etQ.
Démontrer que la parallèle menée parMà la droiteADcoupe le segmentPQen son milieu.
Solution de Claude Felloneau
Si le triangleABCest isocèle enA, les pointsDetMsont confondus et la droite (AD) est un axe de symé- trie de la figure donc la parallèle à (AD) passant parMest (AD), médiatrice de [PQ]. Elle passe donc par le milieu de [PQ].
On suppose dans la suite que le triangleABCn’est pas isocèle enA.
A
B
C
D M
C2
C1
E
Q P
N
Ω
On noteNle milieu du segment [PQ],Ele second point d’intersection de la droite (AD) avec le cercleC2
circonscrit au triangleABC,Ωle point du cercleC2diamétralement opposé àE.
Comme la droite (AE) est la bissectrice issue deA,Eest le milieu de l’arcBCne contenant pasAet (ΩE) est la médiatrice du segment [BC].
L’angleD AΩ=E AΩest donc droit ainsi que l’angleD MΩ, donc le cercleC1circonscrit au triangleAD M est le cercle de diamètre [AΩ].
Comme précédemment, on en déduit que la droite (ΩD) est la médiatrice de [PQ].
Soitsla similitude directe transformantBenPetCenQ. Comme (B P) et (CQ) se coupent enA, le centre desest le point d’intersection des cerclesC1etC2circonscrits aux trianglesAPQetABC, qui est distinct deA. C’est doncΩ.
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L’image de la médiatrice de (ΩE) de [BC] parsest la médiatrice de [PQ], soit (ΩD). Ainsis(E)∈(ΩD).
L’image du cercleC2 circonscrit au triangleΩBC est le cercle circonscrit au triangleΩPQ, soitC1. Or E∈C2, doncs(E)∈C1.
Finalement,s(E)∈(ΩD)∩C1ets(E)6=Ω, carE6=Ω, doncs(E)=D.
De plus,Métant le milieu de [BC],s(M) est le milieu de [PQ]=[s(B)s(C)], doncs(M)=N.
Comme il existe une similitude directes de centreΩqui transforme E en D et M en N, il existe une similitude directehde centreΩqui transformeEenMetDenN.
OrM∈(ΩE) etN∈(ΩD), donc la mesure de l’angle dehest 0 ouπ.
Ainsi,hest une homothétie ou une translation. Les droites (AD)=(E D) et (M N) sont donc parallèles.
Ainsi, la parallèle à (AD) passant parMcoupe [PQ] en son milieu.
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