Sujet du TD2 – Fonctions de plusieurs variables – L2

Aix Marseille Universit´e -

Licence Math´ematiques G´en´erales `eme ann´ee

Fonctions de plusieurs variables TD 2 : Limite et continuit´e

DM `a rendre en TD la deuxi`eme semaine de mars : exercices 6, 7, 9, 20 et 23.

On note, comme dans le cours, pourx= (x₁, ..., x_n)∈Rⁿ,

kxk=||x||₂=

n

X

i=1

|x_i|²

!1/2

.

1 D´ efinitions, limites, continuit´ e

Exercice 1

Soient deux points y, z∈Rⁿ avec y6=z, etf :Rⁿ→Rla fonction d´efinie par f(x) = kx−yk

kx−yk+kx−zk. 1. D´eterminer Λλ =f⁻¹({λ}) pour λ∈Rfix´e.

2. D´eterminer f(Rⁿ).On pourra d´eterminer f(ty+ (1−t)z) pourt∈R.

3. Montrer quef est continue surRⁿ. Exercice 2

* D´eterminer si les fonctions f1, ..., f5 d´efinies surR²\{(0,0)} par les formules suivantes ont une limite quand (x, y) tend vers (0,0) :

1. f₁(x, y) = xy² x²+y² 2. f₂(x, y) = x²y

x²+y⁴ 3. f3(x, y) = x³y³

x²+y² 4. f3(x, y) = x³+y³ x²+y² 5. f5(x, y) =xln(x²+y²) Exercice 3

*On consid`ere la fonctiong:R²\{(1,0)} →Rd´efinie parg(x, y) = (x−1)²+y²(2−2x+x²) (x−1)²+y² . 1. Montrer que|g(x, y)−1| ≤ k(x, y)−(1,0)k² pour tout (x, y)∈R²\{(1,0)}.

2. En d´eduire la limite de g en (1,0).

Exercice 4

* On consid`ere la fonction f : R²\{(0,0)} → R d´efinie par f(x, y) = x²−y²

x²+y². Calculer f(x,0) pour x ∈ R^∗ et f(0, y) pour y ∈ R^∗. En d´eduire que f n’a pas de limite quand (x, y) tend vers (0,0).

Exercice 5

* On consid`ere la fonction f : R²\{(0,0)} → R d´efinie par f(x, y) = xy

x²+y². Montrer que f n’a pas de limite quand (x, y) tend vers (0,0).

Exercice 6

* On consid`ere la fonction f : R²\{(0,0)} → R d´efinie par f(x, y) = xy²

x²+y⁴. Montrer que f n’a pas de limite quand (x, y) tend vers (0,0).

Exercice 7

* On consid`ere la fonction f : R²\{(0,0)} → R d´efinie par f(x, y) = x+y²

x²+y². Montrer que f n’a pas de limite quand (x, y) tend vers (0,0).

Exercice 8

En fonction des param`etres a≥0 etb∈R, ´etudier la continuit´e des fonctions suivantes sur R² :

1. f₁(x, y) = x|y|^a

x²+y² si (x, y)6= (0,0), f₁(0,0) =b 2. f₂(x, y) = |x|^ay

x⁴+y² si (x, y)6= (0,0), f₂(0,0) =b 3. f₃(x, y) =

® 2x−y si x < y 2y−x si x≥y.

4. f4(x, y) =|x|^y si x6= 0, f4(0, y) = 1 Exercice 9

* On consid`ere la fonction f :R² →Rd´efinie par







f(x, y) = (1 +x²+y²)siny

y siy6= 0, f(x,0) = 1.

1. Montrer quef est continue en (0,0).

2. L’est-elle en un point (x,0) tel quex6= 0 ? Exercice 10

* Soit h:R→R une fonction continue surR. On pose

» y

1. D´eterminer son domaine de d´efinition Df (⊂R²) et montrer que c’est un ouvert.

2. D´eterminer ∂Df. Peut-on prolongerf par continuit´e `a ∂Df? Exercice 11

Soient f : Rⁿ → R^p une application continue, B ⊂ R^p et E := f⁻¹(B). Montrer que

∂E ⊂f⁻¹(∂B). A–t–on toujours ´egalit´e ? Exercice 12

Soit f :Rⁿ→R^p une application.

1. Montrer que sif est continue alors, pour tout B ⊂R^p, on a f^−1ÄB˚^ä⊂

¸˚ f⁻¹(B).

2. R´eciproquement, supposons que pour toutB ⊂R^p, on aitf^−1ÄB˚^ä⊂

¸ ˚

f⁻¹(B). Soit x∈Rⁿetε >0. Apr`es avoir remarqu´e quex∈f⁻¹(B(f(x), ε)), montrer quef est continue.

3. Conclure.

Exercice 13

1. Soient f et g deux fonctions continues de Rⁿ dans R^p. SoitA ⊂Rⁿ un ensemble dense. On suppose que f(x) = g(x) pour tout x ∈ A. Montrer que f(x) = g(x) pour tout x∈Rⁿ.

2. Soit u : R→ R^p une application continue telle que u(x+y) = u(x) +u(y) pour tous r´eelsx ety. Montrer qu’il existe a∈R^p tel queu(x) =x apour toutx∈R. Exercice 14

(Exercice tir´e des examens et partiels des ann´ees pass´ees) Soient f et g les fonctions d´efinies sur R² par les formules suivantes :

f(x, y) =

( (x²+y³) ln(|x|+|y|) si (x, y)6= (0,0),

0 si (x, y) = (0,0), g(x, y) =







sin(xy)

x²+y² si (x, y)6= (0,0), 0 si (x, y) = (0,0).

1. La fonction f est-elle continue surR²\{(0,0)}? L’est-elle en (0,0) ? 2. Mˆemes questions pour la fonction g.

Exercice 15

(Exercice tir´e des examens et partiels des ann´ees pass´ees) 1. Montrer que

U ={(x, y)∈R² : x+y >0}

est un ouvert de R². Dessiner U dans le plan.

2. Pour (x, y)∈U, on pose

f(x, y) = (x+y)²(x−2y)²cos Å 1

x+y ã

.

(a) Montrer quef est continue sur U.

(b) Montrer que l’on peut prolonger f par continuit´e au point (0,0) en posant f(0,0) = 0.

2 Fonctions lipschitziennes, op´ erations sur les fonctions conti- nues, hom´ eomorphismes

Exercice 16

(Exercice tir´e des examens et partiels des ann´ees pass´ees)

1. Donner la d´efinition d’une fonction lipschitzienne f : A → R^m d´efinie sur une partie A deRⁿ.

2. Soit f(x) = sin^Ä_x^1ä pour tout x > 0. La fonction f est-elle lipschitzienne sur [1,+∞[ ? L’est-elle sur ]0,+∞[ ?

Exercice 17

* Soit f :Rⁿ→Rla fonction d´efinie par f(x) =^»kxk.

1. Montrer quef n’est pas lipschitzienne.

2. L’est-elle surRⁿ\{0}?

3. L’est-elle surRⁿ\B(0, R) pour R >0 ? Exercice 18

* Soit f :Rⁿ→Rla fonction d´efinie par f(x) =kxk². 1. Montrer quef n’est pas lipschitzienne.

2. L’est-elle sur un ensemble born´e ? Exercice 19

* Soit A⊂Rⁿ,A non vide, etf la fonction surRⁿ d´efinie par f(x) =d(x, A) := inf

y∈Akx−yk.

1. D´eterminer f⁻¹({0}), f(Rⁿ).

2. Montrer quef est 1-lipschitzienne, et donc uniform´ement continue.

Exercice 20

* Soit F un ferm´e non vide de Rⁿ et soit f :F →F une fonction k-lipschitzienne, avec 0≤k <1, c’est-`a-dire

∃0≤k <1, ∀x, y∈F, kf(x)−f(y)k ≤kkx−yk.

Soitx₀ ∈F et soit (x_m)m∈Nla suite deF d´efinie de mani`ere r´ecurrente parx_m+1 =f(x_m) pour tout m∈N.

1. Montrer que la suite (x_m)m∈N est de Cauchy.

2. Montrer qu’il existea∈F tel quef(a) =a(un tel aest appel´e point fixe de f).

3. Montrer quef a un unique point fixe.

Exercice 21

* Soit f :R→Rune fonction de classeC¹. On d´efinit g:R² →Rpar







g(x, y) = f(x)−f(y)

x−y si x6=y, g(x, x) =f⁰(x).

Montrer que gest continue sur R². Exercice 22

On rappelle que GLn(R) d´esigne l’ensemble des matrices inversibles de M_n(R). L’es- pace vectoriel est muni d’une norme, par exemple de la norme d´efinie par N(A) = max1≤i,j≤n|a_ij|pour toute matriceA= (aij)1≤i,j≤n.

1. Justifier que l’application d´eterminant det :M_n(R)→R est continue.

2. Montrer queGL_n(R) est un ouvert de M_n(R).

3. Montrer que l’applicationA7→A⁻¹est continue surGL_n(R) et est un hom´eomorphisme de GLn(R) sur lui-mˆeme.

4. SoitA∈ M_n(R). Justifier que l’applicationR3t7→det(A+tIn) est une applica- tion polynomiale. Donner le degr´e du polynˆome.

5. Montrer queGL_n(R) est dense dans M_n(R).

6. On d´efinit SLn(R) = {A ∈ M_n(R) : det(A) = 1}. Donner l’adh´erence, l’int´erieur et la fronti`ere deSL_n(R).

3 Uniforme continuit´ e, continuit´ e sur un compact

Exercice 23

* Soit f :Rⁿ→Rla fonction d´efinie parf(x) =^»kxk. Montrer quef est uniform´ement continue.

Exercice 24

* Soit f :Rⁿ→Rla fonction d´efinie par f(x) =kxk². 1. Montrer quef n’est pas uniform´ement continue.

2. L’est-elle sur un ensemble compact ? 3. L’est-elle sur un ensemble born´e ? 4. Est-elle lipschitzienne surRⁿ? Exercice 25

* Soit f : Rⁿ → R continue. On suppose que lim

kxk→+∞f(x) = 0. Montrer que f est

uniform´ement continue sur Rⁿ. Exercice 26

Soit f :R×[0,1]→R continue. On pose g(x) =

Z 1 0

f(x, t)dt.

1. Justifier la d´efinition deg.

2. On supposef lipschitzienne. Montrer qu’alorsg l’est aussi.

3. On supposef uniform´ement continue. Montrer qu’alors g l’est aussi.

4. Rappeler pourquoi f n’est pas n´ecessairement uniform´ement continue. Montrer qu’on peut quand mˆeme se ramener `a ce cas, et ainsi `a 3., pour prouver queg est continue.

Exercice 27

Soit f :Rⁿ→Rune application continue, telle que lim

kxk→+∞f(x) =a, pour una∈R. 1. Montrer que sia6= 0 alorsf⁻¹({0}) est un compact deRⁿ.

2. Donner un exemple o`u a= 0 etf⁻¹({0}) n’est pas compact.

3. Donner un exemple o`u a= 0 etf⁻¹({0}) est compact.

Exercice 28

Soit f :Rⁿ→Rune fonction continue.

1. On suppose dans cette question que lim

kxk→+∞f(x) = +∞. Montrer quef admet un minimum.

Que se passe-t-il si on suppose que lim

kxk→+∞f(x) =−∞? 2. Montrer que les trois assertions suivantes sont ´equivalentes :

(a) ∀M >0, ∃R >0,∀x∈Rⁿ,kxk> R=⇒ |f(x)|> M.

(b) Pour toute partie born´eeB de R,f⁻¹(B) est une partie born´ee deRⁿ. (c) Pour toute partie compacte K de R,f⁻¹(K) est une partie compacte deRⁿ. Exercice 29

* Soit K un compact de Rⁿ et soitf :K→Rune fonction continue telle que

∀x∈K, f(x)>0.

Montrer qu’il existe λ >0 tel que

∀x∈K, f(x)≥λ.

Exercice 30

* Soient aet bdeux r´eels tels que 0< a < bet soit f : [a, b]→ Rune fonction continue

telle que

∀t∈[a, b], f(t)< t.

Montrer qu’il existe un r´eel λ <1 tel que

∀t∈[a, b], f(t)≤λt.

Exercice 31

* Soient K un compact non vide de Rⁿ etf :K →K une fonction continue telle que

∀x, y∈K, x6=y=⇒ kf(x)−f(y)k<kx−yk.

1. Montrer quef admet un unique point fixeadansK.

On pourra consid´erer la fonction g:x7→ kf(x)−xk.

2. Soit x₀ ∈ F et soit (x_m)m∈N la suite de K d´efinie de mani`ere r´ecurrente par xm+1 =f(xm) pour tout m∈N. Montrer que xm →a quandm→+∞.

3. Comparer avec l’exercice 20.

Exercice 32

Soient K1 etK2 deux compacts non vides de Rⁿ¹ etRⁿ², et soit f :K1×K2 → R une fonction continue. Pour tout x∈K₁, on pose

µ(x) = sup

y∈K₂

f(x, y).

Montrer que µ(x) est bien d´efini pour tout x ∈K1 et queµ :K1 → R est une fonction continue. Que se passe-t-il si on remplace sup par inf ?

Exercice 33

Soit K etF respectivement un compact et un ferm´e de Rⁿ. On pose f(K, F) = inf

(x,y)∈K×Fkx−yk.

1. On consid´ere la fonction x7→d(x, F) = inf

y∈Fkx−yk (voir l’exercice 19).

(a) Montrer que siF est compact non vide, alors pour toutx∈Rⁿ, il existe y∈F tel qued(x, F) =kx−yk.

(b) Montrer que le r´esultat pr´ec´edent reste vrai avecF ferm´e non vide.

2. Montrer quef(K, F) = 0 si et seulement si K∩F 6=∅.

3. On suppose ici queK∩F =∅.

(a) D´eduire de la question pr´ec´edente qu’il existeδ > 0 tel que kx−yk ≥ δ pour tout (x, y)∈K×F.

(b) Montrer qu’il existe deux ouvertsO₁,O₂deRⁿtels queO₁∩O₂=∅etK ⊂O₁, F ⊂O2.

4. On suppose iciKferm´e non compact. Les r´esultats des questions 2 et 3 tiennent-ils encore ?

Exercice 34

(Exercice tir´e des examens et partiels des ann´ees pass´ees.) Soit l’applicationf dfinie sur R² par

f(x, y) =x²+xy+y², (x, y)∈R². 1. Justifier qu’il existe (x1, y1),(x2, y2)∈ B₂(0,1) tels que

f(x1, y1)≤f(x, y)≤f(x2, y2), ∀(x, y)∈ B₂(0,1).

2. Soitθ∈]−π, π]. Calculer f(cosθ,sinθ).

En d´eduire que f(x, y)≥ ¹₂ pour tout (x, y)∈ S₂(0,1), et que (x1, y1)∈ B₂(0,1).

3. Montrer que (x2, y2)∈ S₂(0,1) et trouver les valeurs possibles de (x2, y2).

On rappelle que

B₂(0,1) =^¶(x, y)∈R² ; x²+y²≤1^©, S₂(0,1) =^¶(x, y)∈R² ;x²+y²= 1^©.