Aix Marseille Université -
Licence Mathématiques Générales ème année
Fonctions de plusieurs variables TD 1 : Topologie sur Rn.
DM à rendre en TD la deuxième semaine de Février : exercices 15 et 20.
Remarque : On rappelle que tout espace de dimension finie n sur R noté E possède une base E = (e1,· · · , en)telle que tout élémentxdeE s’écrive de manière uniquex=x1e1+· · ·+xnen avec (x1,· · · , xn) ∈ Rn. On peut alors construire une bijection entre n’importe quel espace vectoriel de dimension n muni d’une base (e1,· · ·, en) etRn. Cette bijection est l’application naturelle x 7→ (x1,· · ·, xn) qui à un élément x associe son n-uplet de coordonnées dans la base E. À toute norme || · || sur Rn est naturellement associée une norme sur E telle que
||x||E =||(x1,· · ·, xn)|| et réciproquement. Autrement dit définir une norme sur Rn est équi- valent à définir une norme surE.
— Dans le cas E=Rn, on note, comme dans le cours, pourx∈Rn
||x||∞ = max
1≤j≤n|xj| (1)
||x||2 = Ñ n
X
j=1
|xj|2 é1/2
(2)
||x||1 =
n
X
j=1
|xj| (3)
— On note, pour A⊂E,Ac=E/Ale complémentaire deA dansE.
1 Normes sur les espaces de dimension finie
Exercice 1. (∗) (Propriétés d’une norme)
Pour chacun des cas suivants, indiquez si N est une norme ou pas sur E, en le justifiant, et, le cas échéant, si on peut modifier facilement N pour construire une norme surE.
On rappelle que pour montrer qu’une propriété n’est pas vraie on doit produire un contre- exemple !
1. SoitE =R. On pose N :E →Rtelle que N(x) =x2 pour x∈R.
2. Soit E = Rn[X], l’espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à n, à coefficients dansR. On pose N :E →Rtelle que N(P) =|P0(0)|pour P ∈E.
3. Soit E = Rn[X], l’espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à n, à coefficients dansR. On pose N :E →Rtelle que N(P) = sup
t∈[0,1]
|P(t)|pourP ∈E.
4. SoitE =Rn. On pose N :E→Rtelle que, pour x= (x1,· · · , xn),N(x) = Pn
i=1
i|xi|.
5. Soit E =Rn. On pose N :E →R telle que, pour x = (x1,· · · , xn), N(x) = card{i : xi 6= 0}.
On note souvent l’application N dans ce cas|x|0. Pourquoi à votre avis ?
6. Soient E = Rn, N1 et N2 deux normes sur E. On pose N : E → R telle que N :=
max{N1, N2}.
7. Soient E = Rn, N1 et N2 deux normes sur E. On pose N : E → R telle que N :=
N1+N2.
8. Soient E = Rn, N1 et N2 deux normes sur E. On pose N : E → R telle que N :=
»N12+N22.
9. SoitE =R2. On pose N :E →Rtelle que pour(x, y)∈R2,N(x, y) :=R01|x+ty|dt.
10. SoitE =R2. On poseN :E→Rtelle que pour(x, y)∈R2,N(x, y) :=|x+y|+|x−y|.
11. SoitE =R2. On poseN :E→Rtelle que pour (x, y)∈R2,N(x, y) := min(|x+y|+
|x−y|,2|x|+|y|).
12. Soit E =Mn(R) l’espace vectoriel des matrices carrées de taille n×n pour n∈ N?. On pose N :E →Rtelle que, pourA= (aij)1≤i,j≤n∈E,N(A) = Pn
i=1
Pn j=1
aij.
13. Soit E =Mn(R) l’espace vectoriel des matrices carrées de taille n×n pour n∈ N?. On pose N :E →Rtelle que, pourA= (aij)1≤i,j≤n∈E,N(A) = max
1≤j≤n n
X
i=1
|aij|.
Proposez différentes normes valables surE =Mn(R) et démontrez à chaque fois qu’il s’agit bien de normes surE.
14. Soit E = Rn pour n = 2. On pose N :E → R telle que, pour x = (x1, x2),N(x) = Å 2
P
i=1
|xi|1/2 ã2
=Ä»|x1|+»|x2|ä2.
Que pensez-vous du cas où on considère E =Rn pour n quelconque et on modifie N en posantN(x) =
Å n P
i=1
|xi|1/2 ã2
?
15. Soit E = Rn pour n = 2. On pose N :E → R telle que, pour x = (x1, x2),N(x) =
|x1|1/2+|x2|1/3.
Que pensez-vous du cas où on poseN(x) =|x1|1/α1+|x2|1/α2, avecα1 etα2 deux réels strictement positifs différents de 1?
Exercice 2. (∗) (Minorations très utiles)
Montrer les inégalités suivantes valables pour tout x et tout y dans un espace vectoriel E muni d’une normeN
N(x)−N(y)≤N(x−y) N(y)−N(x)≤N(x+y)
|N(x)−N(y)| ≤N(x−y)
|N(x)−N(y)| ≤N(x+y)
Ces inégalités sont à retenir ! Elles sont très utiles dans beaucoup de situations.
Exercice 3. (Norme associée à l’opérateur “Trace”)
Soit E = Mn(R) l’espace vectoriel des matrices carrées de taille n×n pour n ∈ N?. On note T r(A), la trace d’une matrice A = (aij)1≤i,j≤n l’opérateur défini sur Mn(R) tel que T r(A) = Pn
i=1
aii ettAla matrice transposée de A telle quetA= (bij)1≤i,j≤n= (aji)1≤i,j≤n. L’objectif de cet exercice est de montrer que l’applicationN :A7→»T r(tAA)est une norme sur E, qui plus est euclidienne, c’est-à-dire issue d’un produit scalaire sur E. On l’appelle aussi norme de Froebenius.
1. Montrer que pour toutes matrices A etB dansE on aT r(AB) =T r(BA).
2. Montrer qu’on peut écrire N(A) = Ç n
P
i=1
Pn j=1
(aij)2 å1/2
et que N est une norme surE.
3. Montrer qu’elle est issue d’un produit scalaire, c’est à dire qu’il existeϕ, produit scalaire surE×E tel que»ϕ(A, A) =N(A) pour toutA dansE.
4. Montrer queN(AB)≤N(A)N(B).
N est ce qu’on appelle une norme sous-multiplicative, comme toute norme k · k sur Mn(R) qui vérifie ||AB|| ≤ ||A||||B||.
Trouvez une norme surE qui ne vérifie pas cette propriété de sous-multiplicativité.
Exercice 4. (Norme p)
Soitp un réel tel quep >1. Pour x∈Rn on pose kxkp=
n
X
i=1
|xi|p
!1/p
Le but de l’exercice est de montrer quek.kp est une norme surRn et de comparer les normes k.kp pour différentes valeurs de p.
Dans tout le problème on pose q le réel tel que 1 p+1
q = 1 1. Montrer queq >1.
2. Montrer que pour touts∈[0,+∞[et toutt∈[0,+∞[
st≤ sp p +tq
q
Pour cela on pourra fixert et étudier la fonctions7→st−sp p −tq
q.
3. Soientx= (x1,· · · , xn)ety= (y1,· · · , yn), différents de(0,· · · ,0). On noteα=kxkp etβ =kykq.
Montrer que pour touti∈ {1,· · · , n} on a
|xi||yi|
αβ ≤ |xi|p
pαp +|yi|q qβq 4. En déduire l’inégalité de Hölder
n
X
i=1
xiyi
≤kxkpkykq (4)
Commenter cette inégalité dans le casp= 2.
5. Après avoir justifié que|xi+yi|p ≤ |xi+yi|p−1|xi|+|xi+yi|p−1|yi|, montrer quek.kp vérifie l’inégalité triangulaire.
6. Montrer quek.kp est une norme surRn. 7. Montrer qu’on a pour toutx∈Rn
kxk∞≤ kxkp≤ n1/pkxk∞.
et que d’autre part
kxkp≤ kxk1≤ n1/qkxkp
Exercice 5. (∗) (Equivalence des normes en dimension finie)
SoitE =Rn[X], l’espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal àn, à coefficients dansR. L’espaceE est-il bien de dimension finie ? Quelle est sa dimension ?
Montrer qu’il existe λ >0 vérifiant que pour toutP ∈E Z 1
0
|P(t)|dt≥λ sup
t∈[0,1]
|P(t)| (5)
Exercice 6. (Equivalence des normes en dimension finie : les constantes) Dans tout l’exercice on travaille dans E=Rn
1. Cours : Montrer qu’il existe des constantes C1 >0, C2 >0, C3 >0, et C4 >0 telles que pour toutx∈Rn on a
C1 kxk2≤ kxk1≤ C2 kxk2 (6) et
C3kxk∞≤ kxk2≤ C4 kxk∞ (7) 2. Montrer que C1 ≤1 et queC1 = 1est la plus grande constante que l’on peut prendre
dans (6). Montrer queC2 ≥√
n et que C2 =√
n est la plus petite constante que l’on peut prendre dans (6).
3. Montrer de même queC3≤1et queC3= 1 est la plus grande constante que l’on peut prendre dans (7). Montrer que C4 ≥√
net que C4 =√
n est la plus petite constante que l’on peut prendre dans (7).
4. Application : soit (xk)k∈N une suite de vecteurs dans E telle quek k xk k∞= 2 pour toutk≥1.
(a) Montrer que kxkk∞→0,kxkk1→0 etkxkk2→0 quandk→+∞.
(b) On fixe n = 106, k x0 k∞= 1 et ε = 10−7. Donner les valeurs de k pour avoir kxk k∞< ε,kxkk1< ε,kxkk2< ε. Conclusion ?
Dans beaucoup de problèmes c’est la normek.k2qui sert de référence car d’une part on peut lui donner une interprétation physique : elle correspond à la mesure de l’ “énergie”
du vecteur x dans le cas où x correspond à la mesure d’un phénomène physique, et, d’autre part, c’est la norme euclidienne qui correspond à notre expérience des distances dans R2 et R3. On choisit cependant parfois d’autres normes du fait du problème sur lequel on travaille.
Exercice 7. (Choix d’une norme)
Choisir une norme pour travailler sur un problème donné est parfois assez difficile, et il peut ne pas y avoir de choix parfait. Cependant il y a quand même souvent des choix qui ne vont pas correspondre au problème qu’on veut résoudre.
On souhaite comparer deux bases de données de streaming en ligne qui ne proposent pas du tout les mêmes films. L’une (qu’on noteA) est consacrée au cinéma nord-américain et l’autre au cinéma asiatique (qu’on noteB).
Un pannel dencinéphiles est sélectionné, et chacune des deux bases de données sélectionnem films qui lui semblent bien refléter son offre en ligne. Chacun des cinéphiles (ou “ utilisateur”, comme “ utilisateur de la base de données”) est chargé de regarder les 2m films et rentre des notes de1à 5pour chaque film. Chaque base de données collecte alors les notes données par les utilisateurs sur ses films dans une matrice. Les utilisateurs sont numérotés de 1 à n et représentent les colonnes de la matrice, les films sont numérotés de1 à met représentent les lignes de la matrice, la note donnée par l’utilisateurjau filmiest rentrée comme le coefficient aij de la matrice.
On noteA la matrice obtenue ainsi pour la base de données AetB la matrice obtenue ainsi pour la base de donnéesB. Pour comparerA etB une possibilité est de choisir une normeN surMn(R)et dire que la base de données qui donneAest “meilleure” que la base de données qui donneB si N(A)> N(B).
1. La base de données B pense qu’elle va être la meilleure si on choisit une norme qui permet de montrer qu’elle contient le film qui a le plus de succès parmi les utilisateurs.
Proposez une norme qui est adaptée à ce choix. On note||.||B ce choix qui plait àB.
2. La base de données A pense qu’elle va être la meilleure si on choisit une norme qui permet de montrer que chaque utilisateur donne en moyenne une bonne note aux films de la base. Proposez une norme qui est adaptée à ce choix. On note ||.||A ce choix qui plait àA.
3. On choisit de trouver un compromis pour ne pas favoriser l’une ou l’autre a priori.
Montrer que M 7→ ||M|| = θ||M||A+ (1−θ)||M||B pour 0 ≤ θ ≤ 1 est encore une norme sur Mn(R). Quel choix de θ permettrait de trouver une mesure qui ne favorise pas a priori l’une ou l’autre des deux bases ?
En réalité ce qui préoccupe surtout les bases de données de streaming en ligne ce sont les recommandations qu’elles peuvent faire aux utilisateurs. En effet les matrices dites de “ranking”
telles que celles qu’on a décrites concernent un nombre gigantesque de films, et donc m est très grand (par exemple 100000 films étaient disponibles sur Netflix en 2009), et il est peu probable qu’un utilisateur puisse les voir tous, voire arrive même à savoir ce qui lui plairait dans la base de données. Le but du problème de complétion de matrice est d’arriver à prédire l’appréciation sur un film d’un utilisateur donné à partir des notes sur les films qu’il a vus, et des notes des autres utilisateurs. La norme qui mesure l’erreur de prédiction (distance entre la vraie matrice et la matrice contenant les prédictions) en général préférée pour évaluer les algorithmes est reliée à la norme de Froebenius||A||=
Çm P
i=1 n
P
j=1
|aij|2 å1/2
mais elle est sujette à discussion.
2 Ouverts et fermés dans R
nExercice 8. (∗) (Un peu de révisions sur les quantificateurs) 1. Soient les quatre assertions suivantes :
(a) ∃x∈R, ∀y ∈R, x+y >0 ; (b)∀x∈R, ∃y∈R, x+y >0 ; (c) ∀x∈R, ∀y∈R, x+y >0 ; (d) ∃x∈R, ∀y∈R, y2> x.
(a) Les assertions a,b,c,dsont-elles vraies ou fausses ? (b) Donner leur négation.
2. Soit f et g deux fonctions de R dans R. Traduire en termes de quantificateurs les expressions suivantes :
(a) f est majorée ; (b) f est bornée ;
(c) f est paire ;
(d) f ne s’annule jamais ;
(e) f n’est pas la fonction nulle ;
(f) f n’a jamais les mêmes valeurs en deux points distincts ; (g) f est inférieure àg;
3. Soit f une application de R dans R. Nier, de la manière la plus précise possible, les énoncés qui suivent :
(a) Pour tout x∈R, f(x)≤1.
(b) L’application f est croissante.
(c) L’application f est croissante et positive.
(d) Il existe x∈R+ tel que f(x)≤0.
Il est capital que vous vous sentiez à l’aise avec la manipulation des quantificateurs. Si ce n’est pas le cas faites autant d’exercices que nécessaire de manière à arriver au moment où cela ne vous pose plus de problème de les utiliser. En effet c’est un langage technique qui vous est désormais indispensable, et ce jusqu’à la fin de vos études en mathématiques. Mais comme tous les langages, il s’apprend !
Exercice 9. (∗) (Un peu de révisions sur les ensembles) SoientA, B, C des sous-ensembles de E. Montrer que
1. (A∪B)∩C = (A∩C)∪(B∩C) 2. (A∩B)∪C = (A∪C)∩(B∪C) 3. (A∩B)c=Ac∪Bc
4. (A∪B)c=Ac∩Bc
Que peut-on dire de (∪i∈IAi)cet(∩i∈IAi)c pourI un ensemble d’indices quelconque ? Exercice 10. (Boules unités ouvertes)
On se place dans E=R2.
Dans chacun des cas suivants tracer la boule unité ouverte pour la normeN considérée, c’est- à-dire avec les notations du coursBN(0,1). Tracer ensuite la boule de rayonR et de centre0 pourR >0.
1. On prendN(x) =||x||∞. 2. On prendN(x) =||x||1. 3. On prendN(x) =||x||2.
4. On considère θ∈]0,1[etN(x) =θ||x||1+ (1−θ)||x||∞. Exercice 11. (Ensembles ouverts ou fermés)
On se place toujours dans le cas E = R2 et on considère la norme euclidienne k . k2 sur E. Soit A⊂R2 un sous-ensemble de R2. Dans chaque cas (en justifiant votre réponse le cas échéant) :
— Dessinez l’ensemble A.
— Dites si Aest borné.
— Dites si Aest un ouvert, un fermé.
— Reprendre les 2 questions précédentes en changeant ||.||2 en une autre norme deR2. 1. Soitx0∈R2 etA=B2(x0,1).
2. Soitx0∈R2 etA=B2(x0,2)/B2(x0,1) =B2(x0,2)∩ B2(x0,1)c. 3. A={(x, y)∈R2 :x∈[0,2], y∈]−1,1[}= [0,2]×]−1,1[.
4. A={(1/n,1/m) :n∈N?, m∈N?}.
5. A={(1/n, y) :n∈N?, y ∈[0,1]}={1/n:n∈N?} ×[0,1].
6. A={(1/n, y) :n∈N?, y ∈R}={1/n:n∈N?} ×R. 7. {(p, q) :p, q∈Q∩[0,1]}= (Q∩[0,1])×(Q∩[0,1]) 8. {(p,0) :p∈Q}=Q× {0}
9. Soitx0∈R2 etA=B∞(x0,1).
Exercice 12. (∗) (Vrai ou faux)
Les assertions suivantes sont-elles vraies ou fausses ? On fera une démonstration ou on exhibera un contre-exemple selon le cas.
1. Toute partie non ouverte de Rn est fermée.
2. Une union quelconque d’ouverts deRn est ouverte.
3. Une intersection quelconque de fermés de Rnest fermée.
4. Une union quelconque de fermés de Rn est fermée.
5. L’ensemble {(x, y)∈R2:x2+ 3y4<1}est ouvert et borné.
6. L’ensemble {(x, y)∈R2:x+ 3y2≤1}est fermé.
7. L’ensemble {(x, y)∈R2:x+ 3y2≤1}est borné.
8. L’ensemble {(x, y)∈[−1,2]×R; 0≤y≤x2+ 1} est fermé.
9. L’ensemble {(x, y)∈R2 : x+y >0} est un ouvert.
Exercice 13. (Exercice tiré des examens et partiels des années passées.) Soit A un sous-ensemble non vide de R3 et soit a ∈ R3. Dans chacun des cas suivants, donner la définition et un exemple :
1. A est ouvert, 2. A est fermé,
3. l’intérieur deA, 4. la frontière de A, 5. aest adhérent àA.
Exercice 14. (Exercice tiré des examens et partiels des années passées.)Soitn∈N∗. 1. Soitf1 ∈Rn\ {0}etF le sous-espace vectoriel deRn engendré parf1. Montrer queF
est fermé.
2. Soit F est un sous-espace vectoriel de Rn de dimension p avec 0 < p < n. Soit (f1,· · ·, fp)une base de F et(f1,· · · , fp, fp+1,· · ·, fn) une base de Rn.
(a) Montrer que l’application qui à x= P
1≤i≤nxifi∈Rn associe N(x) := max
1≤i≤n|xi|, est une norme surRn.
(b) Montrer que F est un fermé dans Rn. Exercice 15. (Topologie de l’espace produit)
Soient E etF deux espaces vectoriels de dimension finie qu’on munit chacun d’une norme : NE surEetNF surF. On définit le produit cartésien deEparF comme l’ensembleE×F = {(x, y) :x∈E, y ∈F}.
1. Expliquez pourquoi E×F est un espace vectoriel et explicitez les opérations dans cet espace.
2. Pourz= (x, y)∈E×F on considèrekzk=k(x, y)k= max{NE(x), NF(y)}. Montrer quek.k ainsi définie est une norme.
3. Supposons que A⊂E etB ⊂F. Montrer que A×B est un ouvert si et seulement si AetB sont des ouverts. Montrer également queA×B est un fermé si et seulement si A etB sont des fermés.
4. Reprendre les questions 2 et 3 pourkzk=k(x, y)k=NE(x) +NF(y) pourz∈E×F. 5. On suppose qu’on a maintenant une suite finie d’espaces vectoriels Ei munis chacun
d’eux d’une norme Ni. Proposez des normes sur l’espace produit Qn
i=1
Ei ={(t1, ..tn) :
∀i, ti∈Ei}.
3 Suites dans R
nExercice 16. (∗)
Pour chacune des suites suivantes(uk)k∈N?dire si elle converge ou pas dans l’espaceRnauquel elle appartient, et, si elle converge, déterminer sa limite.
1. uk=Äk+11 , k+ 1ä 2. uk=(−1)k+1k,2kk22+1+1
3. uk=e−k,ln(k+1)k+1
4. uk=ksinÄk+11 ä, k2cosÄk+11 ä−k2, kek+11 −k, kln(k+ 1)−kln(k)
5. uk=Ä1 +k+11 äk,1 +12 +14 +..+21k
Exercice 17. (Norme d’une suite convergente dans un espace de dimension finie) SoitE un espace vectoriel de dimension finie muni d’une normek.ket soit(uk)k∈Nune suite qui converge dansE pourk.kvers une limite `, c’est-à-dire telle que lim
k→+∞kuk−`k= 0 1. Montrer que(kukk)k∈N converge dansR. Quelle est sa limite ?
2. Montrer que la réciproque est fausse en cherchant un contre-exemple.
3. SoitN une autre norme surE. Montrer que la suite(uk)converge aussi pour la norme N.
Exercice 18. (∗) (Suites de Cauchy)
Soient(uk)k∈N et(vk)k∈N deux suites d’un espace vectorielE de dimension finie.
Montrer en utilisant uniquement les définitions (celle de suite convergente et celle de suite de Cauchy) et sans aucune autre propriété du cours que :
si (uk)k∈N est de Cauchy pour une norme|| · || et si uk−vk→ 0quand k→+∞ pour|| · ||, alors(vk)k∈N est de Cauchy pour|| · ||.
Que pensez vous du fait d’avoir précisé qu’on travaillait avec|| · ||? Exercice 19. (Suites stationnaires)
Une suite (xk)k∈N de Rn est stationnaire s’il existe p ∈ N tel que pour tout k0 ∈ N on a xp+k0 =xp.
1. Montrer que toute suite stationnaire dans Rn est convergente.
2. Montrer qu’une suite (xk)k∈N dans Rn est stationnaire si et seulement si pour tout i= 1, . . . , n la suite(xi,k)k∈N (avecxi,k la i-ième coordonnée dexk comme on l’a noté dans le cours) est stationnaire dansR.
Exercice 20. 1. Donner un exemple de deux suites (xn)n∈N et(yn)n∈N dans R3 qui ne convergent pas mais telle que la suite somme(xn+yn)n∈N converge.
2. Donner un exemple d’une suite(xn)n∈N dansR3 et d’une suite(λn)n∈N dansRqui ne convergent pas mais telle que la suite(λnxn)n∈Nconverge.
3. Donner un exemple de deux suites(xn)n∈Net(yn)n∈Nqui ne convergent pas mais telles que la suite produit scalaire(hxn, yni)n∈Nconverge.
Exercice 21. (Suites qui tendent vers l’infini)
Une suite(uk)k∈NdansRntend vers l’infini si pour tout A∈R+il existe N ∈Ntel que pour toutk≥N on a ||uk|| ≥A.
1. Montrer qu’une suite convergente dans Rn ne tend pas vers l’infini.
2. Montrer qu’une suite bornée dans Rn ne tend pas vers l’infini.
3. Vrai ou faux : une suite non bornée dansRn tend vers l’infini.
4. Vrai ou faux : une suite(uk)k∈N dansRntend vers l’infini si et seulement si pour tout i= 1, . . . , n la suite(ui,k)k∈N tend vers l’infini dansR.
5. Une suite (uk)k∈N tend vers l’infini si et seulement s’il existe i∈ {1,· · ·, n} telle que la suite(ui,k)k∈N tend vers l’infini dansR.
6. Soita∈Rnet(uk)k∈Nune suite dansRnavec la propriété suivante : pour toutA∈R+ il existeN ∈Ntel que pour toutk≥N on a||uk−a|| ≥A. Montrer que(uk)k∈Ntend vers l’infini.
7. Montrer la réciproque.
8. Soit (uk)k∈N une suite dans Rn dont tous les termes sont non nuls. Montrer que (uk) tend vers l’infini si et seulement si la suitekuuk
kk2
k∈N
tend vers l’origine deRn (c’est- à-dire(0,· · ·,0).
Exercice 22. (Suites extraites)
Le but de l’exercice est de montrer que la suite définie paruk= (cosk,sink) ne converge pas dansR2.
1. Montrer(kukk2)k∈N est une suite convergente.
2. Dans tout ce qui suit on raisonne par l’absurde et on suppose que (uk)k∈N converge vers une limite(`, `0). L’objectif est de montrer qu’on va tomber sur une contradiction.
(a) Calculer|`0|en fonction de`.
(b) Vers quelle limite converge (u2k)k∈N? En déduire les valeurs de `et`0. (c) Vers quelle limite converge (uk+1)k∈N? En déduire une contradiction.
Exercice 23. Soit A une matrice de Mn(C) telle que la suite (An)n∈N converge vers une matrice P. Montrer queP est une matrice de projection, c’est-à-dire qu’elle vérifie P2=P.
Exercice 24. SoitB une matrice antisymétrique deMn(R), c’est-à-dire telle quetB=−B. On suppose que la suite (Bn)n∈N converge vers une matrice C. Que peut-on dire de C? Exercice 25. (Exercice tiré des examens et partiels des années passées.)Soitn∈N∗.
1. SoitF, Gdeux sous-ensembles non vides deRn. On suppose queF est ouvert. Montrer que
F+G:={a+b ; a∈F et b∈G}
est ouvert.
2. Soitn= 2,F ={(x, y)∈R2 ; xy= 1} etG={(x, y)∈R2 ; xy = 0}.
(a) Montrer que F etGsont des fermés.
(b) Montrer que la suite (zk)k∈N? avec pourk∈N? : zk:= (ak+bk, ck+dk), (ak, ck) :=
Å1 k, k
ã
, (bk, dk) := (0,−k),
est une suite convergente de F+G.
(c) En déduire que F+Gn’est pas fermé.
