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D295. La saga des parall´ elogrammes (1er ´ episode)

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Academic year: 2022

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D295. La saga des parall´ elogrammes (1er ´ episode)

Les bissectrices int´erieures de ABC sont les hauteurs de A1B1C1 : par ex- emple, les ´egalit´esA\1C1B1 = α+β et C\1B1B = γ, o`u α,β et γ sont les demi-angles enA,BetC, montrent que la bissectriceBB1est perpendiculaire au cot´eA1C1.

De−−→

AB1+−−→

AB2=−→

AB, on tire :

−−−→A2B2=−→

BA+−−−→

A1B1 =−−→

BB1+−−→

A1A= 2−−→

ED, et similaires par permutation, o`uD, Eet F sont les milieux deAA1, BB1 etCC1.

Le triangleDEF est donc l’image de A2B2C2 dans l’homoth´etie de rapport -1/2 et de centre le 1/3 des segments DA2,EB2et F C2, etΓ2 cercle circon- scrit `aDEF est l’image deΓ1 dans la mˆeme homoth´etie.

Le centre de l’homoth´etie estG, barycentre de ABC.

Γ2passe parOet parI.

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